21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 1.

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1 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 1

2 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 2 La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e di tempo Nel 1905 Albert Einstein pubblicò 5 articoli scientifici destinati a rivoluzio-nare il mondo della Fisica, con la teoria della Relatività Spe- ciale, la Teoria dei Quanti ed il Moto Browniano

3 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 3 Meccanica Elettro magnetismo Termodinamica Moto Browniano Corpo nero ed Effetto fotoelettrico Relatività Speciale

4 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 4 Dallo spazio e dal tempo assoluto allo spaziotempo relativistico La relatività speciale (1905) Abolisce lo spazio assoluto nel suo ruolo maxwelliano di etere in cui si propagano i campi elettromagnetici e abolisce il concetto newtoniano di tempo assoluto.

5 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 5 Un dialogo sul monte Olimpo Einstein: Ma lei è Aristotele, il grande filosofo greco, non è vero? Un vero naturalista! Newton: Ma che dici, Einstein! Un ciarlatano, ecco cos’è. I dotti da tavolino credevano alle sue frottole, invece di verificarle con gli esperimenti. Ebbe pure la sfacciataggine di dichiarare che i corpi pesanti cadevano più velocemente di quelli leggeri. Aristotele: Ma è ovvio che è così, lo sanno perfino i bambini!. Cause maggiori provocano effetti maggiori. E chi sei tu, piccolo nano, che osi negare l’ovvio?

6 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 6 Un dialogo sul monte Olimpo Newton: Io sono stato il primo a formulare la legge della gravitazione universale; la forza che nell’universo agisce su ogni cosa — ed è responsabile delle orbite dei pianeti e della caduta di una mela dall’albero. Einstein: Stimatissimo Sir Isac Newton ! Ma allora è vera la storia sulla mela? Newton: Naturalmente che è vera, come ogni altra cosa per la quale ho conquistato la fama. Lei è …..?

7 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 7 Un dialogo sul monte Olimpo Einstein: Einstein, Albert Einstein. Ho avuto l’onore di stare sulle vostre spalle e così ho visto un po più lontano. Aristotle: Mio caro signore, ma cosa dice?. Ogni cosa nell’ universo ha il suo ordine ed il suo posto naturale. I corpi pesanti cadono lungo la verticale perché si sforzano di raggiungere il loro posto naturale, il centro della Terra. Pertanto quando la mela cade dall’albero, essa sta semplicememente tentando di muoversi verso il suo posto. Newton: Stupidaggini. Quando ho visto la famosa mela cadere, ho capito che il suo moto obbediva alla stessa legge che regola il moto della luna. La terra le attira entrambe, come un magnete attira il ferro.La gravità è una forza invisibile che governa l’intero universo.

8 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 8 Newton: In realtà, la Luna vorrebbe muoversi in linea retta, poiché quello sarebbe il suo moto naturale in assenza di forze — sempre in linea retta e con velocità costante per l’eternità, o finché qualche forza esterna non lo obblighi a cambiare moto. Questo è quello che io ho chiamato principio d’inerzia. — Dunque, la gravità interviene ed attira la Luna verso la Terra, obbligando la Luna a percorrere un’orbita quasi circolare. Aristotele: Ma perché passare dal semplice al complicato!?!? E’ come se la Luna fosse una schiava e la gravità una specie di maniglione. Einstein: Secondo la mia Teoria Generale della Relatività, invece, la Luna e la Mela si muovono lungo le loro traiettorie perché il nostro mondo è fatto in modo tale che queste siano le linee più semplici e diritte per esse, pur non essendo linee rette. Il loro moto è un moto geodetico in uno spazio tempo curvo. La gravità non è più interpretata come una forza invisibile, ma semplicemente l’espressione di come è fatta la geometria dello spaziotempo, in conseguenza della distribuzione dei corpi solidi nel nostro Universo. Aristotele: E questa forza scaglia la luna intorno alla terra, facendole percorrere una circonferenza, giusto? Newton: No. La luna cade verso la terra, proprio come la mela. Aristotele: Prima m’insulta e poi mi rifila tali sciocchezze

9 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 9 Il tempo Il concetto di tempo come di un ente, dotato di una sua esistenza indipendente, non emerse fino al Medioevo. La presenza di un ordine nella natura era stata riconosciuta da tutte le culture, ma fu solo con la nascita della Scienza moderna che a tale ordine venne attribuito un significato preciso ed oggettivo

10 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 10 Platone: Timeo “L’era ed il sarà sono forme generate di tempo, che noi inconsapevolmente riferiamo a torto all’eterna essenza” Platone giunse alla conclusione che il mondo mutevole dell’esperienza quotidiana è un effimero riflesso della sfera senza tempo di forme pure e perfette che occupano il regno dell’eternità. Il tempo stesso è solo un’imperfetta immagine in movimento dell’eternità che rimane per sempre incorrotta, ma che noi esseri umani rendiamo irrimediabilmente reale

11 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 11 Aristotele (384 - 322 A.C.): Physica (Physica 219 a) “Dobbiamo prendere ciò come punto di partenza e cercare di scoprire - poiché vogliamo sapere che cosa sia il tempo - che rapporto esso abbia con il movimento: difatti anche al buio, se si compie mentalmente qualche movimento, pur senza che il nostro corpo ne sia partecipe, subito supponiamo che un certo tempo sia trascorso; e viceversa, anche quando si pensa che sia trascorso un certo tempo, sembra che insieme con esso si sia verificato qualche movimento. Pertanto il tempo o è movimento o qualcosa di pertinente al movimento. Poiché però non è movimento, deve essere vera l’altra ipotesi” (Physica 219 b) “Il tempo è proprio questo: il numero del moto rispetto al “prima” e al “dopo”. Perciò il tempo non è movimento ma soltanto movimento per quel tanto che ammette di enumerazione. A riprova: noi discriminiamo il più ed il meno mediante il numero, ma più o meno movimento mediante il tempo. Il tempo è dunque una specie di numero”

12 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 12 Aristotele Qualsiasi misurazione del tempo dipende dal moto, e Aristotele sottolinea la relazione reciproca tra i due concetti. (Physica 220b) “Non soltanto misuriamo il movimento mediante il tempo ma anche il tempo mediante il movimento, perché essi si definiscono l’un l’altro. Il tempo registra il movimento, poiché ne è il numero e il movimento registra il tempo” Con lo studio del moto dei corpi Aristotele giunse ad aprrezzare l’importanza del tempo, fino a quasi introdurre la nozione di tempo come parametro matematico astratto.

13 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 13 Sant’Agostino Sant’Agostino ne “Le confessioni” diede una risposta intuitiva ma enigmatica sul tempo “Se nessuno me lo chiede, lo so; se dovessi spiegarlo a chi me lo chiede, non lo so” Con Sant’Agostino la convinzione che Dio si trovi completamente al di fuori del tempo entrò a far parte dei principi del cristianesimo. Sant’Agostino pone Dio nel regno dell’eternità “altissimo al di sopra del tempo, perché è un presente senza fine”

14 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 14 Kant Secondo Kant il tempo è la forma a priori del senso interno, cioè la condizione della rappresentabilità dell’ordine di successione dei fenomeni in generale. Nella dissertazione inaugurale a Koenigsberg del 1770 “De mundi sensibilis atque intellegibilis forma et principiis” Kant afferma che spazio e tempo non esistono in sé, ma sono forme universalmente soggettive in cui noi ordiniamo i fenomeni. Nell’ambito della filosofia del secolo scorso, Bergson ha ripreso la concezione agostiniana del tempo come durata intuita, contrapponendola polemicamente alla concezione propria della fisica e delle altre scienze naturali, del tempo “spazializzato”. Come tale il tempo delle scienze naturali è completamente estraneo al tempo che la coscienza riconosce come l’unico autentico.

15 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 15 Galileo e Newton Con Galileo e Newton il trascorrere del tempo diventò qualcosa di più del nostro semplice flusso di coscienza; esso cominciò ad avere un ruolo fondamentale nella descrizione del mondo fisico, divenendo un’entità analizzabile con estrema precisione. Galileo e Newton fecero per il tempo quello che i geometri greci avevano fatto per lo spazio: lo promossero a grandezza misurabile

16 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 16 Galileo Galilei (1564 - 1642) “La filosofia è scritta in quel grandissimo libro che continuamente sta aperto davanti ai nostri occhi (voglio dire l’universo), ma che non s’intende se prima non si studia la lingua e si conoscono i caratteri in cui sta scritto. La lingua di quel libro è matematica ed i caratteri sono triangoli, circoli e altre figure geometriche”

17 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 17 Galilei Dialogo sui massimi sistemi (Firenze 1632) A Galileo risale il principio di relatività (relatività galileiana). Lo spazio è omogeneo ed isotropo, e di conseguenza non sono realizzabili esperimenti di meccanica grazie ai quali distinguere uno stato di quiete da uno stato di moto rettilineo ed uniforme. Ecco in proposito le parole di Galileo: “Nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio rinserratevi con qualche amico, e quivi fate di aver mosche,farfalle e simili animaletti volanti; pigliatevi anco un gran vaso d’acqua e dentrovi de’ pescetti; accomodate ancora qualche vaso alto che vada gocciolando in un altro basso e di angusta gola: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; ……; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto ….. Osservate che avrete tutte queste cose, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutte le nominate cose, né meno da cosa che sia in voi stesso, potrete assicurarvi se la nave cammina o sta ferma …” Osserviamo che l’invarianza galileiana implica un tempo uniforme.

18 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 18 Newton Nella premessa dell’opera Principia Mathematica Philosophiae Naturalis Newton inserì questa famosa definizione: “Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente” Diciassette anni prima di pubblicare i Principia, Newton in un manoscritto dichiara che il tempo è misurato mediante movimenti: “Io non tengo conto del tempo così formalmente considerato, ma, a partire da quantità proposte che sono dello stesso genere, io suppongo che una di esse cresca con flusso equabile: a questa tutte le altre possono essere riferite come se essa stessa fosse tempo. E così per analogia, il nome “tempo” le potrebbe essere conferito” Ventisette anni dopo la prima edizione dei Principia Newton ribadirà la necessità di misurare il tempo “per mezzo di una qualsiasi quantità fluente in modo uniforme” Il tempo di Newton è anche il tempo del “senso comune occidentale”. Per Newton esiste un tempo universale. Esso sta semplicemente là e non può essere condizionato o alterato in alcun modo; continua unicamente a scorrere con ritmo costante

19 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 19 Newton “ Lo spazio assoluto, in virtù della sua natura e senza riferimento ad un oggetto esterno, permane sempre uguale ed immobile ” Newton postulò l’esistenza di uno spazio assoluto, il Sensorium Dei, che rappresentava l’arena principale della sua meccanica. Che le leggi della meccanica fossero egualmente valide in ogni altro riferimento inerziale, in moto rettilineo ed uniforme rispetto a quello assoluto, rappresentava per lui solo un teorema molto interessante

20 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 20 Obiezioni allo spazio assoluto newtoniano Il concetto newtoniano di spazio assoluto non è mai stato scevro da obiezioni. Da Huyghens, Leibniz e Berkeley, quasi contemporanei di Newton, a Mach nel XIX secolo e ad Einstein nel XX, sono state portate obiezioni sostanziali contro lo spazio assoluto. Non vi sono proprietà intrinseche dello spazio assoluto, misurabili con esperimenti di meccanica, che permettano di distinguerlo da ogni altro riferimento inerziale. Non ha senso introdurre differenze che non possano essere sottoposte ad osservazioni.

21 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 21 Sembra che sia stato Descartes (1596 - 1650) il primo ad introdurre nella scienza l’idea di un “etere” come trasmettitore di azioni. Con la teoria di Maxwell, l’etere luminifero divenne un candidato per lo spazio assoluto di Newton

22 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 22 Equazioni di MAXWELL

23 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 23 Abbiamo visto che il principio di relatività galileiano è applicabile solo alle leggi della meccanica di Newton, ma non alle leggi dell’elettro- magnetismo di Maxwell A) le equazioni di Maxwell sono errate. Bisogna costruire una teoria del campo elettromagnetico che sia covariante rispetto alle trasformazioni d Galileo B) La relatività galileiana si applica solo alla meccanica classica, ma i fenomeni elettromagnetici permettono di determinare un riferimento assoluto e privilegiato, quello in cui l’etere è a riposo C) Esiste un principio di relatività, valido sia in meccanica che per l’elettromagnetismo, ma non è il principio di Galileo. Questa soluzione implica che le leggi della meccanica classica debbono essere modificate.

24 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 24 L’etere e la contrazione di Lorentz-Fitzgerald

25 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 25 L’etere e la contrazione di Lorentz-Fitzgerald Assumendo che la lunghezza del braccio parallelo alla velocità relativa all’etere sia contratta di un fattore pari a La differenza tra i tempi è eliminata

26 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 26 La soluzione “cinematica” di Einstein La soluzione di Einstein del problema dell’etere fu rivoluzionaria. Per Einstein non c’è etere e non c’è spazio assoluto. Nel famoso lavoro del 1905 asserì che “tutti i riferimenti inerziali sono equivalenti” e quindi che in ogni riferimento inerziale le leggi fondamentali di tutta la fisica sono le stesse. In particolare ogni riferimento inerziale è altrettanto buono per l’elettromagnetismo come il riferimento dell’etere di Maxwell. Di qui il secondo postulato: in ogni riferimento inerziale la velocità della luce vale sempre c. Einstein sapeva, naturalmente, che questo secondo postulato cozzava violentemente con le idee classiche e consolidate di spazio e di tempo. Einstein risolve il problema dell’etere per via “cinematica”, a differenza della via “dinamica” scelta da Lorentz, proponendo una nuova teoria dello spazio e del tempo in cui i due si mescolano a formare lo “Spaziotempo” e derivando, in modo indipendente dall’elettro- magnetismo di Maxwell, le trasformazioni di Lorentz che connettono le variabili spazio e tempo nei diversi riferimenti inerziali.

27 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 27 La soluzione di Einstein: I postulati della relatività speciale Principio di relatività: tutti i riferimenti inerziali sono equivalenti e quindi in ogni riferimento inerziale le leggi fondamentali di tutta la fisica sono le stesse. Principio di costanza della velocità della luce: la velocità con cui si propaga la luce (così come una qualsiasi onda e.m.) è indipendente dal moto della sua sorgente. A questi possiamo aggiungere il postulato che la velocità della luce “c” rappresenta un limite universale per la velocità dei corpi.

28 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 28 Ogni riferimento inerziale è spazialmente omogeneo ed isotropo, e temporalmente omogeneo. Ciò significa che un apparato per un esperimento può essere disposto in un qualunque punto di un riferimento inerziale (omogeneità), può essere posizionato lungo una qualunque delle direzioni possibili (isotropia), ripetuto più volte nel tempo (omogeneità temporale) ed i risultati saranno sempre gli stessi. L’assunzione del principio di costanza della velocità della luce comporta necessariamente un riesame critico del concetto di tempo. Non possiamo più considerare il tempo una grandezza assoluta, indipendente dal sistema di riferimento, perché altrimenti ritorneremmo alle trasformazioni galileiane

29 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 29 Unità di tempo Orologio atomico al cesio. Un fascio di atomi di cesio attraversa il tubo mentre un debole campo magnetico li fa ruotare su se stessi. Quando la frequenza del campo coincide con la frequenza interna dell’atomo di cesio (9.192631770 10 9 Hz), gli atomi entrano in risonanza. Questo orologio ha un errore di una parte su 10 13. La conferenza Generale di pesi e misure ha definito il secondo come la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione che corrisponde alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di cesio

30 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 30 Unità di lunghezza La Conferenza Generale di pesi e misure ha ridefinito il metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto nell’intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 s

31 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 31 Sincronizzazione di orologi in un riferimento inerziale. Coordinate spaziotemporali di un evento Immaginiamo di porre orologi standard a riposo nei vertici di (m, n, p) di un reticolo ortogonale di sottili regoli di lunghezza , con m, n, p numeri interi. Ogni orologio porti con sé l’informazione delle coordinate spaziali del punto dove si trova. Per sincronizzare tutti gli orologi, è sufficiente che l’osservatore nell’origine faccia partire un segnale luminoso, ad esempio all’istante t 0 ; l’orologio posto nel punto del reticolo a distanza r dall’origine è sincrono con l’orologio dell’osservatore, se segna il tempo t 0 +r/c nell’istante in cui viene raggiunto dal segnale inviato dall’origine. Una volta calibrati tutti gli orologi, le coordinate spaziotemporali di un evento si possono assegnare leggendo direttamente sull’orologio più vicino all’evento. Nella teoria newtoniana è possibile sincronizzare orologi che appartengono a differenti riferimenti in moto relativo, in conseguenza della scelta newtoniana di un tempo assoluto. Non così in relatività speciale. La sincronizzazione effettuata in un riferimento inerziale non è valida in un secondo riferimento in moto rispetto al primo con velocità diversa da zero.

32 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 32 La relatività della simultaneità eventi che in punti differenti dello spazio risultano simultanei per un osservatore, non lo sono per un altro osservatore che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo.

33 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 33 trasformazione standard di Galileo: Trasformazione di Lorentz Y’ v t v Z’ X’ O’

34 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 34 Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz Contrazione delle lunghezze Dilatazione dei tempi a)Il tempo di vita di un muone (vita media 2.2  s) b)Esperimento di Hafele e Keating (1971)

35 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 35 Meccanica relativistica

36 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 36 In viaggio verso Vega: il paradosso dei gemelli 24,5 25 50 Vega, stella nella costellazione della Lira Sul disegno, la rotta di un veicolo spaziale che effettua il percorso Terra - Vega appare più lunga della rotta della Terra. Ma in termini di tempo proprio, misurato dall’orologio che si muove col veicolo spaziale, il tempo complessivo del viaggio è di solo 10 anni, assai meno dei 50 anni della rotta della Terra. Velocità di crociera dell’astronave: 0.98 c Fattore 

37 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 37 Nello spazio (in alto) la via diretta tra due punti è la più breve; via via che la deviazione della rotta diventa più pronunciata, la distanza da percorrere aumenta. Nello spaziotempo (in basso) la rotta diretta tra l’evento iniziale e quello finale è la più lunga. Via via che la deviazione diventa più pronunciata, l’intervallo si accorcia. Alla velocità della luce, l’intervallo è nullo: non c’è invecchiamento.

38 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 38 La crisi della Relatività Speciale I campi di forza gravitazionali sono incompatibili con la relatività speciale Non è possibile costruire un riferimento inerziale globale In una piccola regione dello spaziotempo, piccola nel senso in cui le variazioni del campo di forza gravitazionale siano trascurabili rispetto al limite di precisione degli strumenti di misura, è sempre possibile costruire un riferimento inerziale locale, ed è a questi riferimenti che è applicata la relatività speciale

39 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 39 Redschift gravitazionale

40 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 40 Esperimento di Pound e Rebka (1960) Effetto Moessbauer H = 22.5 metri Dilatazione gravitazionale del tempo L’orologio nel campo gravitazionale più intenso batte il tempo più velocemente rispetto all’orologio nel campo gravitazionale meno intenso

41 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 41 La geometria di Minkoswski non è valida

42 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 42 Geometrie non euclidee Descrivono spazi in cui valgono tutti i postulati di Euclide tranne il V Data una retta e un punto fuori di essa, per il punto è possibile tracciare una e una sola retta parallela alla retta data V postulato di Euclide: Esempi di geometrie non euclidee Superficie sferica Sulla superficie della sfera due rette inizialmente parallele si intersecano e la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di π Superficie sferica K>0 La circonferenza di raggio r tracciata sul piano è più grande della circonferenza di uguale raggio tracciata sulla sfera

43 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 43 Geometrie non euclidee Superficie a sella, K<0 La circonferenza di un cerchio tracciato su una superficie a sella è maggiore della circonferenza di un cerchio piatto avente lo stesso raggio r N.B. La geometria su un cilindro è euclidea (k=0) Avvolgendo un foglio di carta su se stesso fino a formare un cilindro, la somma degli angoli interni del triangolo non cambia anche se la superficie sembra curva

44 21/05/07La relatività speciale: una rivoluzione dei concetti di spazio e tempo 44 La curvatura gaussiana La curvatura della sfera è una quantità intrinseca della superficie La curvatura della sfera è una quantità intrinseca della superficie Consideriamo un ottante trirettangolo, cioè un triangolo sferico che sia un quarto dell’emisfero nord. L’area di tale triangolo è 1/8 della superficie della sfera, allora è: A = 4  R 2 /8 = (  ) R 2 (  ) =  A/R 2 (1/R 2 ) = K = (  )/A Si può considerare una superficie generica e definire il limite: La quantità K(x) è la CURVATURA GAUSSIANA