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Lezione 1: Dalle funzioni iterate al caos deterministico: quando una farfalla può fare la differenza. Lezione 2. Modelli dinamici 2dim. Biforcazioni e.

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1 Lezione 1: Dalle funzioni iterate al caos deterministico: quando una farfalla può fare la differenza. Lezione 2. Modelli dinamici 2dim. Biforcazioni e caos in fisica, ecologia, economia …e salotti culturali. Gian Italo Bischi DESP-Dipartimento di Economia, Società, Politica Università di Urbino “Carlo Bo” Orientamatica Milano, 24 gennaio, 7 febbraio 2014

2 Fenomeni governati da leggi matematiche = fenomeni prevedibili Leibniz, XVII secolo ( ) Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza inte\lligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel presente come in uno specchio Gottfried Wilhelm von Leibniz Effetto di piccole perturbazioni ? Caduta di un grave x(t) = x 0 + v 0x t ; y(t) = y 0 + v 0y t ̶̶ ½ g t 2 Moto dei pianeti Moto di un pendolo Moto di un fluido …

3 Capitalizzazione (con interesse composto) interesse i%. sia r = i/100 C(t+1) = C(t) + r C(t) = (1+r) C(t) C(1) = (1+r) C(0) C(2) = (1+r) C(1)= (1+r) 2 C(0) C(3) = (1+r) C(1)= (1+r) 3 C(0) Soluzione generale: C(t) = C(0) (1+r) t Effetto di piccole differenze ?

4 Da "Il mistero di Marie Rogêt", Edgar Allan Poe, Per quanto riguarda l’ultima parte della supposizione, si dovrà considerare che la più insignificante differenza nei fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due sequenze dei fatti; proprio come in aritmetica un errore che in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto all’altro del procedimento, produce un risultato lontanissimo dal vero.”

5 Dal racconto “La notte dei numeri” di Italo Calvino. Questi sono tutti i libri maestri della ditta – dice il ragioniere, - nei cent’anni della sua esistenza [...] non c’è mai stato un ragioniere come Annibale De Canis, eppure quest’uomo infallibile, questo genio, vedi, il 16 novembre 1884,... ecco, qui c’è un errore di quattrocentodieci lire. Nessuno se n’è mai accorto, io solo lo so, e sei la prima persona a cui lo dico: tientelo per te e non lo dimenticare! E poi se anche lo andrai a dire in giro, sei un ragazzo e nessuno ti darà retta... Ma adesso sai che tutto è sbagliato. In tanti anni, quell’errore di quattrocentosedici lire sai quant’è diventato? Miliardi! Miliardi! Hanno un bel girare le macchine calcolatrici, i cervelli elettronici e tutto il resto! L’errore è al fondo, al fondo di tutti i numeri, e cresce, cresce, cresce!

6 Caos Deterministico: un ossimoro deterministico : regolare, prevedibile fenomeni ordinati e pianificabili caos : assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità. Il concetto di caos deterministico spezza questa dicotomia: modelli matematici deterministici non lineari possono generare andamenti quasi indistinguibili da processi aleatori, ed estremamente sensibili a piccole perturbazioni

7 Outline Generare caos deterministico iterando semplici funzioni Generare caos deterministico iterando semplici funzioni Un po’ di storia Un po’ di storia Le proprietà del caos deterministico e l’effetto farfalla Le proprietà del caos deterministico e l’effetto farfalla Un po’ di ordine nel caos: gli attrattori Un po’ di ordine nel caos: gli attrattori Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte …. Caos deterministico nella letteratura, cinema, arte ….

8 y = f(x) x → → y f Concetto di funzione Feed-back Funzione composta (con se stessa) Sistemi dinamici a tempo discreto Assegnato x 0, la successione degli stati (traiettoria) si ottiene per induzione: x t+1 = f ( x t ) t = 0,1,…

9 f x ( t ) x ( t + 1 ) Legge di evoluzione ottenuta mediante l’iterazione (applicazione ripetuta) di una funzione, che dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 … si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico Per induzione, ossia iterando la f... x(1) = f (x(0)) x(2) = f (x(1)) = f (f (x(0))) = f 2 (x(0)) … x(t) = f t (x(0)) x (0) f x (2)... f x (t) x (t+1)... x (1) f

10 Mappa lineare: f ( x ) = a x. Evoluzione x t+1 = a x t x 1 = a x 0 x 2 = a x 1 = a ( a x 0 ) = a² x 0 x 3 = a x 2 = a ( a² x 0 ) = a³ x 0 … x n = a x n  1 = a ( a n-1 ) x 0 = a n x 0 Soluzione in forma chiusa:  | a | < 1 (contraction)  0 < a < 1 Contraction and orientation preserving. It monotonously converges to x*=0 -1 < a < 0 Contraction and orientation reversing The iteration converges to x* = 0 through oscillations  | a | > 1 (expansion)  a > 1, expanding and orientation preserving It diverges monotonically  a <  1 expanding and orientation reversing It diverges through oscillations Particular (bifurcation) values a= 1 x t = x 0 constant a=  1 x t = (-1) t x 0 alternating values

11 n 0 3 xnxn x 0 =3 x 0 = Nota: x n+2 = x n Dato x 0 e la regola induttiva x n+1 = f(x n ) …. Come andrà a finire?

12 Nel 1776 Laplace scriveva : “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro” Pierre-Simon Laplace

13 x0x0 x 1 = f (x 0 ) Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) ) x0x0 x1x1 x1x1 x0x0 x1x1 x2x2 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 Costruzione geometrica qualitativa delle traiettorie

14 lineare

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16 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x n x n b = 1.7

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18 C(t+1) = (1+r)C(t) – bC(t) 2 0 (1+r)/b logistica Interesse composto con tassa proporzionale al quadrato !! grado 2 grado 2 2 = 4 grado 2 3 = C 10 = ……… grado 2 10 = 1024 !!!! C(1)= (1+r)C(0) – bC(0) 2 C(2)= (1+r)C(1) – bC(1) 2 = (1+r)[(1+r)C(0) – bC(0) 2 ][1-b((1+r)C(0) – bC(0) 2 )] C(3)= (1+r)C(2) – bC(2) 2

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20 Henry Poincaré ( 1903) Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un instante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali.. Henry Poincaré,

21 Edward Lorenz (May 23, 1917–April 16, 2008) Lorenz

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23 xnxn x 0 = t xnxn x 0 = t x1(t)-x2(t) x1(0)= t x2(0)=0.499

24 Si dice che si è in presenza di dinamiche caotiche se: (1) Sensitività rispetto alle condizioni iniziali generando due traiettorie da diverse condizioni iniziali, ma arbitrariamente vicine, esse si mantengono limitate ma la distanza fra esse cresce esponenzialmente e dopo un tempo finito diventa dello stesso ordine di grandezza delle variabili di stato. (2) Transitività (o mixing): i punti della traiettoria generata partendo da una generica condizione iniziale ricoprono densamente una zona dello spazio delle fasi cioè ciascun punto dell’intervallo su cui si muove tale traiettoria risulta essere punto di accumulazione dei punti della traiettoria stessa. (3) Esistenza di infiniti cicli repulsivi con i punti periodici densi nella regione ricoperta dalle traiettorie caotiche. Nota:(2) e (3) implicano (1)

25 Stretching & Folding (Stiramento e ripiegamento) La Geometria del Caos =

26 Kneading of the dough (impastare)

27 x(0) t c c 1 = f (c)

28 c1c1 c c3c3 c2c x t 50 c1c1 c c3c3 c2c2 I J I J a =

29 -1.80 x

30 Self-similarity (omotetia interna)

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32 “Appello evangelico per l’introduzione di queste equazioni alle differenze semplici in corsi elementari di matematica, cosicchè l’intuizione degli studenti possa essere arricchita vedendo le cose bizzarre che succedono con semplici equazioni non lineari. [...]”. “Io vorrei sollecitare che sia presentata [l’equazione logistica] presto nell’educazione matematica. Questa equazione può essere presentata da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice, o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto non richieda un corso elementare di matematica. Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.” Robert May, 1976

33 Supponiamo che ogni anno si riproduca una frazione r di insetti e ne muoia una frazione m. Nell’anno successivo la popolazione è Questa è una legge di evoluzione lineare x t+1 = ax t r-m rappresenta il tasso netto di crescita della popolazione

34 Popolazione che vive in un ambiente limitato. Si fa l’ipotesi che il tasso di mortalità m non sia costante, ma aumenti al crescere della numerosità della popolazione ad esempio m = sN(t), termine di mortalità per sovraffollamento (carenza di cibo ecc.) Con questa ipotesi la legge di evoluzione diventa non lineare: Una funzione di secondo grado Con un cambio di variabile diventa: logistica

35 Punti fissi: Iterazione della funzione (iperbole)  x

36 01 f’(x * )< -1 Stabilità Instabilità

37 Stabilità locale di un punto di equilibrio Approx lineare in un intorno di x*: x t+1 = f(x t )= f (x*) + f ’(x*)(x t  x*) + o(x t  x*) Da cui: x t+1  x*  f ’(x*)(x t  x*) X t+1 =  X t dove X t = x t  x* spostamento dall’equilibrio x* : | f ’(x*) | <1 retta tangente

38 Mappa logistica: Punti fissi q*=0 p* = (a  1)/a f’ (x) = a(1  2x). f’(q*) = a q* stabile per  1

39 Stabilità strutturale, biforcazioni

40 Fold bifurcation: –two fixed points appear, one stable and one unstable Bifurcation diagram Normal form: f(x,  ) =  + x  x 2 f ’ (x * ) through value 1

41 Transcritical bifurcation (or stability exchange) : –two fixed points merge, exchanging their stability Bifurcation diagram Normal form: f(x,  ) =  x + x  x 2 f ’(x * ) through value 1

42 Pitchfork bifurcation –a fixed point becomes unstable (stable) and two further fixed points appear, both stable (unstable) subcritical supercritical Normal form: f(x,  ) =  x + x  x 3 f ’ (x * ) through value 1 Normal form: f(x,  ) =   x  x + x 3

43 Flip bifurcation (period doubling bifurcation): –the fixed point becomes unstable and a stable period 2 cycle appears, surrounding it. It corresponds to a pitchfork bifurcation of the second iterated of the map. supercritical subcritical Normal form: f(x,  ) =  x + x 3 f ’ (x * ) through value  1

44 a = 2 a = 3.1 a = 2.5

45 Let C = {c 1, c 2, …, c k } be a k-cycle of x t+1 = f(x t ) i.e. c i  c 1, i=2,…,k ; f(c i ) = f(c i+1 ), i=1, …, k-1, and f(c k )=c 1 In other words: C = {c 1, f(c 1 ),f 2 (c 1 ), …, f k-1 (c 1 )} and f k (c 1 ) = c 1 Then c 1 is a fixed point of f k. Indeed, any c j, j=1,…,k, is a fixed point of f k. By the chain rule it is easy to compute the multiplier of C: C = Df k (c i ) = f ′ (c 1 ) ∙ f ′ (c 2 ) ∙… ∙ f ′ (c k ) = C is stable if | C | < 1

46 What we said for the fixed points of f, on their stability and local bifurcations etc., can be applied to k-cycles, seen as fixed points of f k In particular: A couple of k-cycles (one stable and one unstable) can be created by a fold bifurcation of f k A k cycle can give rise to a 2k-ycle via a flip bifurcation of f k

47 Sharkovsky Theorem (1964). If a k-cycle exists for f : I  I, then at least a p-cycle exists for each number p that follows k in the following total ranking of natural numbers: 3, 5, 7, 9, …, 3∙2, 5∙2, 7∙2, …, 3∙2 2, 5∙2 2, …, ….2 4, 2 3, 2 2, 2, 1

48 Li & Yorke Theorem (1975): Period 3 implies chaos If f: I  I has a 3-cycle then: An uncountable set of points S  I exists that does not include any cycle and has the following properties: i)For any p, q  S, p  q, (ii) For any q  S and any periodic point p  I The trajectories starting from an i.c. in S (scrambled set) are chaotic, i.e. they have the 3 properies that characterize deterministic chaos Remark: it may occur mes(S) = 0 (invisible chaos)

49 Altro esempio: una mappa bimodale x n+1 = f (x n ) = a (5  x n ) (x n  1) 2 con a > 0 f ’ (x) = - a (x  1) 2 + 2a(5  x)(x  1) = a(x  1)(11  3x)

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54 Metodo di Newton per la ricerca degli zeri di una funzione Partiamo da x 0 “sufficientemente vicino” alla radice cercata. Calcolando l’intersezione fra la tangente in (x 0, f(x 0 ) e l’asse delle ascisse si ottiene x 1 = x 0 - f(x 0 ) / f '(x 0 ) E così via x n+1 = G(x n ) = x n  f (x) = 3x 2  1 = 0 x * =  1/  3. Esempio: x n+1 = G(x n ) = x n  = Nota: se f(x * ) = 0 allora G(x*)=x * e G’(x*)=0

55 f(x) = x 3  3x 2 +1 = 0 x n+1 = G(x n ) = x n  = = Un altro tipo di complessità: in presenza di più attrattori occorre studiare la struttura dei bacini di attrazione

56 Continuous and increasing maps The only invariant sets are the fixed points. When many fixed points exist they are alternatingly stable and unstable: the unstable fixed points are the boundaries that separate the basins of the stable ones. Starting from an initial condition where the graph is above the diagonal, i.e. f(x 0 )>x 0, the trajectory is increasing, whereas if f(x 0 )

57 f(x) = a arctan (x-1) a = 3 a = 1 a = 0.5 basin boundary fold bifurcation

58 a = 0.5 a = 0.2 Continuous and decreasing maps The only possible invariant sets are one fixed point and cycles of period 2, being f 2 =f °f increasing The periodic points of the 2-cycles are located at opposite sides with respect to the unique fixed point, the unstable ones being boundaries of the basins of the stable ones. If the fixed point is stable and no cycles exist, then it is globally stable. f(x) = – ax 3 + 1

59 a = 0.7

60 Z2Z2 Z0Z0 c c -1 p q p q r q -1 Nononvertible maps. Several preimages

61 Noninvertible map: x’ = f (x) = a x (1– x) = 1/2 c=a/4 Se x’ < a/4 allora Punto di massimo c = a/4 f ’ (c -1 ) = 0 e c = f (c -1 )

62 Z3Z3 Z1Z1 c max p q c min Z1Z1 z r

63 Z3Z3 Z1Z1 c max p q c min Z1Z1 z r c -1 q -1 1 q -1 2

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65 Dinamica dei prezzi: modello della Ragnatela Quantità richiesta al tempo t dai consumatori Q d = D ( p ) funzione di domanda Quantità che viene immessa sul mercato dai produttori Q s = S ( p ) funzione di offerta Esempio: funzioni D e S lineari: D(p) = a  b p ; S(p) =  c + d p a, b, c, d costanti positive p Q S D Equilibrio: Q d = Q s p*p*

66 Introduciamo il tempo. Al tempo t i consumatori decidono in base al prezzo p t osservato, ma la merce nel mercato al tempo t è stata prodotta in base a decisioni prese in un tempo precedente, perché la produzione richiede un certo lasso di tempo. Sia  t = 1 il tempo di produzione che intercorre fra decisione e immissione nel mercato I consumatori decidono la quantità da acquistare in base a p t I produttori decidono in t  1 la quantità da immettere nel mercato al tempo t in base al prezzo atteso Introduciamo aspettative statiche (o naive) : p t = D -1 (S(p t-1 )) = f (p t-1 ) Con funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a  b p ; S(p) =  c + d p a  b p t =  c  d p t-1, da cui:

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68 D(p t ) = S(p t-1 ) diventa a  bp t = arctan ( (p t-1  1)) da cui si ottiene il modello dinamico p t = F(p t-1 )= [a  arctan ( (p t-1  1))] La mappa F(p) è monotona decrescente Funzione di offerta non lineare: Q S = S ( p) = arctan ( (p  1)) pepe S D D ( p ) = a - b p S ( p ) = arctan (  (p - 1)) p Q

69 pepe p p1p1 p p2p2 F F p

70 Aspettative adattive

71 pepe

72 Modelli con aspettative In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative che essi hanno sul futuro. x t+1 = f ( ) oppure x t = f ( ) Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations. Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia

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74 Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972) Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura. Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale

75 Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche. Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema! Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.” Journal of Economic Theory 40: 26—39. Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica 53: 995—1045.

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77 IPOTESI STANDARD ASPETTATIVE RAZIONALI AGENTE RAPPRESENTATIVO RAZIONALITÀ ILLIMITATA (O PIENA) ASPETTATIVE ADATTIVE AGENTI ETEROGENEI RAZIONALITÀ LIMITATA IPOTESI DEI MERCATI EFFICIENTI FINANZA COMPORTAMENTALE IPOTESI ALTERNATIVE

78 MODELLO CON FUNZIONI LINEARI P t+1 = P t + γ [D t C + D t F ] Comportamento dei FONDAMENTALISTI: D t F = α (F – P t ) Comportamento dei CHARTISTI: α > 0 D t C = β (P t – F)β > 0 Identifichiamo due categorie di investitori: fondamentalisti e chartisti D = eccesso di domanda

79 P t+1 = P t + γ [β (P t – F) + α (F – P t )] Cosa succede al passare del tempo al prezzo del titolo? Occorre identificare il punto fisso o stato stazionario (P*) e successivamente verificarne la stabilità. Il punto fisso è il valore Fondamentale. P t+1 = P t = P* P* = F Stabilità P t+1 = f (P t ) = (1 + γβ – γα) P t – γβF + γαF Modello lineare, condizione per la stabilità :  1 < (1 + γβ – γα) < 1

80 Pendenza POSITIVA e MINORE di 1 Pendenza NEGATIVA e MAGGIORE di -1

81 Pendenza POSITIVA e MAGGIORE di 1 Pendenza NEGATIVA e MINORE di -1

82 I chartisti sono più reattivi dei fondamentalisti (dominano il mercato) I fondamentalisti sono troppo più reattivi dei chartisti Cioè i fondamentalisti predominano, ma non eccessivamente 0 < (α – β) < 2 /γ  I prezzi CONVERGONO quando: β > α  I prezzi DIVERGONO quando una delle seguenti condizioni si verifica: 1 + γ(β – α) > γ(β – α) < –1 (α – β) > 2 /γ

83 MODELLO CON CHARTISTI PRUDENTI Comportamento dei FONDAMENTALISTI: D t F = α (F – P t ) α > 0 Comportamento dei CHARTISTI: β > 0D t C = β arctan (P t – F)

84 Punto fisso P t+1 = P t = F 1 + γ(β – α) > γ(β – α) < –1 Equazione di evoluzione del prezzo: P t+1 = f (P t ) = P t + γ [βarctg (P t – F)+ α (F – P t )] β > α (α – β) > 2 /γ Stabilità:  1< f’(F) <1

85 Cosa succede quando il prezzo Fondamentale è instabile?

86 Indice FTSE MIBTelecom Italia

87 Dinamica del prezzo: MODELLO CON FONDAMENTALISTI PIÙ AGGRESSIVI Comportamento dei FONDAMENTALISTI: α > 0 D f = a(F – P t ) 3 (con x = P-F) x t+1 = f(x t ) = x t + γ [βx t – αx t 3 ] = h(x t ) = (1+ γβ) x t – γα x t 3 Punti fissi: x 0 * = 0 (P = F) Gli altri due stati stazionari sono quelli che risolvono l'equazione: 1 = 1 + γβ − γα(x*) 2 x 1,2 * = ± (P = F )

88 Stabilità degli equilibri  Nel punto fisso centrale (quello del prezzo fondamentale): Quindi il punto fisso fondamentale è sempre instabile.  Negli altri punti fissi: = 1+ γβ – 3γαx 2 = 1 + γβ = 1 – 2γβ Stabili se 2γβ > 2 β > 1/γ

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90 CAOS DETERMINISTICO E LETTERATURA Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton (23 ottobre 1942, 4 novembre 2008) Un passo tratto dalla Seconda Iterazione […] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto esisteva nel mondo reale.

91 Ancora Ian Malcom, da Jurassic Park, terza iterazione. “I computer vennero costruiti verso la fine degli anni 40, perché matematici come John Von Neumann, il massimo matematico della sua generazione, pensavano che avendo a disposizione una macchina capace di gestire contemporaneamente molte variabili, si sarebbe stati in grado di fare previsioni meteorologiche a lungo termine. […]. La teoria del caos manda all’aria tutto questo, non si può prevedere il tempo se non per pochi giorni. […] Tutto il denaro speso per previsioni meteorologiche lungo termine - circa mezzo miliardo di dollari negli ultimi decenni- è buttato via. È un’impresa vana quanto cercare di trasformare il piombo in oro. Oggi gli sforzi degli alchimisti ci fanno ridere, ma generazioni future guarderanno noi e rideranno nello stesso modo”.

92 Jurassic Park, terza iterazione: “Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom “Invece sì” disse Hammond “Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom “Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì. “Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo natura è di fatto un sistema complesso, non lineare. Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci. Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro l’evidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo, produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia. Abbiamo costruito...

93 Carlo Emilio Gadda (1953) nel racconto "L’egoista" "Se una libellula vola a Tokio, innesca una catena di reazioni che raggiungono me". Gadda (1974) Meditazione milanese "L'ipotiposi della catena delle cause va emendata e guarita, se mai, con quella di una maglia o rete. Ogni anello o grumo o groviglio di relazioni è legato da infiniti filamenti a grumi o grovigli infiniti. Come gli gnocchi. Unti, agglutinati, filamentosi per formaggio e per salse, e uno cento ne traina, e ognuno dei cento poi mille e ognuno dei mille, milioni. Altro che le ciliegie, delle quali sogliono li esperti affermare che una tiri l’altra!" Gadda (1957) Quer pasticciaccio brutto de via Merulana «Il dottor Ingravallo sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuoi dire gomitolo. L'opinione che bisognasse «riformare in noi il senso della categoria di causa» quale avevamo dai filosofi, da Aristotele o da Emmanuele Kant, e sostituire alla causa le cause era in lui una opinione centrale e persistente: una fissazione, quasi» […]

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96 Caos deterministico al cinema

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98 x y T T T T Mappe iterate del piano

99 Point mapping f : R n  R n x’ = f ( x ) x  R n Takes a point in R n and moves it to a new position If S is a set of points then f(S) = { f(x) | x  S} Lineland : f : R  R x’ = f(x) f f A B x x’x’ A’A’ B’B’ f A B A’A’ B’B’ f A B A’A’B’B’ Flatland f : R 2  R 2 f S f (x,y) S’S’ (x’,y’)

100 2-dimensional linear maps: contractions, expansions, rotations etc. 2dim-linear x’ = ax + by +c y’ = dx + ey +f rotation

101 A B C A’A’ B’B’ C’C’ F’F’ T Linear map T: T is orientation preserving if det A > 0 area (F’) = |det A | area (F) |det A | 1) contraction (expansion) Meaning of the sign of |det A | F A’A’ B’B’ C’C’ T is orientation reversing if det A < 0 F’F’ F A B C T

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103 Henon map: nonlinear, invertible transforms a line y=k into a parabola is a linear contraction in x direction for |b|<1 is a reflection through the diagonal S T(S) T 2 (S) T 3 (S) det DT = b

104 LC = T(LC -1 ) Equivalently, we say that p’ has several rank-1 preimages LCLC LC - 1 SH 2 SH 1 R1R1 R2R2 Z2Z2 Z0Z0 U U - 1,2 U - 1,1 x’x’ y’y’ y x T p’p’ p1p1 p2p2 T... Noninvertible (Many-to-One) map: Distinct points are mapped into the same point Folding action of T LC -1. T 1 -1 p’p’ p1p1 p2p2 T Unfolding action of T -1

105 -2 x.. P = T(P 1 ) = T(P 2 ) x y P y inverses Noninvertible maps: many to one

106 2D example T: det DT = -2x =0 for x=0 T({x=0})  {y=b} LC = {(x,y) | y = b } LC -1 = {(x,y) | x = 0 }

107 F T LC LC F’= T(F)

108 LC LC -1 A B B’B’ A’A’ A B O’O’ C’C’ x x y y C D C’C’ D’D’ O C A’A’B’B’ LC LC -1 A B B’B’ A’A’ A B C’C’ xx y y C C’C’ C A’A’ B’B’ Itera…

109 miraquad

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111 LC -1 LC 1 LC LC 2 LC 3 LC 4 LC 5

112 T: miraquad

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120 Fractals, Chaos Clifford Attractors Definition x n+1 = sin(a y n ) + c cos(a x n ) y n+1 = sin(b x n ) + d cos(b y n ) where a, b, c, d Are parameters that define each attractor. a = -1.4, b = 1.6, c = 1.0, d = 0.7

121 a = 1.1, b = -1.0, c = 1.0, d = 1.5

122 a = 1.6, b = -0.6, c = -1.2, d = 1.6

123 a = 1.7, b = 1.7, c = 0.06, d = 1.2 a = 1.3, b = 1.7, c = 0.5, d = 1.4

124 a = 1.5, b = -1.8, c = 1.6, d = 0.9 Lovely renderingsLovely renderings by Thomas Burt.

125 Let us choose a polynomial of the form: f(x,y) = a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f where a, b, c, d, e, f are constants discussed later and x, y are the usual coordinates in 2- space. The simplest way to turn this polynomial into a map is known as coordinate rotation : y new = f(x old, y old ) x new = y old OK, say you, what about those 6 constants? A willy-nilly choice of those will not give you a strange attractor. There may be (probably is) some way to telling if a particular set of constants produces an attractor but, I am not a mathematician, which means I don't really care -- I basically write a program to pick them at random and see what comes out. Most sets diverge, some converge to a point, some converge to a boring loop, and only few produce good-looking pictures. These things are called attractors, not because they're attractive, but because they attract reasonable points Here is a short C/C++ program I wrote. Here What is a strange attractor? I, of course, do not know the formal, mathematical, definition of Chaotic Attractors, but I will do my best to correctly guess it. Strange Attractor is a collection of points such that each point is a function of another point What kind of function? Everything from polynomials to transcendentals. Like a randomly-appearing mosaic - instead of individual features appearing one after the other, dots light up and eventually compose distinct shapes.

126 Coupled Twisted Logistic: four parameter algebraic map of 4 th degree Chaos and symmetry

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128 Symmetric case: Coutl simmetrica

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138 Chaos and Symmetry. Mike Field, Martin Golubitsky,

139 Symmetric Icons Program DEFDBL I, P-Q, X-Z ON ERROR GOTO errortrap DEF fnxpix (x) = nstartx + scalex * (x + scale) DEF fnypix (y) = npixely - scaley * (y + scale) GOSUB initialize GOSUB menu loops: GOSUB iterate x = xnew: y = ynew PSET (fnxpix(x), fnypix(y)) a$ = INKEY$ IF a$ = "c" THEN iterates = 1: CLS : GOSUB parameters IF a$ = "i" THEN GOSUB parameters restart: IF a$ = "m" THEN GOSUB menu iterates = iterates + 1 GOTO loops iterate: zzbar = x * x + y * y p = alpha * zzbar + lambda zreal = x: zimag = y FOR i = 1 TO n - 2 za = zreal * x - zimag * y zb = zimag * x + zreal * y zreal = za: zimag = zb NEXT i zn = x * zreal - y * zimag p = p + beta * zn xnew = p * x + gamma * zreal - omega * y ynew = p * y - gamma * zimag + omega * x RETURN menu: GOSUB parameters PRINT USING "(X,y) = ##.#### ##.####"; x; y PRINT "Scale =", scale PRINT "ESC to exit program" PRINT "R for RETURN" CLS GOTO menu initialize: CLS scale = 1! nscreen = 12: npixelx = 640: npixely = 480 nstartx = 160 SCREEN nscreen GOSUB setscreen x =.01: y =.003: n = 4: iterates = 1 lambda = -1.8: alpha = 2: beta = 0: gamma = 1!: omega = 0 RETURN initialpoint: CLS PRINT "Enter r to reset coordinates automatically" PRINT "Enter x to INPUT coordinates" setscreen: CLS scaley = npixely / (2 * scale) scalex = (npixelx - nstartx) / (2 * scale) RETURN

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143 Two kinds of complexity k = 1; v 1 = v 2 = ;  1 =  2 =0.6 ; c 1 = c 2 = 3 y x E*E* (a) From: G.I. Bischi and M. Kopel “Multistability and path dependence in a dynamic brand competition model”, Chaos, Solitons & Fractals, vol. 18 (2003) pp

144 strutture complesse dei bacini di attrazione nel caso di più attrattori coesistenti

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147 Newton's method is an iterative method for finding solutions of equations. Given an estimate z n for a solution of an equation f(z) = 0, it generates the estimate z n+1, which would be exact if f were linear. This works out to give the formula z n+1 = z n - f(z n ) / f '(z n ). Thus, beginning with an initial estimate z 0, we obtain a series of estimates z 0, z 1, z 2,..., which, one hopes, converges to a solution of f(z) = 0. The question of convergence turns out to be a most interesting one. Given a function f with f(z) = 0 having more than one solution, we may ask, for an initial value z 0, not only whether the series z 0, z 1, z 2,... converges to a solution, but, if so, which solution it converges to. In this way we arrive at the notion of a Newton basin: The Newton basin of a solution is the set of starting points z 0 for which Newton's method converges to that solution.

148 Although you can enjoy the Newton Basin images without knowing the technical basis for them, it helps to understand it. Newton's method for finding roots of functions. Newton's method began as a method to approximate roots of functions, equivalently, solutions to equations of the form f(x)=0. Not only is the method easy to comprehend, it is a very efficient way to find the solution to the equation. From z 0 we get z 1 = z 0 - f(z 0 ) / f '(z 0 ) and so on…. The method does not work for any initial guess z 0, and if several roots exist then the method may converge to one or another according to the initial condition The method works for complex functions, too. Now, a function can have several roots. A polynomial of degree n has n roots. That's the "fundamental theorem of algebra." (Of course, you have to count multiplicities of roots) If you start close to a root, then Newton's method brings you closer to the root faster and faster. But if you start far from a root, then Newton's method may take you to some root other than the closest one. Suppose you paint the complex plane in colors so that all the points that approach a particular root are painted one color. We'll say those points lie in one Newton basin for the function. An interesting pattern emerges.

149 Introducing the problem: finding the basins of attraction of the roots of z 2 - 1z How much harder can it be to find the basins of attraction of the roots of z 3 - 1?z The complex function f(z) = z has three roots: z 1 = +1, z 2 = -1/2 + i ⋅ (√3)/2, and z 3 = -1/2 - i ⋅ (√3)/2. These points are equally spaced around the unit circle, so one might expect the basins of attraction of these three roots would be three 120 deg pie slices, symmetrically placed about each root.

150 This is not true, because the solution is very complicated, as we see here.

151 b=Re(a) c=Im(a) 2 1 Iterazione di Mandelbrot f(z) = z 2  a con z = x + iy e a = b+ic numeri complessi schema iterativo sul piano complesso: equivalente a : L’insieme di Mandelbrot è l’insieme dei valori del parametro complesso a tali che, partendo dalla condizione iniziale z 0 =0+i0, lo schema iterativo genera successioni limitate,

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153 Benoit Mandelbrot Varsavia, 20 novembre 1924 Cambridge, Massachusetts, 14 ottobre 2010

154 David Ruelle “Caso e Caos”, Bollati Boringhieri, 1992 James Gleick “Caos. La nascita di una nuova scienza”, Sansoni 1997, 3° edizione (edizione inglese : “Chaos. The amazing science of the unpredictable”) Ian Stewart “Dio gioca a dadi ? La nuova matematica del caos” Bollati Boringhieri, 1993 Angelo Vulpiani “Determinismo e caos” La Nuova Italia Scientifica, Douglas R. Hofstadter “Strani attrattori : schemi matematici collocati fra l’ordine e il caos” su “Le Scienze”, Febbraio James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, Robert S. Shaw “Il Caos” “Le Scienze”, Febbraio 1987 A.K. Dewdney “Alla scoperta delle strane attrattive del caos” su “Le Scienze”, Settembre F. Di Stefano “Il caos deterministico” in La Fisica nella scuola” n.6, Alberto Rebaglia “Il Caos e i Frattali” inserto di “Scienza e Vita”, giugno Marco dal Bosco “Comportamenti Casuali di un sistema deterministico” in “La Fisica nella scuola” n.2, 1998.

155 Michele Fontana “Metti ordine nel caos” in Panorama del 21 febbraio Pietro Greco “Il caos minaccia Newton” da “La Repubblica” del 7 febbraio Giorgio Israel “Grande è la confusione sotto il cielo della scienza : il determinismo non è morto” da “La Repubblica” del 11 dicembre Franco Prattico “I sacerdoti del caos” da “La Repubblica” del 30 aprile Giampiero Borrella “Avanti caos” in Panorama del 18 luglio Carlo Bernardini “Finiremo tutti in un grande frattale” da “La repubblica” del 3 dicembre 1986 Umberto Bottazzini “Il mondo del pressappoco” Il Sole 24 ore, 8 marzo Omar Calabresi “Matematicamente belli” in Panorama del 17 gennaio Pier Luigi Sacco “La finanza turbolenta si spiega coi frattali” da Il sole 24 ore del 28 febbraio 1988.

156 If you think you are too small to make a difference, try sleeping with a mosquito the Dalai Lama Caos deterministico, libero arbitrio, predeterminazione, controllo … Anche in un mondo così rigido un piccolo evento, una minuscola azione, può provocare una rivoluzione. Questo risulta perfettamente compatibile anche nell'ambito di un sistema governato da un rigido e predeterminato modello matematico. Contrapposizione fra: completa e rigida regolamentazione e totale casualità degli eventi predeterminazione e il libero arbitrio


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