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BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 1. Richiami sui filtri digitali Filtri non recorsivi La stima y*(k) è la somma pesata del segnale in k e degli n-1 campioni.

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1 BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 1

2 Richiami sui filtri digitali Filtri non recorsivi La stima y*(k) è la somma pesata del segnale in k e degli n-1 campioni precedenti: TTT 12n y(k) y(k-1) h(2)h(n-2)h(n-1) h(1) y(k-2)y(k-n+2)y(k-n+1) y*(k)  h(0)

3 Richiami sui filtri digitali Filtri recorsivi Ta y(k)y*(k) y*(k-1) + + La stima y*(k) è uguale alla stima al passo precedente pesata con il coefficiente a e sommata all’ultimo campione y(k)

4 Richiami sui filtri digitali Risposta impulsiva e risposta armonica Per il filtro recorsivo, assunto a=1/2 e y*(k)=0 per k<0 si ha: y*(0)= ay*(-1)+y(0) = 1 y*(1)= ay*(0)+y(1) = a y*(2)= ay*(1) +y(2) = a y*(k)= ay*(k-1)+y(k)= a k I filtri recorsivi hanno risposta impulsiva infinita Filtri recorsivi 1 1 k k 012 Sia y(k)=0 per k 0 e y(k)=1 per k=0. Si consideri il filtro costituito da due soli campioni h(0)= h(1)=1/2 si ha allora: y*(0)= h(0)y(0) +h(1)y(0-1) = h(0)y(0)=1/2 y*(1)= h(0)y(1) + h(1)y(0) = h(1)y(0)=1/2 y*(2)= h(0)y(2) + h(1)y(1) = y*(k)= 0 I filtri non recorsivi hanno risposta impulsiva finita Filtri non recorsivi 1 1 kk 01

5 Richiami sui filtri digitali Risposta impulsiva e risposta armonica Si consideri il fitro non recorsivo la cui risposta è : y*(k)=  i h(i)y(k-i) i=0,...,n-1 Consideriamo in particolare l’esempio precedente in cui h(0)=h(1)=1/2. Si ha quindi: y*(k) = 1/2·y(k)+1/2·y(k-1). Trasformando si ottiene: Y*(j  ) =  k y(k) e -jk  T + 1/2  k y(k-1) e -jk  T k= -   Il secondo termine può essere scritto:  k y(k-1) e -jk  T = e -j  T  n y(n) e -jn  T n=k-1 n= -   Da cui: Y*(  ) = 1/2 Y(  )+1/2 e -j  T Y(  ) H(w)=Y*(  )/Y(  )=1/2 (1+ e -j  T ) Filtri non recorsiviFiltri recorsivi Si consideri il fitro recorsivo la cui risposta è : y*(k) = y(k) + a y*(k-1) Traformando seguendo la stessa procedura del caso non recorsivo si ottiene: Y*(  ) = Y(  ) + aY*(  )e -j  T H(w)=Y*(  )/Y(  )=1/(1-a e -j  T )  H(w)  w  /T  /2T 1 2 a=0.5 Filtro non recorsivo

6 Richiami sui filtri digitali y(k)=x+v(k) E(x)=x 0, E(x 2 )=S=  x 2 +[E(x)] 2 E(v)=0, E(v 2 )=  v 2 Filtri non recorsivi Si abbiano m campioni di y e si supponga di avere m campioni uguali di h: h(i)=1/m. In questo caso non ha più senso l’ordine in cui i campioni di y vengono processati per cui possiamo scrivere: y*=  i h(i)y(i) i=1,...,m E(y*) = 1/mE(  i y(i)) = 1/mE(  i x+v(i)) = E(x)= x 0 Con errore quadratico medio pari a: pe = E(e 2 ) = E{1/m(  i x+v(i)) –x} 2 = = E{1/m [  i x+  i v(i)] –x} 2 = E[1/m  i v(i)] 2 p e =  v 2 /m Filtri recorsivi Si consideri il filtro recorsivo y*(k) = y(k) + ay*(k-1). Assumendo y*(k)=0 per k  0 e considerando m campioni di y : y(1)...y(m), si ottiene: y*(1)= y(1)+ay*(0)=y(1) y*(2)= y(2)+ay*(1)=y(2)+ay(1) y*(m)= y(m)+ay*(m-1)=y(m)+ay(m-1)+...+a m-1 y(1) Sostituendo il valore di y(k) si ha: y*(m) = (1+a+a a m )x+  i a m-i v(i) = (1-a m )/(1-a)x + +  i a m-i v(i) i=1,2,..., m Per m grande (  a  m <<1) si ha: x*  (1-a)y*(m) = x* = (1-a m )x +(1-a)  i a m-i v(i) e pe = a 2m S + (1-a 2m )/(1-a)  v 2 /(1+a)=  v 2 (1+  2 /  ) / Con  a m <<1 e  = (1+a)/[(1-a)(1-  2 )]   (1+a)/(1-a)


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