Equazioni differenziali e applicazioni economiche

Presentazione sul tema: "Equazioni differenziali e applicazioni economiche"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni differenziali e applicazioni economiche
Facoltà di Economia Equazioni differenziali e applicazioni economiche LEZIONE 1 prof. Beatrice Venturi matematica per economisti Beatrice Venturi

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI E APPLICAZIONI ECONOMICHE
matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi

3 LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE
DEFINIZIONE: Sia y = una funzione incognita x = variabile indipendente y' = derivata prima Equazione differenziale ordinaria del prim'ordine. matematica per economisti Beatrice Venturi

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1.ESEMPI matematica per economisti Beatrice Venturi

5 Modello di crescita di Domar
matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi

6 Investimento e formazione di capitale
Formazione di capitale = processo per cui nuove quote di capitale si aggiungono ad uno stock precedente. Saggio di formazione di capitale = matematica per economisti Beatrice Venturi

7 Legame tra capitale ed investimento netto
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8 Legame tra capitale ed investimento netto
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9 Legame tra capitale ed investimento netto
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10 Legame tra capitale ed investimento netto
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11 Legame tra capitale ed investimento netto
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CONCETTO DI SOLUZIONE Risolvere un equazione differenziale significa trovare una funzione (soluzione) che renda l’espressione identicamente soddisfatta. Trovare una soluzione delle equazione precedente,in genere, significa fare un’operazione di integrazione. matematica per economisti Beatrice Venturi

13 ORDINE DI UN’EQUAZIONE
DIFFERENZIALE La derivata ordine massimo della funzione incognita che compare nell’equazione determina il grado dell’equazione differenziale. matematica per economisti Beatrice Venturi

14 Dinamica del prezzo di equilibrio
Consideriamo una funzione domanda: e una funzione offerta: matematica per economisti Beatrice Venturi

15 Dinamica del prezzo di equilibrio
in condizioni di equilibrio risulta: matematica per economisti Beatrice Venturi

16 Dinamica del prezzo di equilibrio
questa equazione rappresenta un’equazione differenziale del I ° ordine lineare non omogenea si mostra che la soluzione di questo modello è data da: matematica per economisti Beatrice Venturi

17 Dinamica del prezzo di equilibrio
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18 Dinamica del prezzo di equilibrio
Soluzione generale della omogenea Soluzione particolare della non omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi

19 Dinamica del prezzo di equilibrio
Soluzione = soluzione generale omogenea + soluzione particolare non omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi

20 Stabilità dinamica dell’equilibrio
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21 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI.
Un'equazione differenziale che presenta al secondo membro il prodotto di una funzione della sola y per una funzione della sola x si dice a variabili separabili. Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente : matematica per economisti Beatrice Venturi

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Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente matematica per economisti Beatrice Venturi

23 Modello di crescita di Domar
La propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo matematica per economisti Beatrice Venturi

24 INTEGRALE PARTICOLARE
DEFINIZIONE: Si chiama integrale particolare o soluzione particolare dell'equazione differenziale ogni funzione : ottenuta dall’integrale generale attribuendo un particolare valore. matematica per economisti Beatrice Venturi

25 Così, ad esempio, data l'equazione differenziale
per determinare il suo integrale particolare le cui curve rappresentative passa per il punto: matematica per economisti Beatrice Venturi

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27 Grafico della funzione
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28 Grafico soluzione caso: C₁= 0 y=(1/3)x³
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INTEGRALE SINGOLARE Si chiama integrale singolare o di frontiera dell'equazione differenziale ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva risulti interamente giacente sulla frontiera. La sua equazione non è ottenibile per alcun valore numerico attribuito alla costante c. matematica per economisti Beatrice Venturi

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Così, ad esempio, data l’equazione differenziale : matematica per economisti Beatrice Venturi

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In base a questo esercizio osserviamo che y=0 è una soluzione dell'equazione differenziale, ma y=0 non può considerarsi un integrale particolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale. Pertanto y=0 rappresenta un integrale singolare. matematica per economisti Beatrice Venturi