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Matematica per economisti Beatrice Venturi 1 Facoltà di Economia Equazioni differenziali e applicazioni economiche LEZIONE 1 prof. Beatrice Venturi.

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1 matematica per economisti Beatrice Venturi 1 Facoltà di Economia Equazioni differenziali e applicazioni economiche LEZIONE 1 prof. Beatrice Venturi

2 matematica per economisti Beatrice Venturi 2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI E APPLICAZIONI ECONOMICHE

3 3 LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE §DEFINIZIONE: Sia §y = una funzione incognita §x = variabile indipendente §y' = derivata prima Equazione differenziale ordinaria del prim'ordine.

4 matematica per economisti Beatrice Venturi 4 1.ESEMPI

5 matematica per economisti Beatrice Venturi 5 Modello di crescita di Domar

6 matematica per economisti Beatrice Venturi 6 Investimento e formazione di capitale §Formazione di capitale = processo per cui nuove quote di capitale si aggiungono ad uno stock precedente. Saggio di formazione di capitale =

7 matematica per economisti Beatrice Venturi 7 Legame tra capitale ed investimento netto Capitale = Investimento netto =

8 matematica per economisti Beatrice Venturi 8 Legame tra capitale ed investimento netto

9 matematica per economisti Beatrice Venturi 9 Legame tra capitale ed investimento netto

10 matematica per economisti Beatrice Venturi 10 Legame tra capitale ed investimento netto

11 matematica per economisti Beatrice Venturi 11 Legame tra capitale ed investimento netto

12 matematica per economisti Beatrice Venturi 12 CONCETTO DI SOLUZIONE §Risolvere un equazione differenziale significa trovare una funzione (soluzione) che renda l’espressione identicamente soddisfatta. §Trovare una soluzione delle equazione precedente,in genere, significa fare un’operazione di integrazione.

13 matematica per economisti Beatrice Venturi 13 §La derivata ordine massimo della funzione incognita che compare nell’equazione determina il grado dell’equazione differenziale. ORDINE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE

14 matematica per economisti Beatrice Venturi 14 Dinamica del prezzo di equilibrio §Consideriamo una funzione domanda: e una funzione offerta :

15 matematica per economisti Beatrice Venturi 15 Dinamica del prezzo di equilibrio §in condizioni di equilibrio risulta:

16 matematica per economisti Beatrice Venturi 16 Dinamica del prezzo di equilibrio questa equazione rappresenta un’equazione differenziale del I ° ordine lineare non omogenea si mostra che la soluzione di questo modello è data da:

17 matematica per economisti Beatrice Venturi 17 Dinamica del prezzo di equilibrio

18 matematica per economisti Beatrice Venturi 18 Dinamica del prezzo di equilibrio §Soluzione particolare della non omogenea Soluzione generale della omogenea

19 matematica per economisti Beatrice Venturi 19 Dinamica del prezzo di equilibrio Soluzione = soluzione generale omogenea + soluzione particolare non omogenea

20 matematica per economisti Beatrice Venturi 20 Stabilità dinamica dell’equilibrio

21 matematica per economisti Beatrice Venturi 21 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI. Un'equazione differenziale che presenta al secondo membro il prodotto di una funzione della sola y per una funzione della sola x si dice a variabili separabili. Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente :

22 matematica per economisti Beatrice Venturi 22 Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente

23 matematica per economisti Beatrice Venturi 23 Modello di crescita di Domar §La propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo

24 matematica per economisti Beatrice Venturi 24 INTEGRALE PARTICOLARE §DEFINIZIONE: §Si chiama integrale particolare o soluzione particolare dell'equazione differenziale ogni funzione : ottenuta dall’integrale generale attribuendo un particolare valore.

25 matematica per economisti Beatrice Venturi 25 Così, ad esempio, data l'equazione differenziale §per determinare il suo integrale particolare le cui curve rappresentative passa per il punto:

26 matematica per economisti Beatrice Venturi 26

27 matematica per economisti Beatrice Venturi 27 Grafico della funzione

28 matematica per economisti Beatrice Venturi 28 Grafico soluzione caso: C ₁ = 0 y=(1/3)x³

29 matematica per economisti Beatrice Venturi 29 INTEGRALE SINGOLARE Si chiama integrale singolare o di frontiera dell'equazione differenziale ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva risulti interamente giacente sulla frontiera. La sua equazione non è ottenibile per alcun valore numerico attribuito alla costante c.

30 matematica per economisti Beatrice Venturi 30 Così, ad esempio, data l’equazione differenziale :

31 matematica per economisti Beatrice Venturi 31 In base a questo esercizio osserviamo che y=0 è una soluzione dell'equazione differenziale, ma y=0 non può considerarsi un integrale particolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale. Pertanto y=0 rappresenta un integrale singolare.


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