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ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO.

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Presentazione sul tema: "ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO."— Transcript della presentazione:

1 ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO

2 Estensioni semplici: proprietà Estensioni semplici: proprietà Teorema Dell’ Elemento Teorema Dell’ Elemento Primitivo: obiettivo Primitivo: obiettivo provare che ogni provare che ogni estensione di grado estensione di grado finito è semplice. finito è semplice.

3 Estensioni di campi Estensioni di campi DEFINIZIONE ampliamentoestensione Un ampliamento o un’ estensione di un campo F è K F un qualunque campo K che contenga F. Il campo R dei reali è un’estensione di Q. Il campo dei complessi C è un ampliamento di R e Q.

4 Dato un campo F ed una sua estensione K, vediamo Dato un campo F ed una sua estensione K, vediamo come è possibile costruire degli ampliamenti come è possibile costruire degli ampliamenti intermedi tra K ed F. intermedi tra K ed F. Sia S un sottoinsieme di K. Sia S un sottoinsieme di K. Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti i Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti i sottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il più sottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il più piccolo sottocampo contenente F ed S. piccolo sottocampo contenente F ed S. Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto aggiungendo il sottoinsieme S. aggiungendo il sottoinsieme S.

5 Se si dice che è un’estensione Se si dice che è un’estensione semplice del campo. semplice del campo. Chi sono esattamente gli elementi di ? Chi sono esattamente gli elementi di ? PROPOSIZIONE PROPOSIZIONE Sia un’estensione di e sia. Allora

6 DIMOSTRAZIONE DIMOSTRAZIONE Poniamo Poniamo Pertanto dato che è un campo che contiene ed. Vale anche l’inclusione inversa,, poiché gli elementi di devono stare in qualunque campo contenente ed.

7 ESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICI 1) Sia e. Risulta

8 2) Sia ed. Risulta Poiché, le espressioni in si Poiché, le espressioni in si possono ridurre nel seguente modo possono ridurre nel seguente modo

9 Ma Ma e sono entrambi elementi di. Quindi gli elementi di sono entrambi elementi di. Quindi gli elementi di possono scriversi tutti nella forma possono scriversi tutti nella forma con con

10 In definitiva In definitiva Osserviamo che il diverso comportamento delle due Osserviamo che il diverso comportamento delle due estensioni dipende dalla natura dell’elemento che estensioni dipende dalla natura dell’elemento che si sta aggiungendo. si sta aggiungendo. DEFINIZIONE DEFINIZIONE Sia un campo e un’ estensione di. Sia un campo e un’ estensione di. Un elemento si dice algebrico su Un elemento si dice algebrico su se esiste un polinomio non nullo se esiste un polinomio non nullo tale che tale che

11 Un elemento si dice trascendente su se non Un elemento si dice trascendente su se non è algebrico. è algebrico. Se ed gli elementi di algebrici Se ed gli elementi di algebrici su si chiamano numeri algebrici. su si chiamano numeri algebrici. Inoltre, possiamo pensare ogni campo come spazio vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo.

12 DEFINIZIONE DEFINIZIONE Dato un campo ed una sua estensione si Dato un campo ed una sua estensione si definisce grado dell’estensione sul campo, definisce grado dell’estensione sul campo, e si indica con, la dimensione di come e si indica con, la dimensione di come spazio vettoriale su. spazio vettoriale su. DEFINIZIONE DEFINIZIONE Un’estensione di un campo si dice finita se Un’estensione di un campo si dice finita se il suo grado è finito. Si dice infinita in il suo grado è finito. Si dice infinita in caso contrario. caso contrario. TEOREMA TEOREMA Dati un’estensione di un campo ed un elemento Dati un’estensione di un campo ed un elemento, è algebrico se e solo se è, è algebrico se e solo se è un’ estensione finita. un’ estensione finita.

13 Ora, sia. Ora, sia. Costruiamo l’estensione e calcoliamo il suo Costruiamo l’estensione e calcoliamo il suo grado su. grado su. Aggiungeremo prima, ottenendo l’estensione Aggiungeremo prima, ottenendo l’estensione, e poi aggiungeremo l’elemento a., e poi aggiungeremo l’elemento a.

14 è algebrico su, di grado 2, dato che il suo è algebrico su, di grado 2, dato che il suo polinomio minimo è. polinomio minimo è. Ora aggiungiamo a. Ora aggiungiamo a. Il polinomio è irriducibile su. Il polinomio è irriducibile su. Pertanto l’estensione Pertanto l’estensione ha grado 2 su. ha grado 2 su. In definitiva In definitiva

15 Dato che una base di su è Dato che una base di su è e una base di su è, una base di e una base di su è, una base di su è data da su è data da e

16 TEOREMA TEOREMA Sia un’estensione di. Allora gli elementi di Sia un’estensione di. Allora gli elementi di algebrici su formano un sottocampo di. algebrici su formano un sottocampo di. DIMOSTRAZIONE DIMOSTRAZIONE Basta provare che, se e sono algebrici su, Basta provare che, se e sono algebrici su, lo sono anche lo sono anche Sia di grado e di grado.Allora Sia di grado e di grado.Allora Consideriamo Consideriamo

17 Essendo algebrico di grado su, esso sarà Essendo algebrico di grado su, esso sarà algebrico di grado su. algebrico di grado su. Ne segue che Ne segue che Ora, appartengono tutti ad, Ora, appartengono tutti ad, cioè stanno tutti in cioè stanno tutti in, che è un’estensione finita di., che è un’estensione finita di. Ne segue che sono tutti algebrici Ne segue che sono tutti algebrici su. su.

18 L’ insieme di tutti i numeri algebrici su L’ insieme di tutti i numeri algebrici su costituisce il campo dei numeri algebrici ed è costituisce il campo dei numeri algebrici ed è un’estensione di in cui ogni elemento un’estensione di in cui ogni elemento è algebrico e quindi tuttavia risulta è algebrico e quindi tuttavia risulta Supponiamo per assurdo che sia. Supponiamo per assurdo che sia. proviamo che esiste un elemento algebrico su proviamo che esiste un elemento algebrico su e di grado maggiore di. Prendendo e di grado maggiore di. Prendendo è radice del polinomio. è radice del polinomio.

19 Dunque tale polinomio è il polinomio minimo per, Dunque tale polinomio è il polinomio minimo per, che ha grado n+1. Risulta allora che ha grado n+1. Risulta allora Questo contraddice il fatto che. Questo contraddice il fatto che.

20 Osserviamo che. Notiamo anche che e sono elementi di e quindi Inoltre Ne segue che cioè

21 Teorema dell’Elemento Primitivo Teorema dell’Elemento Primitivo Sia un campo di caratteristica zero oppure Sia un campo di caratteristica zero oppure finito e sia un’estensione di grado finito e sia un’estensione di grado finito di. finito di. Allora esiste tale che Allora esiste tale che Un tale elemento prende il nome di elemento Un tale elemento prende il nome di elemento primitivo. primitivo.

22 DIMOSTRAZIONE DIMOSTRAZIONE Se è un campo finito, è un’estensione di grado Se è un campo finito, è un’estensione di grado finito di. Allora è un campo finito e quindi finito di. Allora è un campo finito e quindi il gruppo è ciclico. Se è un generatore il gruppo è ciclico. Se è un generatore di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è potenza di per cui ed è potenza di per cui ed è un’estensione semplice di. un’estensione semplice di. Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2. Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2. E’ sufficiente provare che se allora E’ sufficiente provare che se allora per un opportuno. per un opportuno.

23 Siano. Osserviamo che, poiché la Siano. Osserviamo che, poiché la dimensione di su è finita, abbiamo che dimensione di su è finita, abbiamo che è un’estensione algebrica di. è un’estensione algebrica di. Quindi, in particolare, e sono algebrici Quindi, in particolare, e sono algebrici su. su. Siano e i polinomi minimi rispettivamente Siano e i polinomi minimi rispettivamente di e su e sia il campo di spezzamento di e su e sia il campo di spezzamento di su. di su. Allora esistono e tali che Allora esistono e tali che

24 Inoltre, sono a due a due distinte come anche Inoltre, sono a due a due distinte come anche, poiché i polinomi e sono irriducibili su, poiché i polinomi e sono irriducibili su un campo di caratteristica zero. un campo di caratteristica zero. Ora, essendo una radice di coincide con Ora, essendo una radice di coincide con una delle radici, ed essendo una una delle radici, ed essendo una radice di coincide con una delle radici radice di coincide con una delle radici. Senza perdere di generalità, assumiamo Senza perdere di generalità, assumiamo e. e. L’idea è di trovare un elemento tale che L’idea è di trovare un elemento tale che

25 Come scegliamo un elemento arbitrario Come scegliamo un elemento arbitrario dell’insieme dell’insieme Questo insieme è non vuoto poiché è infinito, Questo insieme è non vuoto poiché è infinito, invece l’insieme che si sottrae a è finito. invece l’insieme che si sottrae a è finito. Per come è scelto vale Per come è scelto vale

26 cioè. Poniamo. Ovviamente così per dimostrare che basta provare l’altra inclusione, cioè (*) Poniamo. Sia il polinomio minimo di su. Vogliamo dimostrare che è lineare.

27 Infatti, se proviamo ciò e quindi. Vale, pertanto in. Poniamo. Vale quindi in. Pertanto ogni radice di è radice sia di che di. Ora le radici di sono, inoltre

28 se si ha Ne segue che è l’unica radice comune di ed. Pertanto è l’unica radice di. Segue che è potenza del polinomio. Però e sono a due a due distinte. Ne che segue dunque.

29 Da ciò segue che anche. Così abbiamo provato che e e quindi che. Da (*), per induzione su n si ottiene che se allora esiste tale che allora esiste tale che Allora vale la tesi, perchè, essendo finita, esistono tali che.

30 Abbiamo così provato che ogni estensione finita di un campo di caratteristica zero è semplice. di un campo di caratteristica zero è semplice.ESEMPIO Sia e siano con

31 Per c=1 la condizione è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3. Applicando il teorema segue che

32 Donatella Passabì


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