“Fisica Atomica” 2007 Semplice introduzione alle basi fisiche delle sorgenti laser ANNOACC. 2007/2008 AULA R1 ORARIO: MERC. 15-16.00 GIOV. 15-16.00 7/1.

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1 “Fisica Atomica” 2007 Semplice introduzione alle basi fisiche delle sorgenti laser ANNOACC. 2007/2008 AULA R1 ORARIO: MERC. 15-16.00 GIOV. 15-16.00 7/1

2 Argomenti trattati: 1- Interazione radiazione-Materia 2-Spettri e forma delle righe spettrali, saturazione 3- Cavità ottiche e fasci gaussiani 4-Generazione di radiazione coerente 5- semplice rate-equation della sorgente laser 6- descrizione di alcuni laser event. 7- Metodi di spettroscopia laser non lineare Si possono utilmente consultare I seguenti testi: 1-A. Corney: “Atomic and laser Spectroscopy” Clarendon, Oxford 1977 2-A. E. Siegman: “Lasers” University science Books, Mill Valley,1986 3-W. Demtröder: “Laser spectroscopy” Springer-Werlach, Berlin Heidelberg New York, 1981, II ed. 1996 7/2

3 La figura mostra gli intervalli spettrali di emissione di nuclei, atomi e molecole rispetto alle sorgenti monocromatiche attualmente disponibili: non solo laser ma anche maser, tubi elettronici, sorgenti atomiche e luce di sincrotrone. 7/3  c

4 I laser coprono con continuità gli intervalli spettrali infrarosso, visibile e ultravioletto e parte della zona dei raggi x; L’intervallo coperto corrisponde a spettri atomici e molecolari dovuti agli elettroni di valenza, ed alle transizioni molecolari dovute al moto rotovibrazionale. la radiazione laser è caratterizzata da un elevato grado di monocromaticità, coerenza, direzionalità e brillanza. Altre importanti proprietà: 1 - impulsi di brevissima durata (fino a pochi 10 -15 sec) 2 - accordabilità - diversa per ogni tipo di laser 3 - stabilità in frequenza - fino a parti in 10 15 7/4

5 Se un’onda piana con un flusso di fotoni F viaggia nella direzione z del materiale, si avrà una variazione dF del flusso di fotoni a causa di processi di emissione e assorbimento stimolati; se l’intersezione tra l’onda e il materiale ha area S. la variazione del numero di fotoni dopo aver attraversato il materiale sarà SdF: SdF = (W 21 N 2 - W 12 N 1 ) Sdz dove W 21 e W 12 sono i rate di emissione e di assorbimento stimolati e W 12 =  12 F e W 21 =  21 F ; W 21 g 2 = W 12 g 1 e ;  12,  21 sono le rispettive sezioni d’urto. Si ha E si ottiene amplificazione quando Si sono ignorati i contributi dovuti all’emissione non radiativa in quanto non aggiungono nuovi fotoni e quelli di emissione spontanea che, essendo isotropa, contribuisce in modo minimo al flusso di un fascio parallelo di fotoni  è il coefficiente di amplificazione del materiale. =  dz 7/5

6 In un materiale all’equilibrio termico, dalla statistica di Boltzmann si ha che le popolazioni di due livelli degeneri stanno nel rapporto : Per avere amplificazione occorre realizzare la condizione di non equilibrio : che corrisponde alla inversione di popolazione del materiale ed ad una temperatura negativa tra i livelli. Con opportune procedure l’inversione di popolazione si può realizzare in un regime dinamico stazionario Il materiale amplificatore viene detto mezzo attivo, ed è chiamato maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation), o laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). 7/6

7 Per trasformare un amplificatore in un oscillatore si usa il principio generale di introdurre un feedback positivo. Nel caso del laser questo viene spesso realizzato mettendo il mezzo attivo in una cavità delimitata da due specchi altamente riflettenti. Dopo aver percorso una distanza l si ha una amplificazione I(l)=I(0) exp(  l) se si parte da 1 fotone per raggiungere l’intensità di 1w/cm 2 bisogna ottenere una amplificazione di circa 2x10 18 percorrendo una distanzadi circa 42/  metri. In mezzi gassosi normalmente si può ottenere 0,01<  Per realizzare dimensioni ragionevoli bisogna attraversare più volte ilmezzo utilizzando degli specchi.Poichè la velocità della luce è 3.10 8 m/s la durata del processo di amplificazione è sempre molto breve 7/7

8        esponenziale in un singolo passaggio       si estrae poca energia (disponibile h (N 2 -N 1 ) dal mezzo attivo e per avere una buona efficienza è necassario riutilizzare il mezzo realizzando passaggi multipli per mezzo di specchi    7/8

9 Mezzo attivo Un esempio di percorso multiplo è dato dalle cavità ad anello 7/9

10 l’intensità di un laser può raggiungere valori elevatissimi, grazie alla breve durata temporale di un impulso ed alla focalizzazione della luce; ad esempio un impulso di 1 J in un ns corrisponde ad una potenza di 100 MW, e se questa potenza viene focalizzata in una piccola area di 100 µ m 2 si arriva a intensità dell’ordine di 10 14 W/cm 2.  campo elettrico generato, che è proporzionale alla radice quadrata dell’intensità, può superare quello di legame degli elettroni e si produce quindi la ionizzazione del mezzo 

11 Frequenze generate dalle sorgenti laser 

12 La frequenza di un laser viene misurata da un analizzatore di spettro tramite una misura in eterodina dopo battimento con altri laser di frequenza conosciuta ed eventualmente con un oscillatore a microonde; lo scopo del battimento è di abbassarene la frequenza sino a renderla misurabile da un contatore.La frequenza incognita risulta essere una combinazione lineare di quelle di riferimento. La precisione della misura è molto elevata, limitata solo dalla stabilità delle sorgenti di riferimento e dal tempo di conteggio.        O contatore 

13 Diodi MIM(metal insulator metal) La piccola capacità di contatto da un RC =10 -15 sec, e funzionano sino alla luce ultravioletta 

14 Lo potenza del fascio laser si misura con bolometri autocalibranti 

15 Stettro di assorbimento di HBr    d      il rapporto S/N è proporzionale Al numero dei conteggi e si ha un limite alla sensibilità  Vapore di HBr Spettrometro

16 Riga di assorbimento di tipo lorentziano    7/16

17 Larghezza e forma delle righe Lo studio dell'interazione tra radiazione elettromagnetica ed atomi e molecole, fornisce una descrizione estremamente dettagliata della struttura interna di sistemi atomici, molecolari, dei loro aggregatie delle loro interazioni con l'ambiente esterno Ogni sistema isolato ha un certo numero di stati per ognuno dei quali i valori delle variabili che commutano sono definiti e costanti (per es. energia, momento angolare, parità ).  Energia Momento angolare, vibrazione etc. Schema dei livelli di un sistema

18 La meccanica quantistica prevede inoltre che il sistema possa passare da uno stato di energia E 2 ad un altro di energia E 1, emettendo (E 2 > E 1 ) od assorbendo (E 2 < E 1 ) della radiazione elettromagnetica la cui frequenza di oscillazione è data dalla legge di Planck che assegna ad un fotone di frequenza una energia E=h ( h= 6.6 10 -34 Js, costante di Planck) per cui:  E = E 2 - E 1 = h L'energia degli stati non è perfettamente definita (per esempio a causa di perturbazioni dall'esterno o del principio di indeterminazione), per cuila radiazione sarà emessa od assorbita su un certo intervallo di frequenze distribuito attorno al valore centrale,o più probabile, . 

19 La distribuzione dell'energia emessa in funzione della frequenza I(  costituisce la forma di riga spettrale Il termine riga è di derivazione spettroscopica e corrisponde al fatto che in uno spettroscopio una distribuzione spettrale I( ,abbastanza stretta, viene osservata come una immagine della fenditura di ingresso dello spettroscopio. La distribuzione I(  è caratterizzata dalla frequenza più probabile (centro della riga) , dalla larghezza della riga a metà altezza (FWHM)  =  =2 , intervallo di frequenze entro il quale il valore di I(  si mantiene superiore alla metà del valore massimo, e dalla forma normalizzata della riga g( ) definita in modo che sia soddisfatta la condizione di normalizzazione. 

20 I fenomeni che concorrono a stabilire la forma della funzione g( ) sono molteplici. Essi sono trattati secondo il criterio logico di analizzare indipendentemente i casi limite in cui uno solo dei molteplici effetti è prevalente. Nella realtà diversi effetti devono essere considerati simultaneamente. Nel caso di effetti indipendenti e simultanei la forma finale della riga si otterrà mediante un integrale di convoluzione del tipo Consideriamo perciò inizialmente dei sistemi che siano limitati nello spazio, otticamente sottili, tali cioè che sia trascurabile la probabilità di un riassorbimento dei fotoni riemessi, ed eventualmente illuminati con radiazione di intensità uniforme e costante o lentamente variabile nel tempo. Si supporrà inoltre che l'intensità sia sufficientemente debole da non perturbare significativamente il sistema (interazione lineare). 

21 Nell’ambito di questa approssimazione consideriamo i seguenti processi di allargamento: - allargamento naturale, - allargamento per effetto Doppler, - allargamento causato da collisioni con particelle neutre e/o cariche, - allargamento causato da campi elettrici o magnetici lentamente variabili, - allargamento causato da radiazione limitata nel tempo (tempo di interrogazione finito). si considererà infine la forma delle righe spettrali nel caso di: sorgenti non otticamente sottili e radiazione elettromagnetica intensa (effetti di saturazione e risposta non lineare). La complessità e varietà dei fenomeni che concorrono a definire la forma e larghezza delle righe spettrali ha come risvolto positivo la possibilità di ottenere numerose informazioni sullo stato fisico del sistema e dell'ambiente che lo circonda. Queste informazioni possono essereottenute senza contatto diretto col campione, e da grandissima distanza come nel caso degli oggetti astrofisici 

22 Costanza dell'assorbimento integrato nei sistemi lineari. Principio di stabilità spettroscopica, l’integrale della riga rimane costante 

23 Nell'approssimazione di interazione lineare la probabilità di assorbimento per unità di volume di un fascio di radiazione di intensità I( ) è data da: da cui dove k( ) = K g( ) è il coefficiente di assorbimento del sistema 

24 Secondo la terminologia introdotta da Einstein la probabilità di emissione è data dalla somma dell'emissione indotta (probabilità B 21 proporzionale ad n, e dell'emissione spontanea indotta dalle oscillazioni di campo zero del vuoto (probabilità A 21 ).. Dalle definizioni di coefficiente di assorbimento si ha per l'energia assorbita : oppure, dal punto di vista atomico, dal bilancio dei processi di assorbimento ed emissione : 

25 Uguagliando si ottiene: dove N 1 e N 2 sono le popolazioni stazionarie e per unità di volume dei due livelli e si è introdotta la sezione d'urto ottica di assorbimento: Risulta perciò che nell'approssimazione di interazione lineare, l’integrale di riga ha un valore costante ed indipendente dai processi che ne determinano la forma e la larghezza. Questo risultato è valido anche quando delle righe si sovrappongono o vengono risolte ed è noto come il principio di stabilità spettrale. Va notato che invece il valore dell'integrale di k( ) può non rimanere costante se la radiazione modifica le popolazioni dei livelli, come ad esempio, nel caso di pompaggio ottico 

26 1 2 3 rilassamento radiazione Emissione spontanea Pompaggio ottico: il livello 1 si svuota a vantaggio del 3 7/26

27 Larghezza Naturale Secondo la meccanica quantistica la probabilità di emissione spontanea A ki è costante e la radiazione viene emessa come un'onda la cui intensità si riduce esponenzialmente con la costante tempo  ki = 1/A ki. La distribuzione in frequenza della radiazione emessa si può calcolare eseguendo la trasformata di Fourier di un'onda smorzata esponenzialmente. Si ottiene per la distribuzione spettrale della radiazione emessa la funzione: chiamata Lorentziana e la cui larghezza (Full Width Half Maximum) vale: 

28  N è la larghezza naturale od intrinseca della riga. Il suo andamento a zero proporzionale a ( -  ) 2, abbastanza lento da rendere il coefficiente di assorbimento non trascurabile anche a notevole distanza dal centro della riga. Questo risultato esprime il principio di indeterminazione classico  t  = 1, proprietà della trasformata di Fourier. In meccanica quantistica si ha in corrispondenza il principio di indeterminazione dell'energia in base al quale uno stato di energia E che esista per un tempo  t è indeterminato della quantità  E  t = h/2 . Nel caso di una transizione verso lo stato fondamentale si ha  e la larghezza naturale della riga è uguale all’indeterminazione del livello eccitato. L’indeterminazione dei livelli di energia determina la larghezza naturale delle righe, permettendo un calcolo della larghezza nel caso di transizioni tra livelli qualsiasi, pari a: dove le sommatorie sono estese a tutti i livelli in cui si può decadere a partire rispettivamente dai livelli 2 ed l. 

29 Nel caso più generale si viene perciò a perdere la proporzionalità tra larghezza di riga e probabilità di emissione : per esempio si possono avere righe deboli con grande larghezza naturale se i livelli inferiori hanno una vita più breve. l’emissione di dipolo elettrico è proporzionale a 3 d 2, dove d è il momento di dipolo della transizione. Nel caso di atomi e molecole e per transizioni permesse, vale ripettivamente, per transizioni di dipolo elettrico e magnetico e dove a 0 è il raggio di Bohr e  0 il magnetone di Bohr. Si ha perciò,, con  costante di struttura fine: 

30 . L’emissione da parte di momenti di multipolo di ordine superiore ha probabilità ancora più piccole rispetto a quelle di dipolo, per esempio per la probabilità di emissione di quadrupolo elettrico si ha nella regione visibile Nella regione visibile e per transizioni di dipolo elettrico permesse si ha A ki =10 8 s -1, cioè la larghezza naturale è dell'ordine delle decine di MHz ed il Q =  naturale della riga è circa 10 8 :. La dipendenza di A da 3 aumenta notevolmente i tempi di emissione nella regione delle microoonde e radiofrequenze. Per esempio la riga a 21 cm ( 1,4 GHz) dell'atomo di idrogeno, che è una riga di dipolo magnetico tra i sottolivelli della struttura iperfina dello stato fondamentale, ha una vita media di 1.14 x 10 7 anni Solo l’enorme estensione delle nubi interstellari di idrogeno, la radiazione di fondo e fluttuazioni di temperatura rendono possibile l'osservazione di questa transizione in emissione. 

31 L’intenstà di una Lorentziana al centro della riga vale      :    : Ossia l'assorbimento o l'emissione al centro di una riga con allargamento naturale non dipende dalla probabilità A ki della riga e quindi dalla grandezza dei momento di dipolo (Questo è vero solo quando la larghezza del livello inferiore è trascurabile. Le righe più intense, cioè con maggior probabilità di emissione, sono solo più larghe e quelle deboli solo più strette. Si suppone la radiazione sufficientemente monocromatica. Eccitare una riga molto debole richiede solo una sorgente molto monocromatica (laser) 

32 EFFETTO DOPPLER Allargamento per effetto Doppler A causa dell'effetto Doppler, la frequenza  emessa da una sorgente viene osservata ad una frequenza diversa da  da un osservatore che sia in moto con una velocità relativa v rispetto alla sorgente. In un gas a temperatura ambiente v/c≈ 10 -6 possiamo sviluppare in serie l’equazione relativistica dell'effetto Doppler : dove v x è la componente della velocità nella direzione dell'osservatore ed il terzo termine è trascurabile anche rispetto al Q N 

33 la distribuzione spettrale di una riga allargata per effetto Doppler in un gas all'equilibrio termodinamico si calcola ricavando v x dall'eq. e sostituendola nell'eq. della distribuzione di Maxwell delle velocità dove  è la larghezza della riga Doppler misurata al valore di 1/e del massimo. La larghezza a metà altezza (FWHM = Full Width Half Maximum) vale: Con T temperatura del gas in gradi Kelvin ed M peso atomico o molecolare. Con lo stesso procedimento si può calcolare la forma di riga in casi più complessi purchè sia nota la funzione di distribuzione delle velocità 

34 È da notare che dall'eq precedente segue che la larghezza Doppler relativa è indipendente dalla frequenza della riga e vale circa 2 10 -6 a 300 K Da un confronto con la larghezza naturale, si ha che nella regione visibile l'allargamento per effetto Doppler è prevalenteper circa un fattore 100. La prevalenza dell'allargamento Doppler rispetto alla larghezza naturale si accentua nella regione infrarossa e millimetrica e si riduce nell’ultravioletto. La sezione d'urto ottica in presenza di allargamento Doppler vale mentre l'assorbimento al centro della riga viene ridotto di: doppler 

35 Profilo di Voigt In un gas, allargamento Doppler ed allargamento naturale sono contemporaneamente presenti come processi indipendenti ed il calcolo precedente è valido solo quando la larghezza naturale è trascurabile. Altrimenti la forma di riga deve essere calcolata eseguendo l'integrale di convoluzione che in questo caso è noto come integrale di Voigt purtroppo l'espressione analitica dell'eq non è nota e la forma di riga deve essere calcolata numericamente. Lontano dal centro della riga le curve Lorentziana e Gaussiana hanno un comportamento molto diverso perchè la seconda tende a zero molto più rapidamente di un andamento asintotico del tipo     n voigt 

36 . In figura sono mostrate una riga lorentziana ed una gaussiana di uguale intensità centrale. Lontano dal massimo della riga si ha un andamento lorentziano o, comunque, divengono prevalenti gli altri processi di allargamento. Nella regione intermedia è invece necessario calcolare il profilo di Voigt. La conoscenza dell'andamento asintotico lontano dal centro della riga è rilevante in molti problemi quali il calcolo della trasparenza di estese nubi gassose. 

37 L’allargamento naturale e quello Doppler sono esempi tipici delle due categorie in cui si classificano le forme di riga: righe omogenee e righe disomogenee. Nel primo caso l'allargamento è identico per ogni atomo del sistema e l'interazione con un fascio monocrornatico di radiazione è la stessa per tutti gli atomi. Il profilo Doppler è invece un caso di riga disomogenea perchè ogni singolo atomo interagisce con una propria forma di riga più o meno spostata in frequenza dall'effetto Doppler. Di conseguenza l'interazione del mezzo con un fascio monocromatico riguarda solo quella frazione di atomi il cui assorbimento omogeneo sottostante (al limite la larghezza naturale) risulta in coincidenza col fascio per effetto Doppler. La distinzione tra righe omogenee e righe disomogenee è particolarmente importante e nella spettroscopia non lineare perchè la parte disomogenea della riga può essere eliminata nelle osservazioni, con particolari accorgimenti, ed aumentare il potere risolvente Righe omogenee e righe disomogenee 7/37

38 La larghezza Doppler diminuisce come T 1/2 L'effetto è comunque modesto. Una riduzione maggiore dell'effetto Doppler, circa due ordini di grandezza, si può ottenere utilizzando atomi o molecole in fasci ben collimati ed osservando la radiazione emessa od assorbita in una direzione ortogonale a quella del fascio. Poichè lo spostamento dipende dal segno di v x, è possibile ridurre l’effetto Doppler. Nel caso di collisioni perfettamente elastiche, tali cioè da modificare la velocità degli atomi senza perturbare il loro stato interno, e la fase dell’onda emessa, si deve mediare su v x. Questa situazione, che si verifica, per esempio, nel caso di transizioni a microonde e di atomi dispersi in una matrice di gas diamagnetico. 

39 Effetto Dicke Quando il libero cammino medio L degli atorni nel gas diviene inferiore alla lunghezza d'onda, Vx cambia molte volte in grandezza e direzione durante un periodo della radiazione. L'effetto Doppler al primo ordine e mediato sui diversi valori che assume Vx e si riduce. Dicke ha calcolato che la riga assume una forma Lorentziana la cui larghezza vale: Quando è dell'ordine di qualche centimetro, è possibile osservare riduzioni dell'effetto Doppler di due, tre ordini di grandezza. Questo effetto permette misure molto preciseed è fondamentale per il funzionamento del maser ad idrogeno 

40 L'effetto Dicke si ha anche quando il confinamento avviene per collisioni elastiche contro pareti. Un caso noto è quello del maser all'idrogeno. Gli atomi di idrogeno vengono confinati in un contenitore di teflon di dimensioni inferiori a e, poichè le collisioni anelastiche sono di una ogni 10 4, si ha una spettacolare riduzione della larghezza della riga da circa 18 kHz (Doppler) a qualche Hz. Si ha anche un corrispondente aumento di intensità della riga dell’idrogeno, che permette di portare il guadagno sopra soglia ed, in definitiva, assicurare il funzionamento del maser. Maser H 2 

41 Campione al cesio  ’        è basato sulla transizione iperfina F=4,m=0—F=3,m=0 dello stato fondamentale, che per definizione avviene alla frequenza o=9 192 631 770 Hz, circa 32 mm. 

42 Spettro osservato 

43 Effetto Dicke etempo di interrogazione finito 

44 Perturbazioni indotte dalle collisioni sulla forma delle righe spettrali Tempo collisione tra atorni o molecole molto breve, praticamente istantaneo rispetto alla durata del processo spontaneo di emissione: dove v = velocità tra atomo e perturbatore e  = sezione d'urto per il processo perturbativo considerato (generalmente ≤ 10 -13 cm 2 ) A temperatura ambiente la velocità media delle particelle di un gas è dell'ordine di 10 5 cm/s e la durata della collisione è di circa 10 -13 s. L'atomo rimane imperturbato sino alla collisione successiva, la cui frequenza è (il volume percorso nell’unità di tempo per la densità del mezzo) dove v r è la velocità relativa media tra atomo e perturbatore e N la densità del perturbatore che può anche essere costituito da atomi della stessa specie. Il tempo intercorrente tra due collisioni consecutive t c =1/f c è inversamente proporzionale alla densità del gas. 

45 Per densità degli atomi N<10 16 cm -3 e nel caso di righe ottiche si ha che t c è più lungo della vita media dei livelli. Le collisioni non hanno un effetto sulla forma delle righe. Il limite precedente si abbassa nel caso di vite medie più lunghe come nell'infrarosso e nel caso di transizioni proibite Per densità N≤10 20 cm -3 (circa 10 atm.) t c è più lungo della durata della singola collisione ed esse si succedono perciò ben separate nel tempo. Il contributo delle collisioni multiple simultanee è trascurabile Tutti gli effetti di perturbazione delle righe sono in intensità proporzionali alla densità del perturbatore. In questo intervallo si parla comunemente di allargamento e shift per pressione. 

46 E’ giustificata tutta una classe di teorie di allargamento per pressione che va sotto il nome di teorie di impatto. Esse si basano su una trattazione più o meno dettagliata dell'effetto di una singola collisione e su una successiva media sulla distribuzione delle velocità e dei parametri di impatto. A densità più elevate, quando la distanza media tra gli atomi è così ridotta che la perturbazione simultanea da parte di due o più perturbatori non è trascurabile, conviene ricorrere alle cosiddetta approssimazione quasi statica, Si trascura il moto dei perturbatori e si calcola la perturbazione dei livelli in funzione della distanza tra emettitore e perturbatore e si esegue poi una media sulle possibili distribuzioni dei perturbatori Conviene distinguere tre diversi intervalli di densità degli atomi del gas Nel primo intervallo l'effetto delle collisioni è trascurabile, nel secondo si considera l'effetto delle singole collisioni indipendente e cumulabile, nel terzo è necessario considerare l'effetto simultaneo di più collisioni 

47 è sommabile con il processo di allargamento naturale in quanto entrambi modificano l'andamento temporale della radiazione emessa. Solo dalla trasformata di Fourier dell'effetto complessivo si ottiene la forma di riga. Nel limite in cui la durata della collisione( circa 10 -13 s) è superiore al periodo di oscillazione (a frequenze ottiche) dal teorema di fourier si ha che la trasformata di un’onda smorzata esponenzialmente con salti di fase con una frequenza pari a quella delle collisioni è ancora una distribuzione Lorentziana di larghezza pari alla frequenza delle collisioni Per avere la forma finale della riga bisogna eseguire successivamente l'integrale di convoluzione con il profilo Doppler. A pressioni più elevate la larghezza collisionale è maggiore di quella Doppler e la convoluzione può essere trascurata L'effetto delle collisioni 

48 Forze interatomiche L’interazione a grande distanza tra due atomi o molecole può essere descritta mediante un potenziale del tipo dove la costante C dipende dallo stato k dell'atomo perturbato e dalla natura del perturbatore, mentre il valore dell’esponente n dipende dal tipo di interazione: n =2 effetto Stark lineare (solo H) e perturbatori con carica (ioni) n=3 perturbazione risonante di dipolo tra atomi identici n=4 effetto Stark quadratico (altri atomi) n=6 forze di dipolo–dipolo indotto, tra particelle neutre 

49 Durante una collisione la frequenza istantanea di transizione tra due stati k ed i è una funzione della distanza r ed è data dall’equazione si ha una variazione di fase nella radiazione emessa, che si calcola integrando l'eq. sulla traiettoria della collisione. Si ha un avanzamento od un ritardo di fase a seconda dei valori delle costanti C k   /h        -E i    

50 Trattazione di Lorentz per particelle neutre Si calcola la variazione di fase  accumulata durante la collisione. Essendo la traiettoria rettilinea, essa dipende solo dal parametro di impatto . Per valori di  l'onda emessa perde memoria della fase ad ogni urto. In questo modo la forma della riga viene calcolata con la trasformata di Fourier di un'onda smorzata esponenzialmente e che perde la coerenza di fase con la frequenza data dalle collisioni. Si ottiene ancora una forma di tipo lorentziano la cui larghezza è però ora pari a: Si prevede correttamente la dipendenza lineare dalla densità, ma non un secondo risultato sperimentale: lo spostamento (shift) della frequenza centrale delle righe. Dai risultati sperimentali risulta che lo shift: 1)può essere sia positivo che negativo; 2)è proporzionale alla densità del perturbatore; 3) è sempre più piccolo dell'allargamento. 

51 Per rendere conto dello shift è stato necessario sviluppare delle teorie di impatto più dettagliate nelle quali si tiene conto anche dell'effetto delle collisioni con grande parametro di impatto che causano solo piccoli sfasamenti tutti dello stesso segno. Gli sfasamenti si accumulano nelle collisioni successive e spostano in media la frequenza della radiazione. Il valore ed il segno dello sfasamento produce, un aumento od una diminuzione della frequenza centrale della riga. Si ottiene per la forma di riga ancora una Lorentziana data dall’espressione: dove però la frequenza centrale è spostata della quantità Positiva o negativa: 7/51

52 S      ma non shift     del Sodio allargata da elio 

53 Riga D1 del Na Allargata da Neon 

54 

55 Nel caso siano presenti più perturbatori diversi, le teorie di impatto prevedono in accordo con i risultati sperimentali, una sovrapposizione lineare degli effetti di allargamento e shift La sezione d'urto ottica di assorbimento al massimo della riga viene ridotta, rispetto alla riga naturale di un fattore pari al rapporto delle larghezze:      s  del mezzo assorbente, si aumenta proporzionalmente la larghezza della riga ed il coefficiente di assorbimento al centro tende al valore asintotico 

56 Il valore asintotico definito dall'equazione viene però avvicinato solo quando perché si ha sempre. Invece il coefficiente di assorbimento al massimo della riga aumenta proporzionalmente con la densità del gas quando. Questo risultato è importante perchè pone un valore limite al massimo del coefficiente di assorbimento di una riga. Per avere un maggiore assorbimento bisogna aumentare il volume del campione e non la densità 

57 Una situazione particolare dell'allargamento per pressione si ha nella regione delle microonde e delle radiofrequenze dove l’approssimazione non è più vera anche a pressioni modeste Infatti dalla trasformata di Fourier di un'onda smorzata esponenzialmente si hanno due termini a microonde il secondo termine dell’eq. deve essere considerato e si ottiene la forma di riga (la durata della collisione è inferiore al periodo) : dove N è la densità delle molecole ed f la frazione nello stato N 1. Nella formulazione originale di Van Vleck -Weisskopf non compare il termine di shift, che è calcolabile solo con trattazioni quantistiche 

58 L’equazione contiene inoltre anche l'assorbimento non risonante di Debye dovuto alla riorientazione dopo ogni collisione dei momenti statici di dipolo delle molecole polari In questo caso infatti ponendo si ottiene dove  è il tempo medio tra collisioni successive. 

59 Righe a microonde 

60 Collisioni con particelle cariche Caso 1: gas debolmente ionizzati, i mezzi attivi delle normali scariche in gas, dai Caso 2: gas più o meno completamente ionizzati. Nel primo caso la densità relativa delle particelle cariche è molto piccola (10 -3 o meno) ed il loro effetto è in genere trascurabile rispetto a quello delle particelle neutre. Nel caso 2 la perturbazione predominante è l'effetto Stark indotto dalle particelle cariche. Inoltre, in un plasma la velocità degli elettroni è molto superiore a quella degli ioni(>100) entro ampi limiti di densità e temperatura: I tempi di collisione sono brevi < 10 -15 s. La perturbazione causata dagli elettroni deve quindi essere calcolata nell'approssimazione di impatto, mentre il contributo degli ioni deve essere calcolatonell’approssimazione statica Il contributo degli elettroni, calcolato con teorie di impatto dà una forma di riga lorentziana. Nel caso di effetto Stark quadratico si ha anche uno shift che è dello stesso ordine di grandezza dell’allargamento ed è sempre dello stesso segno di quello prodotto dagli ioni essendo proporzionale al quadrato del campo. 

61 Nel caso di effetto Stark lineare (atomi idrogenoidi, stati di Rydberg e molecole symmetric top), la perturbazione preponderante è quella prodotta dagli ioni, il contributo degli elettroni tende però ad attenuare fortemente il minimo centrale nelle righe con due massimi; l’allargamento prodotto dagli ioni è proporzionale ad N. In generale si ha un buon accordo tra teoria e risultati sperimentali e la misura della larghezza delle righe dell'idrogeno è, per esempio, un buon metodo diagnostico per ottenere valori attendibili della densità delle cariche nel plasma. (densità e temperatura degli elettroni). Lo studio della forma delle righe è un potente mezzo per la diagnostica delle condizioni del plasma 

62 Le collisioni con le particelle cariche del plasma provocano un allargamento e uno spostamento delle righe spettrali emesse dal plasma che può essere usato come una dignostica non invasiva per determinare lo stato del plasma ed in particolare la densità elettronica N e. Forme di riga previste per le righe Ha, Hb, Hg dell'idrogeno in un plasma omogeneo alla temperatura di 20 000 K˚ ed una densità di cariche di 10 16 

63 Spettro dell’idrogeno per quattro diverse densità degli elettroni (da Wiese et all.: Phys. Rew. 6A 1132 (1982)). Spettro dell’idrogeno atomico 

64 Quando, nel caso di assorbimento od emissione indotta, il tempo di interazione è limitato e più corto del tempo di emissione spontanea, si ha un ulteriore processo di allargamento delle righe. La forma delle righe può essere calcolata dalla trasformata di Fourier dell'onda incidente, la cui ampiezza descrive l'andamento temporale del processo di interazione. Se gli atomi vengono illuminati per un periodo T con un'onda di intensità costante, la forma della riga è proporzionale alla funzione È questo il caso di un fascio atomico di velocità v illuminato con intensità costante per una lunghezza L tale che T=v/L. La larghezza della riga vale allora Tempo di interrogazione finito 

65 Un caso di interesse pratico si ha anche quando la radiazione incidente è quella di un fascio laser nel modo fondamentale di propagazione TEM 00. In ogni suo punto di focalizzazione, il fronte d'onda è piano e la sua intensità trasversa vale Dove D=2w è il diametro del fascio. Se un atomo con velocità v attraversa perpendicolarmente il fascio laser il campo ha forma gaussiana e poichè la trasformata di Fourier di una gaussiana è una gaussiana, si avrà una forma di riga gaussiana, che però in questo caso è una riga omogenea, la cui larghezza vale: Fascio laser 