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GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON.

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1 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008 GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Gennaio 2009

2 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

3 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: 1.interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; 2.tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; 3.dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite”

4 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello di Klein - K 2

5 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Posizione relativa di due rette in K 2 Secanti = le rette che intersecano r in un punto interno di Ω Parallele = le rette che intersecano r in un punto di ∂Ω Iperparallele = le rette che non intersecano r né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

6 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Difetti del modello di Klein Modello non conforme C D

7 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Indipendenza del V postulato

8 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello del disco: l’omino geometra e il suo mondo di gas

9 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Che cos’è una retta?

10 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Formalizzando: il modello del disco - D 2

11 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello del disco - segue

12 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Posizione relativa di due rette in D 2 Secanti = due rette che si intersecano in un punto interno di Ω Parallele = due rette che si intersecano in un punto di ∂Ω Iperparallele = due rette che non si intersecano né in un punto interno né in un punto di ∂Ω

13 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Triangoli sgonfi

14 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Circonferenze

15 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Arte iperbolica: Escher

16 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello del semipiano - Π 2

17 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello del semipiano - segue

18 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Triangoli

19 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il modello dell’iperboloide

20 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Equivalenza e comodità

21 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

22 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Curvatura di una linea

23 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Curvatura di una linea in un suo punto definizione rigorosa

24 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Curvatura di una superficie: intuitivamente…

25 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 … e rigorosamente P n

26 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Classificazione dei punti di una superficie

27 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Classificazione dei punti di una superficie

28 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Superfici curve … di curvatura nulla!

29 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Superfici di curvatura costante e geometrie Superfici omogenee

30 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Pari dignità!

31 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Gauss e la geometria intrinseca Estrinseco Intrinseco

32 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Flatlandia

33 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Gauss e la geometria intrinseca Theorema egregium: La curvatura è una grandezza intrinseca!

34 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Isometrie e grandezze intrinseche La curvatura è una grandezza intrinseca La curvatura è una grandezza invariante per isometrie

35 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Superfici curve … di curvatura nulla! (bis)

36 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Aree di triangoli

37 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Carte geografiche e deformazioni prevedibili

38 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Buckminster Fuller, Dymaxion Map e cupole geodesiche

39 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 A spasso su Marte

40 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Pavimenti e tassellazioni Tassellazione regolare {N,K}

41 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il paradiso del piastrellista

42 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Il paradiso del piastrellista

43 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Klein e la nuova definizione di geometria Gruppo di trasformazioniProprietà invarianti Geometria = lo studio degli enti le cui proprietà sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo dato cosa vuol dire fare geometria?

44 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

45 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 La forma dell’universo

46 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Perché il problema è così difficile? n dimensioni obbligatorietà del punto di vista intrinseco

47 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Generalizzazione del concetto di curvatura alle dimensioni superiori esiste e funge da “spartitraffico” 3 geometrie: ellittica (K > 0), euclidea (K = 0), iperbolica (K < 0) si può edificare una geometria globalmente valida solo su oggetti di curvatura costante e il segno della curvatura stabilisce il tipo di geometria. 3 modelli: S n (K ≡ 1), E n (K ≡ 0), H n (K ≡ -1), la curvatura è sempre una grandezza intrinseca

48 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Einstein: la gravità è geometria la presenza di massa ed energia curva lo spazio

49 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Lenti gravitazionali e croci di Einstein

50 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Forma dell’universo a grande scala: possibili soluzioni delle equazioni della relatività generale Principio cosmologico: l’universo a grande scala è omogeneo e isotropo tensore energia - impulso = funzioni del tensore di Ricci 1)l’universo non è statico ma si evolve, cambiando le sue dimensioni nel tempo (contraendosi o dilatandosi); 2)la geometria dell’universo a grande scala è curva e l’usuale geometria euclidea è solo un caso particolare tra le ∞ geometrie non euclidee che si ottengono come soluzioni delle equazioni.

51 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Hubble: l’universo in espansione e il più grande errore di Einstein

52 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Poincaré ed Einstein

53 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Espansione e Big Bang

54 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Letteratura: un poetico grande botto

55 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 curvaturageometriaprototipodestino Ω<1negativaiperbolicaespansione infinita Ω=1nullaeuclideaespansione che rallenta e termina dopo un tempo infinito (cioè mai) Ω>1positivaellitticafine dell’espansione e collasso (big crunch) Densità critica, forma e destino dell’universo

56 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Calcolare Ω: il problema dell’inventario Materia oscuraEnergia oscura

57 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Telescopio o macchina del tempo?

58 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 B OOMERANG, M AP e gli altri: l’universo è piatto?

59 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 È piatto … ma che forma ha???

60 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Conseguenze cosmologiche di B OOMERANG

61 Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Gennaio 2009 Bibliografia Grazie per l’attenzione! GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Ed. Alpha test Coll. Gli Spilli


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