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Prof. Biasco 2006-07 1 La Funzione Esponenziale un modello matematico della realtà La matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi.

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1 Prof. Biasco 2006-07 1 La Funzione Esponenziale un modello matematico della realtà La matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi concreti e, anche se nel corso dei secoli è diventata sempre più astratta e generale, costituisce uno strumento formidabile dindagine della realtà in quanto offre numerosi modelli per interpretare i fenomeni naturali. Un modello interessante di numerosi fenomeni è rappresentato dalla Funzione Esponenziale.

2 Prof. Biasco 2006-07 2 La Funzione Esponenziale La maggior parte dei batteri si riproduce mediante il meccanismo della scissione cellulare (mitosi). Una volta raggiunta una dimensione opportuna, ogni batterio si divide in due cellule identiche, di massa pari a circa la metà di quella originaria. A loro volta, le due cellule figlie si accrescono fino a dividersi ulteriormente. Un batterio si può riprodurre ogni venti minuti circa, proliferando in colonie abbastanza grandi da essere visibili a occhio nudo Vogliamo studiare levoluzione di una popolazione iniziale di No batteri dopo k cicli riproduttivi. 1 - La riproduzione dei batteri

3 Prof. Biasco 2006-07 3 Archeobatterio in fase di divisione Gli archeobatteri costituiscono un gruppo di batteri adattati a vivere in condizioni ambientali estreme. Methanospirillum hungatii è un archeobatterio metanogeno Gram- negativo, presente in ambienti privi di ossigeno di paludi e stagni; esso trasforma l'anidride carbonica in metano. Nella foto, il microrganismo è osservato mediante microscopio elettronico a trasmissione, e appare in fase di scissione, ovvero mentre si sta dividendo per dare luogo a due cellule figlie.

4 Prof. Biasco 2006-07 4 Colonia di streptococchi

5 Prof. Biasco 2006-07 5 Nel gruppo degli streptococchi, batteri Gram-positivi, sono comprese numerose specie patogene per l'uomo, quali S. pneumoniae (pneumococco), responsabile della polmonite e di alcune forme di meningite, e S. pyogenes, agente di alcuni tipi di tonsillite, dell'endocardite, della febbre reumatica, della piodermite e della scarlattina. A seconda della specie, l'azione patogena scaturisce da componenti della capsula che riveste la cellula, oppure da composti che vengono riversati all'esterno (esotossine). Alcuni streptococchi trovano impiego nell'industria delle preparazioni alimentari, come nel caso della produzione dello yogurt e del kefir, in cui si sfrutta il metabolismo fermentativo di S. bulgaricus e S. termophilus. Nell'immagine, ottenuta al microscopio elettronico a scansione, è visibile una colonia di S. pyogenes le cui cellule, di forma tondeggiante (cocchi) appaiono disposte in fila, caratteristica tipica della gran parte degli streptococchi.

6 Prof. Biasco 2006-07 6 La Funzione Esponenziale 0 1 2 3 4 5 1 2 4 8 16 32 k N

7 Prof. Biasco 2006-07 7 La Funzione Esponenziale quindi num batteri Stadio zero 1 Stadio 12 = 2 1 Stadio 24 = 2 2 Stadio 38 = 2 3 Stadio 416 = 2 4 Stadio 532 = 2 5 Stadio 664 = 2 6 Stadio kN = 2 k

8 Prof. Biasco 2006-07 8 La Funzione Esponenziale 0 1 23 4 5 1 4 8 16 32 Stadio riproduttivo Numero batteri

9 Prof. Biasco 2006-07 9 La Funzione Esponenziale In generale Se allo stadio iniziale i batteri sono No. Stadio zero N o = N o 2 0 Stadio 1N 1 = 2N o = N o 2 1 Stadio 2N 2 = 2N 1 = N o 2 2 Stadio 3N 3 = 2N 2 = N o 2 3 Stadio 4N 4 = 2N 3 = N o 2 4 Stadio 5N 5 = 2N 4 = N o 2 5 Stadio 6N 6 = 2N 5 = N o 2 6 Stadio kN k = 2N k-1 = N o 2 k Nella formula compare il termine esponenziale 2 k

10 Prof. Biasco 2006-07 10 La Funzione Esponenziale No = 5

11 Prof. Biasco 2006-07 11 In generale DEF se a R + a 1 la funzione: f: x R -----------> y = a x R + si dice Funzione Esponenziale di base a. La Funzione Esponenziale

12 Prof. Biasco 2006-07 12 La Funzione Esponenziale Problemi sui batteri 1. Supponendo che la riproduzione di un batterio avvenga ogni 20 minuti calcolare quante ore occorrono affinché una popolazione iniziale di 10 batteri raggiunga il numero di 10 9 unità. 2. Calcolare il numero di cellule che si originano da 20 cellule dopo 15 cicli riproduttivi. 3. Dopo 9 cicli riproduttivi si ha una popolazione di 220160 batteri. Calcolare il numero iniziale di batteri.

13 Prof. Biasco 2006-07 13 La Funzione Esponenziale 2 - Un deposito bancario o Quando versiamo dei soldi in banca riceviamo un compenso che è linteresse. Linteresse è il prezzo che la banca paga per poter disporre del nostro denaro. o Il tasso dinteresse i (opp r) normalmente è espresso in percentuale es.i = 5% su 100 euro depositati la banca dà 5 euro dinteresse.

14 Prof. Biasco 2006-07 14 La Funzione Esponenziale o Nellinteresse semplice il calcolo dellinteresse viene fatto una sola volta alla fine del periodo dinvestimento o Nellinteresse composto linteresse è calcolato alla fine di ogni anno e si capitalizza, cioè diventa nuovo capitale su cui si calcola un nuovo interesse. Il calcolo dellinteresse può essere fatto principalmente in due modi: Interesse Semplice o Interesse Composto

15 Prof. Biasco 2006-07 15 La Funzione Esponenziale Interesse Semplice Un capitale iniziale di 10.000 euro viene investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni. Calcolare linteresse semplice e il montante finale. C = 10.000i = 4%t = 5 anni o Il calcolo dellinteresse semplice è dato dalla formula: I = C i t Oss. Linteresse è direttamente proporzionale al capitale, al tasso dinteresse e al tempo.

16 Prof. Biasco 2006-07 16 La Funzione Esponenziale Interesse Semplice Quindi Alla fine dei cinque anni dinvestimento avremo un Montante Montante = Capitale + Interesse M = C + I = 10.000 + 2000 = 12.000 euro

17 Prof. Biasco 2006-07 17 La Funzione Esponenziale Nella tabella seguente è riportato linteresse e il montante relativi ad un investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse semplice

18 Prof. Biasco 2006-07 18 La Funzione Esponenziale Anni investimento euro Montante e Interesse sono linearmente dipendenti dal tempo

19 Prof. Biasco 2006-07 19 La Funzione Esponenziale 4% 6% 20% anni interess e Linteresse semplice è direttamente proporzionale al tempo e aumenta allaumentare del tasso dinteresse C = 1 euro

20 Prof. Biasco 2006-07 20 La Funzione Esponenziale Interesse Composto annuo Lo stesso capitale iniziale di 10.000 euro viene ora investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni ad interesse composto annuo. Calcolare linteresse e il montante finale. C = 10.000i = 4%t = 5 anni Per risolvere il problema calcoliamo interesse e montante anno per anno:

21 Prof. Biasco 2006-07 21 La Funzione Esponenziale Inizio investimento = stadio zero C = 10000 Fine primo anno = stadio 1I 1 =10000*4%*1 = 400 M 1 = 10000+400= 10400 Fine 2° anno = stadio 2I 2 =10400*4%*1 = 416 M 2 = 10400+416= 10816 Fine 3° anno = stadio 3I 3 =10816*4%*1 = 432,64 M 3 = 10816 + 432,64 = 11248,64 Fine 4° anno = stadio 4I 4 =11248,64 *4%*1 = 449,95 M 4 = 11248,64+ 449,95 =11698,59 Fine 5° anno = stadio 5I 5 = 11698,59* 4%*1 = 467,94 M 5 = 11698,59 + 467,94 = 12166,53

22 Prof. Biasco 2006-07 22 La Funzione Esponenziale Nella tabella seguente è riportato linteresse e il montante per lo stesso investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse composto

23 Prof. Biasco 2006-07 23 La Funzione Esponenziale Anni investimento Montante maturato Il Montante è funzione esponenziale del tempo

24 Prof. Biasco 2006-07 24 La Funzione Esponenziale Formula generale dellinteresse composto inizio Mo = C anno 1°M 1 = C + I = C + C r 1= C (1+r) anno 2°M 2 = M 1 + I = M 1 + M 1 r 1= M 1 (1+r)= C (1+r)(1+r) = C (1+r) 2 anno 3°M 3 = M 2 + I = M 2 + M 2 r 1= M 2 (1+r)= C (1+r) 2 (1+r) = C (1+r) 3 anno k° M k = C (1+r) k Nella formula compare il termine esponenziale (1+r) k

25 Prof. Biasco 2006-07 25 La Funzione Esponenziale Problemi sullinteresse 1. Calcolare il montante ottenuto investendo 50.000 euro al tasso del 3% per 10 anni nel caso di interesse semplice e di interesse composto annuo. 2. Un investimento di 8 anni al tasso del 2% ha prodotto il montante di 29.291,48 euro, Calcolare il capitale iniziale. 3. Quanti anni deve durare linvestimento di 12.000 euro al tasso del 2% per produrre un montante di 17.831 euro? 4. Il sig. Antonio marito della sig.ra Cesira si vanta di aver ottenuto 70.548 euro investendo in buoni postali 30.500 euro per 6 anni. Spiega perché il signor Antonio racconta frottole. 5. La Banca Popolare di Soldopoli ci propone due tipi dinvestimento il primo ad interesse semplice del 6% e il secondo ad interesse composto annuo del 4%. Stabilire in quale caso risulta conveniente il primo e in quale caso il secondo.

26 Prof. Biasco 2006-07 26 La Funzione Esponenziale Le vibrazioni degli oggetti producono suoni o rumori: ess. Vibrazione delle corde di una chitarra o di un pianoforte, della membrana di un tamburo, delle corde vocali, vibrazione del piano del tavolo …… Il nostro orecchio è in grado di percepire soltanto i suoni che hanno una frequenza compresa tra 16 e 16.000 Hz circa. Quando la vibrazione avviene tutta alla stessa frequenza viene prodotto un suono puro. Una corda di pianoforte che vibra a 263 Hz produce un DO centrale, a 526 Hz il DO della 1° ottava superiore a 1052 il DO della 2° ottava superiore……... Se la frequenza è di 440 Hz si ha un LA centrale, se 880 Hz si ottiene un LA più acuto, cioè il LA della 1° ottava superiore. …… 3 - Le note musicali Ottave di DO

27 Prof. Biasco 2006-07 27 La Funzione Esponenziale Tabella delle frequenze del LA Scala di LA

28 Prof. Biasco 2006-07 28 La Funzione Esponenziale Distanza in ottave Frequenza Hz La frequenza di vibrazione è funzione esponenziale dellottava

29 Prof. Biasco 2006-07 29 La Funzione Esponenziale Allora se indichiamo con fo = 440 Hz = freq. LA centrale avremo:

30 Prof. Biasco 2006-07 30 La Funzione Esponenziale se k è la distanza in ottave dalla nota centrale la frequenza è data da: f k = f 0 2 k Nella formula compare il termine esponenziale 2 k Oss. Il discorso precedente è valido per tutte le altre note musicali.

31 Prof. Biasco 2006-07 31 La Funzione Esponenziale Altri fenomeni che hanno andamento esponenziale Decadimento radioattivo Carica e scarica del condensatore Attenuazione della radiazione elettromagnetica Tensione di vapore saturo Modello Malthusiano della crescita della popolazione

32 Prof. Biasco 2006-07 32 La Funzione Esponenziale Bibliografia Brandi, Salvadori - Modelli matematici elementari - Bruno Mondadori Scovenna - Profili di matematica 1 - Cedam AA.VV. - Materiali scaricarti da internet


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