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Carlo A. Pensavalle1 Via Vienna 2- 07100 SASSARI tel. 079- 229485 Fax 079-229482 Dr Carlo Andrea Pensavalle INTRODUZIONE ALLORIGAMICA:

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1 Carlo A. Pensavalle1 Via Vienna SASSARI tel Fax Dr Carlo Andrea Pensavalle INTRODUZIONE ALLORIGAMICA: ALLA SCOPERTA DELLA GEOMETRIA DIETRO LE PIEGHE.

2 Carlo A. Pensavalle2 Il termine Origamica è stato introdotto per primo dal biologo e matematico giapponese Kazuo Haga nel Le attività di origamica differiscono da quelle ordinarie del mondo dellorigami, dove lobiettivo è realizzare figure di animali, fiori e altri oggetti famigliari. LOrigamica è un approccio allesplorazione matematica attraverso la piegatura della carta. I suoi aspetti manipolativi la rendono un ottimo strumento per linsegnamento ed apprendimento della matematica. COSA SIGNIFICA ORIGAMICA

3 Carlo A. Pensavalle3 COSA SI FA IN ORIGAMICA In Origamica si svolgono attività sperimentali di esplorazione, visualizzazione, scoperta, congettura e dimostrazione. Tali attività portano allo studio degli effetti del piegare il foglio ed al cercare regolarità nelle pieghe prodotte. Regolarità che portano alla caratterizzazione di punti, rette, angoli, poligoni, etc.

4 Carlo A. Pensavalle4 QUALI PIEGHE IN ORIGAMICA? In origamica, le pieghe accettabili sono quelle che hanno la proprietà di essere riproducibili. Il risultato di una piega o di una sequenza di pieghe deve essere sempre lo stesso. Non importa chi la esegue. Deve sempre essere possibile descrivere a parole o mediante un disegno, la sequenza di pieghe da eseguire per ottenere il risultato finale. Se il processo è eseguito con rigore e precisione si ottiene necessariamente il risultato atteso.

5 Carlo A. Pensavalle5 Le prime pieghe dellorigamica che rispettano il principio di riproducibilità sono di due tipi: Pieghe che portando punti su punti. Pieghe che portando linee su linee. QUALI PIEGHE IN ORIGAMICA?

6 Carlo A. Pensavalle6 PIEGARE UN RETTANGOLO PROBLEMA 1: Supponiamo di voler piegare un rettangolo di carta usando come riferimenti per condurre pieghe riproducibili i quattro lati ed i quattro vertici. Quanti modi diversi abbiamo per effettuare una piega riproducibile? Sono due i tipi di pieghe riproducibili che possiamo eseguire.

7 Carlo A. Pensavalle7 LA PIEGA A LIBRO La piega a Libro: sovrappone due lati opposti. LL

8 Carlo A. Pensavalle8 LA PIEGA SGHEMBA La piega sghemba, sovrappone due vertici opposti. Ogni altra piega non è una piega riproducibile! S

9 Carlo A. Pensavalle9 Un approccio alle superfici piane equivalenti con lausilio dellOrigamica. Un lembo di stoffa, un cartoncino, un foglio di compensato comunque ritagliati e disposti su un piano in modo da aderire completamente ad esso, forniscono lidea intuitiva di ciò che chiamiamo superficie piana. Lidea intuitiva di estensione di una superficie, può essere chiarita associandola alla quantità di vernice che occorre per colorarla, oppure, se la ritagliamo da un foglio di compensato, al suo peso. Due superfici piane si dicono equivalenti, quando hanno uguale estensione. Ad uguali estensioni corrispondono uguali quantità di vernice e uguali pesi, se sono estensioni ottenute da uguale materiale!

10 Carlo A. Pensavalle10 PRIMA DISCUSSIONE Le pieghe effettuate hanno lasciato sul foglio di carta una traccia. Evidenziala con un pastello colorato. Quale relazione osservi tra le due parti in cui resta diviso il rettangolo?

11 Carlo A. Pensavalle11 VERSO LEQUIVALENZA DI FIGURE PIANE Considera una sola delle due parti in cui le pieghe dividono il rettangolo. Possiamo dire che le parti sono uguali perché hanno tutte stessa forma? In base a quale proprietà possiamo dire che sono … uguali?

12 Carlo A. Pensavalle12 VERSO LUGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA Ecco che possiamo rappresentare la proprietà che accomuna le parti, lessere uguale a, con il simbolo di uguale che finalmente svela il suo ruolo fondamentale in matematica, quello di relazione di equivalenza. In questo caso significa essere la metà dellintero rettangolo. ==

13 Carlo A. Pensavalle13 VERSO LUGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA OSSERVAZIONE 1 Se si realizza il materiale in legno tipo MDF, è possibile rafforzare lidea di uguaglianza pesando le singole parti di forma diversa ed osservando che hanno tutte stesso peso, la metà del peso del rettangolo iniziale. Quindi le parti sono uguali perché hanno stesso peso! Ecco che lessere uguale a in questo caso significa avere lo stesso peso.

14 Carlo A. Pensavalle14 COME COSTRUIRE IL PUZZLE IN LEGNO Si realizzano in legno MDF 6 rettangoli (sovrapponibili). 3 di questi, li si taglia in metà come quelle ottenute piegando la carta: 2 metà tagliando lungo lasse del lato minore, 2 metà tagliando lungo lasse del lato maggiore, 2 metà tagliando lungo una sezione per il centro e simmetrica rispetto ai vertici. Questa strategia è più indicata con gli allievi più piccoli. Si chiede loro di confrontare le parti con il tutto, sovrapponendole sui rettangoli interi, di pesare i pezzi del puzzle e di discutere quanto osservato.

15 Carlo A. Pensavalle15 VERSO LUGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA OSSERVAZIONE 2 Nel caso di allievi già con abilità di calcolo, si può iniziare lesplorazione che nasce dal trovare la misura dellarea delle singole parti. Se le dimensioni del rettangolo iniziale sono base 8 e altezza 10 cm, losservazione del calcolo dellarea dei due rettangoli porta a stabilire relazioni aritmetiche che fanno riflettere sulle rappresentazioni non canoniche dello stesso numero: 40 = 4 x 10 = 8 x 5

16 Carlo A. Pensavalle16 VERSO LUGUALE COME RELAZIONE DI EQUIVALENZA OSSERVAZIONE 3 Il calcolo dellarea del trapezio porta ad un problema nuovo: Il concetto di EQUAZIONE. Non avendo informazioni sulle basi del trapezio, risulta solo possibile scrivere: 40 = ((B + b) x 8) : 2 10 = B + b B b 8

17 Carlo A. Pensavalle17 ALLA RICERCA DI ALTRI POLIGONI EQUIALENTI Vogliamo espandere la famiglia di figure che sono uguali alla metà dellintero rettangolo. Per fare questo dobbiamo compiere nuove pieghe riproducibili sul rettangolo. Lidea sta nel comporre sequenze di pieghe riproducibili!

18 Carlo A. Pensavalle18 SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI SFIDA: Quali sequenze di due pieghe riproducibili possiamo costruire utilizzando la piega a Libro e la piega Sghemba? Adottiamo la convenzione di indicare con L la piega a libro e con S quella sghemba. Ad esempio la scrittura SL indica che la sequenza di pieghe da effettuare nellordine sul rettangolo è: prima la piega a Libro e poi quella Sghemba.

19 Carlo A. Pensavalle19 POSIZIONE STANDARD DEL RETTANGOLO Per facilitare la descrizione della sequenza delle pieghe e la discussione, fissiamo la posizione standard del rettangolo di carta. Il rettangolo è posizionato sul tavolo (o sulla lavagna o proiettato sullo schermo) con due lati orizzontali (quello in alto e quello in basso) e due verticali (quello di destra e quello di sinistra).

20 Carlo A. Pensavalle20 SEQUENZA SL L S

21 Carlo A. Pensavalle21 TRACCE DELLA SEQUENZA SL

22 Carlo A. Pensavalle22 SEQUENZA LS S L

23 Carlo A. Pensavalle23 TRACCE DELLA SEQUENZA LS

24 Carlo A. Pensavalle24 VERSO LA CLASSIFICAZIONE DEI POLINOMI Possiamo arricchire daltre immagini la relazione di equivalenza essere la metà dellintero rettangolo. = = ==

25 Carlo A. Pensavalle25 SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI SFIDA: Quali sequenze di tre pieghe riproducibili possiamo costruire utilizzando la piega a Libro e la piega Sghemba? Quali nuove forme che corrispondono alla metà dellintero rettangolo possiamo ottenere?

26 Carlo A. Pensavalle26 SEQUENZA LSL S L L

27 Carlo A. Pensavalle27 TRACCE DELLA SEQUENZA LSL

28 Carlo A. Pensavalle28 SEQUENZA SLL S L L

29 Carlo A. Pensavalle29 TRACCE DELLA SEQUENZA SLL

30 Carlo A. Pensavalle30 SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI SFIDA: Quali sequenze di più di tre pieghe riproducibili generano nuove forme che corrispondono alla metà dellintero rettangolo?

31 Carlo A. Pensavalle31 SEQUENZA LSLL S L L L

32 Carlo A. Pensavalle32 TRACCE DELLA SEQUENZA LS LL

33 Carlo A. Pensavalle33 SEQUENZE DI PIEGHE RIPRODUCIBILI Introduciamo una nuova piega elementare: la piega a Diagonale, D = LS come in fig. D+D+ D-D-

34 Carlo A. Pensavalle34 SEQUENZA D + RD - L (dove con R si intende un ribaltamento verso sinistra del foglio) Si ottengono le seguenti tracce

35 Carlo A. Pensavalle35 Un mondo senza Matematica, sarebbe il CAOS! Non aver paura!!!


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