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Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale seoppure se consideriamo il caso in cui lenergia totale della particella sia inferiore.

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Presentazione sul tema: "Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale seoppure se consideriamo il caso in cui lenergia totale della particella sia inferiore."— Transcript della presentazione:

1 Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale seoppure se consideriamo il caso in cui lenergia totale della particella sia inferiore al potenziale V 0 ossia E < V 0 non sono inizialmente presenti onde regressive oltre la barriera quindi non ce termine del tipo Ge -ikx vi sono quindi cinque coefficienti da determinare con le quattro condizioni di continuita della funzione e della sua le condizioni di continuita della funzione donda e della sua derivata prima in x = 0 forniscono risolvendo per A sfruttando le altre due condizioni di continuita e e ossia si ottieneossia si ottiene derivata prima nei punti x = 0 ed x = L piu la condizione di normalizzazione in definitiva e da

2 esprimendo A in funzione di F ossiadovee e sfruttando la relazione il rapportoe detto coefficiente di trasmissione T dal punto di vista classico nessuna trasmissione e possibile oltre la barriera di potenziale in quanto essendo E < V 0 dal punto di vista quantistico viceversa la particella possiede proprieta ondulatorie quindi una parte dellonda di probabilita viene sempre trasmessa oltre la barriera di potenziale risolvendo per C e D si ottienee lenergia cinetica risulterebbe negativa allinterno della barriera leffetto e tanto piu marcato quanto e piccola la massa della particella e quanto piu la sua energia totale E e grande e si approssima a V 0 riesce

3 se si introduce il parametro adimensionale il coefficiente di trasmissione si puo scrivere come in conclusione

4 Barriere di potenziale, effetto tunnel e il decadimento alfa Un elettrone incontra una barriera di larghezza L = 15 nm e di altezza U 0 = 0.1 eV. entro la barriera la funzione donda e proporzionale ad e - x, scritto anche come e -x/ dove e la lunghezza di penetrazione se la larghezza della barriera L e molto maggiore della lunghezza di penetrazione si parla di barriere larghe. In questi casi la probabilita di effetto tunnel sara molto piccola e : in altri termini si parla di barriere larghe quando : in presenza di barriere larghe vale lapprossimazione : per una barriera di potenziale di altezza U 0 e larghezza L si ha : Determinare quale sia la probabilita di trasmissione se la sua energia e di 0.04 eV. E se fosse di 0.06 eV ?

5 in presenza di barriere larghe : percio il termine quindi si ha che e le costanti potranno essere trascurate rispetto a infatti : e dato che quindi il coefficiente di trasmissione potra essere riscritto come: da notare la dipendenza esponenziale del coefficiente di tramissione :

6 per un elettrone di energia E = 0.04 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm : per un elettrone di energia E = 0.06 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm : in conclusione la barriera e comunque di molto piu ampia della profondita di penetrazione dell elettrone dunque si potra in entrambi i casi usare lapprossimazione per barriere larghe. da notare come, a causa della dipendenza esponenziale, la probabilita di tunnelling dipenda in modo cruciale dallenergia della particella. Nellesempio la probabilita varia di molti ordini di grandezza, mentre lenergia della particella e variata del 50% verifichiamo che sussistano nel problema dato le condizioni di barriera larga:

7 per una successione di barriere tutte uguali poste una dopo laltra si puo ottenere (trascurando la riflessione da ogni barriera) l espressione approssimata : se la barriera e generica, U sara una funzione di x e potremo pensare di dividere la barriera in tante barriere successive di profondita x tutte uguali poste una dopo laltra Sempre trascurando la riflessione da ogni barriera si ha : ovvero : al limite si puo pensare di rendere x infinitesimo, facendo attenzione che le condizioni per avere una barriera larga rimangano valide se per una barriera larga si ha che con

8 Uranio 238 : 92 protoni e 146 neutroni Decadimento alfa Torio 234 : 90 protoni e 144 neutroni + He 2

9 -U 0 U(r) r r0r0 r1r1 E 0 R 0 ~ m E ~ 5 MeV finche si trova allinterno del nucleo una qualsiasi particella alfa costituente risente di forze attrattive che si possono pensare derivate da un potenziale costante landamento del potenziale puo quindi essere schematizzato come : di conseguenza una particella alfa si trova in un punto di massimo potenziale quando e a distanza pari al raggio nucleare r 0. Un nucleo atomico pesante puo essere pensato come composto di molte particelle alfa legate da forze attrattive nucleari, dunque effettive solo quando le particelle sono a breve distanza una dallaltra. a distanze maggiori di r 0 e presente il potenziale dovuto alla repulsione coulombiana tra nucleo e particella alfa. Mentre le particelle alfa vengono emesse con energie sempre inferiori a 10 MeV ! Per superare questa barriera coulombiana una particella alfa intrappolata allinterno del nucleo dovrebbe possedere una energia di almeno 35 MeV e quindi se la si trova a grande distanza dal nucleo con energia E ci si aspetterebbe classicamente che abbia energia > 35 MeV Una stima per latomo di torio 234 porta ad un valore di circa 35 MeV il valore del massimo del potenziale. la cui estensione oltre il diametro nucleare, pari a qualche unita in termini di fermi, si esaurisce molto in fretta oltre il raggio nucleare r 0.

10 dove Z e la carica del nucleo dopo la disintegrazione I limiti di integrazione vanno da r 0 al valore r 1 distanza alla quale il potenziale uguagliera lenergia E della particella alfa emessa nella disintegrazione se lenergia e espressa in MeV ed r 0 in unita di si ha :

11 dove la velocita della particella e assunta essere (2E/m) 1/2 questa epressione vale per una singola particella alfa, ma andrebbe ricalcolata applicando un fattore moltiplicativo la frequenza di decadimento, il cosiddetto rate si puo stimare dalla relazione : vi possono quindi essere molte particelle alfa che simultaneamente tentano di superare la barriera. per ottenere la vita media basta ricordare che il rate e inversamente proporzionale alla vita media valutato pensando che un nucleo puo essere immaginato come fatto di tante particelle alfa strettamente legate

12 Nucleo emettitore Energia della particella (MeV) Vita media del decadimento Po sec Rn sec Ra giorni Ra anni U anni


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