La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Geometria in situazione seconda parte di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Geometria in situazione seconda parte di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna."— Transcript della presentazione:

1 Geometria in situazione seconda parte di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna

2 Indice Quarta situazione Quinta situazione Modo duso del file

3 Modo duso del file Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò lunica azione che deve compiere il visitatore è un semplice clic del mouse per passare da una diapositiva alla prossima. Lindice è un collegamento ipertestuale: basta cliccare su ciò che si desidera vedere. I bottoni verdi conducono allindice. Dal menu Presentazione, attivare Visualizza presentazione.

4 Quarta situazione Unidea suggerita dai cuscinetti a sfera

5 Consegna iniziale per gli studenti I meccanici conoscono bene il problema dei cuscinetti a sfera, consistente nel contornare di sferette l'albero attorno al quale gira una ruota. Per esempio, i cuscinetti a sfera li troviamo nei pignoni delle biciclette, nei mozzi delle ruote delle automobili. A noi interessa in modo particolare il problema di inscrivere in un dato cerchio due o più cerchietti tangenti fra di loro e pure tangenti internamente alla sua circonferenza. È una variazione del problema dei cuscinetti a sfera, che riserverà non poche sorprese!

6 Prima stimolazione: due cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r r2r2 r2r2 Commento Fin troppo facile…

7 Seconda stimolazione: tre cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r. x 30° x 15° r3r3. 120° Commento Niente di particolarmente interessante: assomiglia a uno dei soliti barbosi esercizi…

8 Terza stimolazione: quattro cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: r r4r4. Commento Ancora niente di eccezionale, ma si nota come il metodo di calcolo adottato prima sia direttamente applicabile anche a questo caso.

9 72° Quarta stimolazione: cinque cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: Commento Qui si incomincia a vedere la struttura della formula generale, grazie al fatto che le tangenti interessate non sono esprimibili mediante radicali. r r5r5 x 54° x 27°

10 60° Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio Raggio dei cerchietti inscritti: Commento Potendo usare le radici, i risultati assumono forme più leggibili. Il valore trovato ci presenta la prima grande sorpresa… r r6r6 60° x x

11 Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio Se calcoliamo le lunghezze lungo un diametro scopriamo che… Commento Ora siamo pronti per la generalizzazione. … al centro ci sta un nuovo cerchietto. Quindi i 6 cerchietti ipotizzati diventano 7.

12 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio Sia n il numero dei cerchietti della prima corona.. rnrn r x x.

13 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio Inseriamo in un computer la formula trovata, per esempio usando un foglio elettronico. Schema del calcolo: n è il numero di cerchietti nella prima corona (tangenti internamente alla circonferenza data). Calcolando sul diametro si può stabilire il numero di corone concentriche: Per n = 1,2,3, …, (24):

14 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio A destra, un esempio di possibile output: Possiamo notare che per n=6 appaiono due corone (come abbiamo già trovato con il calcolo). Inoltre il computer ci segnala che per n=10 si passa a tre corone, per n=13 a quattro, per n=16 a cinque, per n=19 a sei, per n=22 a sette.

15 Quinta situazione Oltre la terza dimensione: ipercubo e compagni

16 Consegna iniziale per gli studenti Così come… il punto è il cubo a zero dimensioni, il segmento è il cubo a una dimensione, il quadrato è il cubo a due dimensioni, il cubo è il cubo a tre dimensioni, … l'ipercubo è il cubo a quattro dimensioni. Così come… è possibile rappresentare (mediante proiezione) un cubo a tre dimensioni su di un foglio di disegno (bidimensionale), … dovrebbe essere possibile realizzare un modellino tridimensionale che sia la proiezione dell'ipercubo. Ogni modellino tridimensionale può essere rappresentato su un foglio (bidimensionale), quindi anche sullo schermo.

17 Guida per linsegnante La situazione è stimolante sin dall'inizio: la curiosità degli studenti per quello che può essere definito un superamento della terza dimensione è nota ad ogni insegnante. Qui si propone di adottare un modo semplice ma efficace che permetta di passare dalla dimensione k alla k+1. L'oggetto della ricerca è il cubo a k dimensioni (k-cubo), con k=0,1,2,3,4,… Di ogni k-cubo verranno contati gli elementi a 0, 1, 2, …, (k– 1) dimensioni: essi formano una n-tupla caratteristica del k- cubo.

18 Prima stimolazione: da 0-dim a 1-dim punto: 0 dimensioni (1) traslazione segmento: 1 dimensione t 01 (2,1)

19 Seconda stimolazione: da 1-dim a 2-dim segmento: 1 dimensione (2,1) traslazione quadrato: 2 dimensioni t 12 (4,4,1)

20 Terza stimolazione: da 2-dim a 3-dim quadrato: 2 dimensioni (4,4,1) traslazione cubo: 3 dimensioni t 23 (8,12,6,1)

21 Quarta stimolazione: da 3-dim a 4-dim cubo: 3 dimensioni (8,12,6,1) traslazione ipercubo: 4 dimensioni t 34 (16,32,24,8,1)

22 Quarta stimolazione: lipercubo Proiezione tridimensionale dellipercubo

23 Quinta stimolazione: prima generalizzazione Per poter chiarire bene la natura dei diversi k-cubi, costruiamo una tabella che ci permette di indurre le formule per il calcolo del termine n-esimo di ogni successione relativa agli elementi di dimensione 0,1,2,3,4, che chiamiamo ordinatamente: p k : numero vertici (0-dim) del k-cubo s k : numero spigoli (1-dim) del k-cubo f k : numero facce (2-dim) del k-cubo c k : numero cubi (3-dim) del k-cubo

24 Quinta stimolazione: prima generalizzazione Con un po di pazienza… … e con un po di intuito Dim. k-cubopkskfkck ……………

25 Sesta stimolazione: ultima generalizzazione Allora la nostra congettura diventa: k \ i ……………………………… Inizializzazione: punto segmento quadrato cubo ipercubo supercubo fantacubo extracubo specialcubo elefancubo kilocubo

26 Settima stimolazione: scopriamo un teorema Calcoliamo: k \ i ………………………………… k k è uguale a 1, per ogni k

27 Il teorema può essere generalizzato. Allora vale la formula: Settima stimolazione: enunciamo il teorema Caso particolare: k=3 Ossia: Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri)

28 FINE © 2002


Scaricare ppt "Geometria in situazione seconda parte di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna."

Presentazioni simili


Annunci Google