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L’idea di “Scienza” e di “scienziato” che la maggior parte delle persone ha in testa è probabilmente questa In questa accezione, la percezione del matematico.

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2 L’idea di “Scienza” e di “scienziato” che la maggior parte delle persone ha in testa è probabilmente questa In questa accezione, la percezione del matematico come scienziato e la legittimità della collocazione della mate- matica tra le Scienze risulta difficile da cogliere perfino dagli altri scienziati, fisici, chimici etc. 2/12

3 In effetti spesso anche gli addetti ai lavori non sanno spiegare perché anche la Matematica è una Scienza, al di là di fumosi riconoscimenti che essa è “la base di tutto” ovvero “serve”… argomentazioni che varrebbero parimenti per la scrittura, la stampa, etc. 3/12

4 Un matematico che si accinge a dimostrare un’affermazione non fa altro che applicare il metodo scientifico di Galileo La prova della correttezza di un’ipotesi formulata, che nelle scienze sperimentali si fa attraverso gli esperimenti, in Matematica giunge attraverso la DIMOSTRAZIONE. La DIMOSTRAZIONE è l’esperimento del Matematico. 4/12 “Un matematico è una macchina che trasforma il caffè in teoremi”. Paul Erdos

5 Fino a quando non é corredata da una dimostrazione un’affermazione matematica é UNA CONGETTURA Congettura dei primi gemelli Congetture di Goldbach Ultimo Teorema di Fermat

6 Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo. Congettura dei primi gemelli

7 Congettura forte di Goldbach Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi. Congettura debole di Goldbach Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi Per esempio, 4 = = = = = = = = 7 + 7

8 Non esistono soluzioni intere positive all'equazione: a n + b n = c n se n > 2. n =2  terne pitagoriche Esempi: ( 3, 4, 5); ( 5, 12, 13); ( 7, 24, 25); ( 8, 15, 17); ( 9, 40, 41) …. L’ultimo Teorema di Fermat

9 La struttura di un enunciato matematico é sempre rappresentabile come P 1  P 2 ipotesi tesi A = { elementi che soddisfano P 1 } B = { elementi che soddisfano P 2 } A B

10 Il ruolo del controesempio é analogo a quello della dimostrazione Quello che interessa al matematico é stabilire se un’affermazione é vera o falsa Vera dimostrazione Falsa controesempio

11 A = { elementi che soddisfano P 1 } B = { elementi che soddisfano P 2 } A B x ESEMPIO Cosa dimostra la presenza del punto x ? 1) Che P 1  P 2 ma P 2  P 1 2) Che P 2  P 1 ma P 1  P 2 3) Che P 2  P 1 4) Che le affermazioni P 1 e P 2 non sono confrontabili Il punto x é un controesempio per l’affermazione P 2  P 1 La quale é quindi FALSA perché esiste il controesempio x

12 A = { elementi che soddisfano P 1 } B = { elementi che soddisfano P 2 } A B x z y Quale degli elementi é un controesempio all’affermazione P 1  P 2 ? 1) x 2) y 3) z 4) Tutti e tre

13 A = { elementi che soddisfano P 1 } B = { elementi che soddisfano P 2 } A B x z y L’esistenza di z prova che 1) P 1  P 2 ma P 2  P 1 2) P 2  P 1 ma P 1  P 2 3) P 1  P 2 4) Non prova nessuna implicazione

14 “Tutte le insegnanti in questa stanza portano gli occhiali” P 1 = insegnante in questa stanza P 2 = portatori di occhiali A = { elementi che soddisfano P 1 } = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi} B = { elementi che soddisfano P 2 } = P 1  P 2

15 E viceversa? “Tutti i portatori di occhiali sono insegnanti e si trovano in questa stanza” P 1 = insegnante in questa stanza P 2 = portatori di occhiali A = { elementi che soddisfano P 1 } = { Borghetti, Buzzi, Cinti, Maccaglia, Martellotti, Venturi} B = { elementi che soddisfano P 2 } = P 2  P 1

16 Riassumendo L’esempio … dimostra che 1) Che P 1  P 2 ma P 2  P 1 2) Che P 2  P 1 ma P 1  P 2 3) Che P 2  P 1 4) Che le affermazioni P 1 e P 2 non sono confrontabili oppure 4 bis ) non prova nessuna implicazione …. Quale tra i seguenti é un contro- esempio alla (o al viceversa della) affermazione P 1  P 2 ? 1)Esempio A 2)Esempio B 3)Esempio C 4)Esempio D oppure 4 bis) nessuno dei precedenti 4 ter) vanno bene tutti e tre ….


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