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LOGICA La logica è lo studio del ragionamento. La logica matematica è lo studio dei ragionamenti utilizzati dai matematici e si occupa dei linguaggi formali,

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1 LOGICA La logica è lo studio del ragionamento. La logica matematica è lo studio dei ragionamenti utilizzati dai matematici e si occupa dei linguaggi formali, introducendo regole che garantiscono la correttezza dei ragionamenti.

2 Nei linguaggi si distinguono : LA SINTASSILA SEMANTICA ENUNCIATI O PROPOSSIZIONI LOGICA BIVALENTE O BINARIA INSIEME DELLE REGOLE CON LE QUALI COLLEGARE PAROLE O SIMBOLI PER OTTENERE FRASI CORRETTE INSIME DEI SIGNIFICATI DA ATTRIBUIRE ALLE PAROLE E ALLE FRASI ESPRESSIONI LINGUISTICHE DALLE QUALI SI PUO STABILIRE SE UNA COSA È VERA O FALSA PRENDE IN CONSIDEREAZION E UNA PROPOSIZIONE CHE PUÒ ESSERE VERA O FALSA: NON SONO POSSIBILI ALTRI CASI

3 ENUNCIATI ENUNCIATI ELEMENTARI ENUNCIATI COMPOSTI NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO CONGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI DISGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI IMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI COIMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI ►

4 ENUNCIATI ELEMENTARI Sono costituiti da un predicato e da uno o più nomi detti argomenti. Sono costituiti da un predicato e da uno o più nomi detti argomenti. Es. 5 è maggiore di 4 oppure in forma simbolica 5>4 p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato) p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato) q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento) q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento) ☼

5 ENUNCIATI COMPOSTI Due o più enunciati semplici sono uniti da connettivi che sono: Due o più enunciati semplici sono uniti da connettivi che sono: …. e …. (  ) …. e …. (  ) ….o….(  ) ….o….(  ) se ….allora….(  ) se ….allora….(  ) ….se e solo se….(  ) ….se e solo se….(  ) ☼

6 NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO Si indica con p e si legge “non p” oppure “p negato” è l’enunciato che è falso se p è vero ed è vero se p è falso. Si indica con p e si legge “non p” oppure “p negato” è l’enunciato che è falso se p è vero ed è vero se p è falso. La doppia negazione si indica con p pp p VFV FVF

7 ESEMPI DI NEGAZIONE E DOPPIA NEGAZIONE p: 5 è un numero pari p: 5 è un numero pari p : 5 non è un numero pari p : 5 non è un numero pari p: 5 è minore di 10 p: 5 è minore di 10 p: 5 non è minore di 10 p: 5 non è minore di 10 p: non è vero che 5 non è minore di 10 p: non è vero che 5 non è minore di 10 FALSO VERO VERO FALSO VERO ☼

8 CONGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce congiunzione di 2 enunciati p e q e si indica con p  q l’enunciato che è vero se p e q sono contemporaneamente veri,mentre è falso in ogni altro caso. pq pqpqpqpq VVV VFF FVF FFF ☺

9 DISGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce disgiunzione di 2 enunciati p o q e si indica con p  p l’enunciato che è vero se almeno uno dei 2 enunciati è vero, ed è falso se entrambi gli enunciati sono falsi. La scrittura “p o q” oppure “p vel q”. pq p  q VVV VFV FVV FFF ☺

10 ESEMPI DI CONGIUNZIONE E DISGIUNZIONE a:12 è divisibile per 3 b:12 è divisibile per 2 a  b: 12 è divisibile per 3 e per 2 p:3 è maggiore di 7 q:3 è divisibile per 2 p  q 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2 VERO VERO VERO VEROVERO VERO ☼

11 IMPLICAZIONE DI 2 ENUNCIATI Si definisce implicazione di 2 enunciati p e q e si indica con p  q e si legge “se p allora q”, l’enunciato che è falso nel caso in cui p sia vero e q falso ed è vero in tutti gli altri casi. pq pqpqpqpq VVV VFF FVV FFV ☻

12 COMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI Si definisce complicazione di due enunciati p e q e si indica con p  q e si legge “p se e solo se q” l’enunciato che è vero nel caso in cui i due enunciati siano entrambi veri o entrabi falsi ed è falso negli altri casi. pq pqpqpqpq VVV VFF FVF FFV ☻

13 ESEMPI DI IMPLICAZIONE E COMPLICAZIONE p:12 è divisibile per 4 q:12 è un numero pari p  q: se 12 è divisibile allora è un numero pari p:8 è un numero primo q:8 è divisibile per 5 p  q 8 è un numero primo se e solo se è d divisibile per 5 VERO VERO VERO FALSOFALSO VERO ☼

14 TAUTOLOGIE Una tautologia è una formula enunciativa vera qualunque sia il il valore di verità degli enunciati elementari che la compongono. Le tautologie sono dette anche leggi della logica.

15 CONTRADDIZIONE Una contraddizione è una formula che risulta falsa qualunque sia il valore di verità degli enunciati elementari che la compongono. p  p p  p (legge dell’identità)

16 LOGICA DEI PREDICATI Un espressione linguistica che dipende da una o più variabili,appartenenti ciascuna a un prefissato dominio, si dice predicato o anche enunciato aperto. Es.: “x è un numero primo” con x  N (dominio)

17 QUANTIFICATORI Il simbolo  si chiama quantificatore universale e si legge per ogni o per tutti. Sia p(x) un predicato e sia D il dominio della sua variabile. L’espressione  x (p(x)) si legge “ per ogni x è vero p(x)” o anche “per tutti gli x del dominio, è vero p(x)” oppure “per qualsiasi x appartenete a D è vero p(x)” Il simbolo  si chiama quantificatore esistenziale e si legge esiste o esiste almeno uno. Se p(x) è un predicato e D è il dominio della sua variabile l’espressione  x(p(x)) si legge “esiste almeno un x per cui è vero p(x)” oppure “esiste almeno un x dell’insieme D tale che è vero p(x)”

18 ESEMPI DI QUANTIFICATORI Esempio:  x (x>5) x  N “esiste almeno un numero naturale maggiore di 5” VERO. Esempio:  n (2n +1 è pari) n  N FALSO perché n è un numero naturale, 2n è pari, quindi, 2n+1 è sempre dispari. Esempio:  x (x 2 ≥0) x  Q “per ogni x razionale, x 2 ≥0” VERO. Esempio:  x (x 2 >1) x  Q FALSO perché afferma che qualsiasi numero razionale al quadrato è maggiore di uno.

19 CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTE Condizione sufficiente: Consideriamo due predicati: s(x): x è un multiplo di 6 p(x): x è pari x  N Tutti i valori di x  N che rendono vero s(x) rendono vero anche p(x). Dunque se è vero s(x) allora è vero anche p(x).  x(s(x)→p(x))

20 CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTE Condizione necessaria: Consideriamo due predicati: s(x): x è un multiplo di 6 p(x): x è pari x  N Essere pari, per un numero naturale, non è sufficiente per essere divisibile per 6. possiamo affermare che essere pari è necessario per essere multiplo di 6. p(x)  s(x)

21 Questa presentazione è stata realizzata da: Menini Samuele & Soliani Mirco


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