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1 Probabilità una proposta didattica. 2 obiettivi dare allalunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio,

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1 1 Probabilità una proposta didattica

2 2 obiettivi dare allalunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza che anche lambito del fortuito può essere analizzato razionalmente; far valutare quantitativamente la probabilità di un evento secondo la definizione classica di probabilità come rapporto; far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventi aleatori composti; studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemi delle scienze sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);

3 3 obiettivi avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri, facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali, al crescere del numero delle prove, seguono una crescente regolarità recuperare, nellambito della probabilità, altri concetti matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.

4 4 Contenuti Probabilità di eventi semplici Probabilità di eventi composti Applicazione della Probabilità alla genetica

5 5 Metodo Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su schede. La presentazione propone varie situazioni legate a giochi di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):

6 6 si chiederà di congetturare il risultato, di indovinare lesito delle prove aleatorie e poi si passerà al tentativo di spiegazione, mediante il ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono più facilmente di altre Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortuna invece che in situazioni più legate alla vita reale, le situazioni reali sono troppo complesse metodo

7 7 Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili, come in alcuni libri di testo Neppure considerando le frequenze di un evento su di un certo numero di prove ma il metodo seguito è quello di far scoprire dagli alunni le proprietà della probabilità a partire da esempi opportuni.

8 8 Probabilità di eventi semplici Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventi elementari siano un numero finito N e tutti ugualmente possibili : ogni evento elementare ha probabilità 1/N se un evento A è costituito da m eventi elementari la sua probabilità è m/N

9 9 Nelle prime schede della nostra proposta didattica la soluzione delle diverse situazioni problematiche è intuitiva. Sono disegnate urne contenenti palline bianche o nere. Si fa presente che, sin dalle prime due schede, (a), si considerano solo gli elementi presenti in ciascuna urna e, (b), ciascuno elemento ha la stessa opportunità di essere pescato. Queste prime schede vengono di solito presentate in prima media.

10 10 La rappresentazione Le rappresentazioni delle urne vengono progressivamente cambiate da disegno di palline a numeri con a fianco lindicazione in parola e poi numeri con lindicazione in lettere ( Il passare dalla rappresentazione con disegni a numeri e quindi alle lettere è un percorso che si ripete nellintroduzione a diversi argomenti di matematica come, ad esempio, nellintroduzione allalgebra).

11 11 URNE Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella 1°urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella 2°urna una bianca e nove nere. Prima urna Seconda urna

12 12 Vinci un premio Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da una delle due urne. Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nellestrazione. In quale urna ti conviene pescare? E se le urne fossero così composte? In quale pescheresti? Prima urna Seconda urna

13 13 Scheda 1. Per rispondere alla prima domanda notiamo che: con nessuna delle due urne la vincita è sicura, con nessuna è impossibile, è tuttavia ovvio scegliere la prima urna, perché entrambe le urne contengono 1 pallina bianca, ma la seconda contiene molte più nere della prima

14 14 cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i casi, l estrazione della bianca è pi ù probabile dalla seconda urna che dalla prima. Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di probabilit à.

15 15 Scheda 2 1. Come nella scheda precedente vinci un premio se estrai una pallina bianca da una delle due urne; Disponi alcune palline bianche e alcune nere nelle due urne disegnate, in modo che sia più conveniente pescare nella prima Prima urna Seconda urna

16 16 Scheda 2 2. … e in questa urna in quale pescheresti? 1 Bianca 2 Nere 50 Bianche 100 Nere I urna II urna

17 17 Scheda tre Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere: Considera, ora, la seguente situazione 1B 2N 2B 5N 1°urna 2°urna 1)In quale urna pescheresti? Scegli e completa una di queste risposte: Pesco nella prima perché Pesco nella seconda perché

18 18 Problemi didattici 1° 2° 3° Scheda

19 19 Nella seconda scheda alla risposta 2 e nella terza scheda, può capitare che qualche alunno faccia il confronto tra levento favorevole e il suo contrario invece che tra i casi favorevoli e la totalità degli elementi. I due confronti sono equivalenti:

20 20 La relazione … è maggiore di.. B su N > b su n B su (B + N)> b su (b + n) della seconda urna; dove B indica il numero delle palline bianche e N quello delle palline nere della prima urna, mentre b e n indicano rispettivamente il numero delle palline bianche e quello delle palline nere nella seconda urna. B + N è il totale delle palline della I urna e b + n il totale di quelle della II urna. ½ >2/5 1/3>2/7 0,5 >0,4 0,33>0,28

21 21 le due scritture hanno pari comodità? E facile dimostrare che B su N > b su n è equivalente a Bn>bN. La disuguaglianza B su (B + N)>b su (b + n) si può scrivere, mediante il prodotto in croce, nella forma B(b+n) >b(B+N). Applicando la proprietà distributiva a entrambi i membri, si ottiene che Bb+Bn>bB+bN che evidentemente è equivalente a Bn>bN. ½ >2/5 (1 5)>(2 2) 1/(1+2)>2/(2+5) 1(2+5)>2(1+2) > >6

22 22 Scheda 3 Nelle risposte alle domande della prima scheda lintuizione suggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il confronto non è così immediato è richiesto il confronto tra due rapporti, non è più così intuitivo nella scheda tre deve essere calcolato il rapporto

23 23 misura Si giunge allidea di misurare o meglio di esprimere quantitativamente la probabilità dellestrazione mediante un rapporto tra le palline bianche e il totale delle biglie. Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare facilmente la probabilità di eventi diversi non immediatamente confrontabili tra loro. Questa misura è rappresentata,per ora, da un numero razionale.

24 24 Definizione di probabilità di un evento Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili; si richiede che: il numero dei casi possibili sia finito, gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili.

25 25 definizione Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili è la misura della possibilità che si verifichi un certo evento. La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme. I sottoinsiemi di questo insieme vengono detti eventi; gli elementi dellinsieme vengono detti eventi elementari. La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della probabilità.

26 26 Perché è più conveniente B su T Riprendendo le situazioni precedenti delle schede 2 e 3, si può concludere che il rapporto B su T (dato T come totale delle palline presenti nellurna) o anche N su T è da preferire, le frazioni che prendiamo in considerazione assumono un limitato intervallo di valori,compresi tra 0 e 1 estremi compresi. Con la formula B su N o N su B le frazioni potrebbero raggiungere anche valori maggiori di 1, come nel caso si voglia calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca tra 8 palline bianche e 3 nere in ogni caso lo stesso B su N non sarebbe definito nel caso N=0.

27 27 Se invece linsegnante volesse evitare il presentarsi di questo problema in questo momento del programma può introdurre la situazione con il seguente problema Esempio ci sono due insiemi di buste : nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un premio, nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti un premio. Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio in quale pescheresti? (Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel lancio di un dado).

28 28 Quali sono gli sviluppi didattici che queste prime schede possono far nascere? La probabilità di un evento viene data come misura, cioè essa misura la facilità con la quale può presentarsi quel evento. La probabilità di un evento è un numero ottenuto dal rapporto o quoziente tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili.(Per ora numero razionale). Si può approfondire il confronto fra frazioni, la scrittura di numero razionale come coppia di due numeri interi [a,b] o in decimale, o riferito a 100 in scrittura percentuale. Eunoccasione per poter evidenziare luguaglianza di a:b = a/b 1:2=0,5 riferito a 100 scrivo 0,50 o 50%.

29 29 approfondimenti E difficile per uno studente delle medie comprendere a fondo il concetto di rapporto. abbiamo utilizzato la costruzione di urne e il contesto probabilistico nel quadro concettuale della proporzionalità in quanto siamo convinti che sia opportuno, nellacquisizione di concetti specifici, delineare domini piuttosto ampi di conoscenza che coprono una grande varietà di situazioni e facilitino la comprensione.

30 30 Prima scheda Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da unurna che contiene 3 palline bianche e 5 nere. Fai lesempio di almeno tre urne in modo che per avere il premio sia lo stesso pescare nellurna assegnata o in qualsiasi delle tue. Spiega con quale criterio hai costruito le tue.

31 31 Seconda scheda –COMPLETA la seguente tabella in modo che presenti la composizione di otto urne, tutte equivalenti B15621 N T2488 urne1°u2°u3°u4°u5°u6°u7°u8°u

32 32 Queste schede hanno lo scopo di: riprendere e rafforzare il concetto probabilistico, osservare come avviene la costruzione del ragionamento proporzionale. La costruzione di urne permette di usare, in un contesto non banale, numeri interi. In seguito si chiede: spiega come hai costruito le tue urne. …… Spiega a un tuo compagno un criterio generale per costruire urne che siano equivalenti a quelle date …

33 33 esercizio In un urna ci sono 12 palline bianche e 8 palline nere, in una seconda urna ci sono 15 palline bianche. Quante palline nere devo aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più conveniente pescare nero dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?

34 34 approfondimento Le diverse strategie di soluzione evidenziano a quali conoscenze matematiche ciascuno alunno faccia riferimento. Ad esempio, frazioni equivalenti 8/20 = 2/5=10/25. Se si mettono 10 nere nella seconda urna si ottiene 10/25 cioè una frazione equivalente a 2/5. Basta mettere 11 palline nere nella seconda urna per risolvere la situazione. Oppure il rapporto tra le palline bianche nelle due differenti urne è: B/b=12/15=4/5 si trova lo stesso rapporto tra le palline nere N/n=(4 2)/(5 2)=8/10 quindi, aggiungendo nella seconda urna 11 palline invece che 10 come nelluguaglianza data, si risolve la situazione. Può essere altrimenti risolto, utilizzando come strumento risolutivo, limpostazione di unequazione di primo grado: 2x +30=5x x=10. Le strategie di soluzione possono essere confrontate e discusse.

35 35 In terza media si può ancora riprendere la probabilità nel nellambito delle funzioni. In unurna si trova una pallina bianca insieme a due palline nere. Ne estraggo una a caso; se la pallina estratta è bianca vinco un premio. Qual è la probabilità di vincere un premio? Tenendo fisso il numero delle palline bianche, pensa di far variare il numero delle palline nere. Come varia in corrispondenza, la probabilità di vincere il premio? Fai qualche esempio per alcuni valori del numero di palline nere. Compila una tabella Disegna un grafico, mettendo in ascissa il numero delle palline nere e in ordinata la probabilità di vincere un premio. Disegna anche, a parte, il grafico della legge di proporzionalità inversa. Sai dire se ci sono somiglianze tra i due grafici? Se il regolamento del gioco dice che il numero totale di palline nellurna deve essere primo, e che la pallina bianca deve essere una sola, quante palline nere preferiresti mettere nellurna, se dipendesse da te?

36 36 Anche questa situazione permette di approfondire alcuni argomenti si abituano i ragazzi a lavorare e a vederesia su tabelle che su grafici o su scritture simboliche. Il grafico che si ottiene in questo caso specifico in un riferimento cartesiano oltre ad avere un punto sullordinata, è un insieme di punti (allineati) e non sarebbe comunque possibile interpretare nel modello di partenza tutti i punti intermedi. In alcuni casi invece (lato e perimetro del quadrato; lato del quadrato e sua diagonale,base di un rettangolo al variare dellaltezza con area costante …..) anche se il grafico che si ottiene con casi particolari è discreto, ha senso pensare di completarlo con i punti intermedi che si interpretano bene nel modello di partenza (questione discreto- continuo). In conclusione anche queste situazioni problematiche possono essere utili per concorrere in modo sostanziale alla costruzione dellidea di funzione

37 37 Scheda 5 esercizio Scrivi a fianco di ogni urna la probabilità (espressa in frazione ed in percentuale) di estrarre una pallina bianca:Scrivi a fianco di ogni urna la probabilità (espressa in frazione ed in percentuale) di estrarre una pallina bianca: 1 B 9 N 2B 7N 3B 1N 50B 100N

38 38 Scheda sei Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per interrogare un ragazzo. Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti. Qual è la probabilità che tu sia interrogato? Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il cui cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...? E più facile che sia interrogato un maschio o una femmina? Supponi che in una delle prossime lezioni linsegnante usi ancora lo stesso modo di interrogare. Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà cambiare? Giustifica la tua risposta.

39 39 Scheda 6 si vuole far scoprire P( )=0. La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso evento può cambiare se si modifica lesperimento. Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere che la probabilità di un evento è un numero tale che 0 p 1, e si cerca di chiarire il significato della parola evento. Inoltre la scrittura dellintervallo numerico: 0 p 1 permette di far riflettere sia sullinsieme dei numeri razionali sia sulla simbologia usata di uguale maggiore o uguale e minore. Difficoltà che si riscontreranno in terza media quando si affronteranno le disequazioni.

40 40 Esercizi 1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità di estrarre: a) il fante di cuori b) un fante c) una figura 2) Lanciando un dado qual è la probabilità che esca: a) Il numero 6 b) Un numero dispari c) Un numero pari? 3) A una lotteria con 120 biglietti quanti ne devi comperare per avere probabilità 1/5 di vincere un premio in palio, nellipotesi che vengano venduti tutti?

41 41 esercizi 4) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come probabilità di un evento il numero 4/3. Ti sembra un risultato possibile? 5) In unurna ci sono 5 palline nere. Quante palline bianche devi aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?

42 42 Le schematizzazioni aiutano a risolvere problemi Davanti a situazioni problematiche è più facile la soluzione se si ricorre a rappresentazioni grafiche chiarificatrici. Una di queste schematizzazioni è il grafo ad albero.

43 43 Può essere usato nei problemi con frazioni come operatori : 1)Un negoziante ha venduto a un cliente i 5/16 di una pezza di stoffa, ad un secondo cliente i 9/32 della stessa pezza,ad un terzo cliente il rimanente. Quale frazione della stessa pezza di stoffa ha venduto al terzo cliente? 5/16 1° 9/32 2° … 3° ….….

44 44 Altro esempio Un commerciante ha acquistato una cassa di bicchieri. Allapertura della cassa trova che i 3/10 sono difettosi; che 1/3 dei difettosi sono rotti, gli altri sono incrinati. a) Quale frazione rappresenta i bicchieri non difettosi? b) Quale i bicchieri rotti ? c) Quale quelli incrinati?

45 45 Secondo esercizio Df 3/10 Non dif … 1/3 Rott. … Incr.

46 46 Quanti e quali sono i possibili numeri di tre cifre, diverse fra loro, che si possono ottenere utilizzando le cifre del numero 452?

47 47 Scomposizione di un naturale in numeri primi

48 48 Grafo ad albero In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse, 2 nere e 1 verde. Come puoi facilmente verificare la probabilità di estrarre una pallina bianca è 2/5. Rappresentiamo la situazione con il seguente schema che si chiamagrafo ad albero: Bianca Rossa Nera Verde 2/5 …. …. …. Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità di ciascun evento

49 49 Scheda 8 la situazione viene rappresentata con un grafo ad albero, dove alla fine di ciascun ramo è scritto levento considerato lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità dellevento corrispondente. La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essere uguale a uno. Per la probabilità dellunione di eventi viene presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.

50 50 Lancio di un dado Un dado ha tre facce rosse, due blu e una bianca. Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu? Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.

51 51 Scheda nove A una lotteria si vendono 150 biglietti. Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro nella loro famiglia ha acquistato biglietti. Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)= Qual è la probabilità che lo vinca Luigi? P(L)= Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro famiglia?(Scrivi il calcolo) P(F)= Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati ottenuti rispondendo alle domande precedenti: P(G) + P(L) = P(F)

52 52 scheda 9 fa scoprire la regola della somma nel caso di eventi disgiunti. La probabilità di due eventi disgiunti gode della proprietà della somma. P(A B) = P(A) + P(B) se A B = E importante sottolineare il fatto che non sempre abbiamo situazioni che godano della proprietà della somma. Esempio se ad un litro dacqua, che ha una temperatura di 50 C°, aggiungo un litro dacqua a temperatura 100C° non ottengo 2 litri dacqua che misurano 150C°.

53 53 Scheda dieci In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 allarancia, 5 al miele. 1) Qual è la probabilità di estrarre: a) Una caramella alla ciliegia; b) Una caramella alla arancia; c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o allarancia)? 2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad albero: C A M Osserva che la somma delle probabilità dei primi due rami è uguale al numero ottenuto rispondendo alla domanda1c

54 54 3) Somma le probabilità di tutti i rami del grafo. a) Quale numero ottieni? b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità? c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di probabilità? Perché?

55 55 scheda 10 Si arriva al concetto di eventi incompatibili e si vuole anche far riflettere sulluso di o nel senso latino vel e dellunione fra insiemi. Se indichiamo con C, levento uscita di una caramella alla ciliegia, con A, levento uscita di una caramella alla arancia, calcolare levento uscita di una caramella alla frutta, cioè alla ciliegia o alla arancia, la probabilità è P( C A)= P(C) + P(A)= 7/12 Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire che la probabilità dellevento certo è 1 (cioè P( )=1).

56 56 Riflettere su eventi compatibili o non Si possono richiamare, con opportune domande e presentando esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e riprendere in considerazione i connettivi logici o e e.

57 57 Connettivo logico e Due o più proposizioni semplici si possono comporre attraverso la congiunzione. Loperatore della congiunzione che ha come simbolo, si legge e Consideriamo due proposizioni: p:8 è un multiplo di 4 q: 8 è un multiplo di 2 La congiunzione di queste due proposizioni semplici è: p q: 8 è un multiplo di 4 e di 2 Una proposizione composta formata da due proposizioni semplici unite dal connettivo e è vera solo se entrambe le proposizioni semplici sono vere.

58 58 pq p q Vero Falso VeroFalso Tabella di verità

59 59 A = x x N e x 12 B = x x N e x 8 e la loro intersezione A B = x x N e 8 x 12 ossia 9,10,11 La proposizione indeterminata composta: x è un numero naturale maggiore di 8 e minore di 12 ha come insieme verit à A B. Il connettivo e corrisponde alloperazione di intersezione di insiemi.

60 60 La disgiunzione può essere esclusiva o inclusiva. Loperatore della disgiunzione ha come simbolo che si legge o 1°io esco o sto a casa 2°io mangio o ascolto la radio Nella prima proposizione si può verificare solo una delle due situazioni mentre nella seconda è possibile che si verificano anche entrambe: nel primo caso la disgiunzione è esclusiva (una situazione esclude laltra) nel secondo è inclusiva (entrambe le situazioni possono verificarsi).

61 61 Connettivo o Una proposizione composta formata da due proposizioni semplici unite dal connettivo o è falsa solo se entrambe le proposizioni semplici sono false.

62 62 il connettivo o(vel) corrisponde alloperazione di unione tra insiemi Dati due insiemi A e B esiste un insieme che contiene tutti gli elementi di A e di B. Questo insieme si dice linsieme unione di A e B ed è definito da A B = {x : (x A) (x B)} La congiunzione o usata in senso non esclusivo definisce lunione tra due insiemi Più semplicemente considero linsieme A ={x è un numero naturale divisore di 12} ossia A ={1,12,2,3,4,6} e linsieme B ={x è un numero naturale divisore di 14} ossia B = {1,14,2,7} Linsieme dei divisori di 12 o di 14 è linsieme unione di A unione B definito da A B ={1,2,3,4,6,12,7,14}

63 63 pq p q Il quadrato ha 4 angoli uguali (vero) Il quadrato ha 4 lati uguali (vero) Il quadrato ha 4 angoli o 4 lati uguali (vero) 9 è multiplo di 3 (vero) 9 è multiplo di 6 (falso) 9 è multiplo di 3 o di 6 (vero) 10 è divisibile per 3 (falso) 10 è multiplo di 7 (falso) 10 è divisibile per 3 o è multiplo di 7 (falso)

64 64 Tabella di verità pq p q vero falsovero falsovero falso

65 65 Scheda undici Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle P 3 = Uscita di un n° 4 P 2 = Uscita di un n°>4 P 1 =2/6=1/32 Uscita del n°1 Uscita del n°2 Uscita di un n°<3 Probabilità Numero dei casi favorevoli Elenco dei casi favorevoli Evento Verifica che: P 3 = P 1 +P 2

66 66 Scheda 11 Si formula la regola della probabilità dellunione di eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso più generale. A: uscita di un numero <3 Gli eventi elementari di A sono:uscita dell1,uscita del 2,quindi si ha: P(A)=2/6=1/3 B: uscita di un numero >4 Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6, quindi: P(B)=2/6=1/3

67 67 P(A B) Gli eventi elementari di A B sono: uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: P(A B)= 4/6=2/3=1/3+1/3

68 68 Verifica che P 6 P 4 +P 5 P6=P6= Uscita di un numero primo o >3 P 5 = Uscita di un n°>3 P 4 =3/6=1/23 Uscita del n°2 Uscita del n°3 Uscita del n°5 Uscita di un numero primo Probabilità Numero dei casi favorevoli Elenco dei casi favorevoli Evento Sai spiegare perché non si possono sommare P4 e P5 ?

69 69 P 6 P 4 +P 5 A: uscita di un numero primo B: uscita di un numero >3 A B: uscita di un numero primo o >3 Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si ha: P(A)= 3/6=1/2

70 70 Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: P(B)= 3/6=1/2 Gli eventi elementari di uscita A B sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha: P(A B)=5/6 1/2+1/2 l evento uscita del numero 5 compare sia nei casi di A che nei casi di B

71 71 P 6 P 4 +P 5 casi A B non possono essere la somma dei rispettivi casi, levento uscita del numero 5 va contato solo una volta

72 72 Queste considerazioni hanno validità generale : se A e B sono due eventi che si intersecano per uno o più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio dei casi di A B occorre fare attenzione a contare una volta sola gli eventi in comune. Eventi elementari di A B = eventi elementari di A + eventi elementari di B meno eventi elementari A B. In termini di Probabilità P(A B)= P(A)+ P(B) P(A B).

73 73 Scheda dodici 1) Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità delleventovincita della famiglia 1/60. Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella famiglia cioè la probabilità dellevento contrario. Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza 1 P(F) 2) In unurna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse e 4 nere. La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35. a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad ogni ramo la probabilità di ciascun evento b) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.

74 74 Scheda 12 Si giunge al concetto della probabilità dellevento complementare. Se si prendono in considerazione due eventi che sono uno il contrario dellaltro cioè due eventi che sono uno complementare dellaltro, le loro probabilità hanno somma 1.

75 75 Proprietà della probabilità: (si possono inquadrare nella assiomatica di Kolmogorov) P(A B)= P(A)+ P(B) se A B = Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità dellevento unione è la somma della loro probabilità. P(A B)= P(A)+ P(B) P(A B) Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità dellevento unione è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione. P( )=0 Probabilità dellevento impossibile.

76 76 Probabilità dellevento certo P( )=1 Probabilità dellevento certo. P( C A ) =1 P(A) La probabilità dellevento A e quello dellevento contrario (non A) danno somma 1. Dove A, B indicano eventi, indica levento certo, levento impossibile e C A levento contrario di A.

77 77 Probabilità dellevento complementare Se indichiamo con A un evento e con C A il suo complementare si scrive allora: P(A)+ P( C A ) =1 da cui P( C A ) = 1 P(A)

78 78 ESERCIZI 1)Abbiamo 5 gettoni rossi. Aggiungi dei gettoni bianchi e dei gettoni blu in modo che la probabilità di estrarre un gettone rosso sia il 20% e quella di estrarre un gettone bianco sia il 40%.

79 79 ESERCIZI 2)Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità di estrarre: una carta di fiori; una figura; una carta di fiori o una figura; una carta di fiori o di cuori. 3) E stato accertato che in una confezione di viti, 4 sono difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso questa non sia difettosa?

80 80 ESERCIZI 4) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto). Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto: a) il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; d) un n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 7 5) Una società impiega 100 persone,75 uomini e 25 donne. Il reparto contabilità dà lavoro al 12% degli uomini e al 20% delle donne; se si sceglie a caso un cognome del reparto contabilità, qual è la probabilità che sia un uomo? Che sia una donna?

81 81 ESERCIZI 6) Abbiamo un sacchetto con 24 palline bianche. Quante ne dobbiamo tingere in rosso affinché la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 1/3? Quante delle rimanenti palline dobbiamo tingere in blu, affinché la probabilità di estrarre una pallina blu sia ¼ ? Posso tingere in verde alcune palline, tra le bianche rimaste,in modo che la probabilità di estrarre una pallina verde sia ½ ?

82 82 Soluzione:a) P(R)= 8/24=1/3. Ne tingo 8 in rosso Le rimanenti sono 16 cio è 24 8 P(BLU)= 6/24=1/4 Ne tingo ancora 6 delle rimanenti perch é la probabilit à di pescare blu su le 24 palline totali sia ¼. Le bianche rimaste sono a questo punto 24 (8+6)=10 Che non bastano per colorarle in verde per ottenere P(B)=1/2

83 83 Esercizi 7) Una ditta mette in commercio 500 sacchetti di patatine in uno dei quali è stato inserito un gettone dargento. Due fratellini, Paolo e Luca, acquistano rispettivamente 5e 10 sacchetti di patatine. Qual è la probabilità che: Paolo trovi un gettone? Luca trovi un gettone? Nessuno dei due trovi un gettone? Almeno uno dei due trovi un gettone?

84 84 ESERCIZI 8) Qual è la probabilità che, nellestrazione del gioco del lotto (90 numeri) del prossimo sabato, il I° numero estratto sulla ruota di Milano sia: a) il n° 9; b) un n°divisore di 9 c) un n° divisibile per 18; c) un multiplo di 12 o di 18.

85 85 Lancio di due dadi Consideriamo il lancio di due dadi non truccati, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili? Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si riferisce allesito del primo dado e il secondo n° si riferisce allesito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)

86 86 (6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1) (6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2) (6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3) (6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4) (6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5) (6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6) 2°dado 1°dado Casi possibili

87 87 Somme gli esiti possibili nel gioco sono 36: la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36. Supponiamo di sommare, ad ogni lancio, i punteggi dei due dadi; utilizziamo una tabella a doppia entrata; in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi rispettivi:

88 ° dado 1° dado Tabella

89 89 Commento E chiaro che gli esiti non sono equiprobabili Qual è il risultato più probabile? Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi equidistanti dalla diagonale disegnata: P (2) = P (12) =1/36 P (3) = P (11) =2/36=1/18 P (7) =6/36=1/6

90 90 Lancio di una moneta 1)Lanciando due volte la stessa moneta elenca ogni possibile risultato (si tratta di coppie) e calcolane la probabilità. TC TTTTC CCTCC Nel lancio di una moneta i risultati possibili sono:Testa o Croce.

91 91 Possiamo illustrare la situazione con un grafo: 1/2 T C T C TT TC CT CC Osserva che la probabilità TT è il prodotto delle probabilità dei due rami del grafo che portano a questo evento.

92 92 AB Il disegno rappresenta un campo che Giovanni possedeva e che, alla sua morte, viene diviso in due parti uguali tra le due figlie Anna e Bice.

93 93 Perché il prodotto? Avendo ciascuna tre figli, Anna e Bice dividono il loro campo in tre parti eguali. Come viene diviso la seconda volta il campo? Ciascun nipote quanto possiede del campo che apparteneva al nonno Giovanni?

94 94

95 95 Scheda sedici Prima estrazione In unurna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina e poi, senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda. Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione: R N

96 96 Seconda estrazione Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o nera, in quanto nellurna cè una pallina in meno. Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo: 5/8 3/8 R N 4/7 3/7 R N RR RN... R N NR NN 1)Completa il grafo 2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN. 3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa

97 97 scheda 16 Prima estrazione Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima estrazione si hanno due possibilità uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8 uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.

98 98 Seconda estrazione Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia pescata una pallina rossa o nera (nella prima estrazione). I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.

99 99 Se si vuole calcolare la probabilità dellevento elementare RR si può ragionare così: se la prima pallina estratta è rossa con probabilità 5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con probabilità 4/7, quindi avere due palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi,con probabilità: 4 5 = 7 8 Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si traduce nella moltiplicazione delle due frazioni. Si procede analogamente anche per calcolare la probabilità degli altri eventi elementari P(RN),P(NR),P(N,N)

100 100 Reimbussolamento ? Nellesempio appena visto si parla di estrazione senza reimbussolamento perché la pallina una volta estratta non viene messa nellurna. Si può pensare di rimettere la pallina estratta nellurna e in questo caso lestrazione si dice con reimbussolamento.

101 101 La soluzione di un problema viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani, le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a ciascun ramo del grafo: si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in termini di eventi, così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto quale percorso o quali percorsi devono considerare per calcolare la probabilità di un evento richiesto. Con una rappresentazione precisa e completa si pensa che si possa meglio evidenziare che la probabilità che si ottiene alla fine di ogni percorso è il prodotto della probabilità degli eventi di ogni ramo.

102 102 La strategia di soluzione La strategia di soluzione che si è individuata, che si può dire di moltiplicazione lungo i rami, è molto efficace perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza complicate è chiaro che il momento più importante della soluzione di un problema diventa la schematizzazione della situazione con un corretto grafo ad albero e questo non è sempre così immediato..

103 103 Probabilità eventi casuali composti Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente. due eventi A e B si dicono indipendenti se P(A B)= P(A) P(B) P(A B) P(A/B)=_______ = P(A) P(B)

104 104 Esercizi 1) Sto giocando a tombola; nella mia cartella manca solo il numero 75 e i numeri ancora da estrarre sono 24. Con che probabilità faccio tombola entro le prossime due estrazioni? 2) Nel gioco della tombola ( 90 numeri) qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 15 e il secondo 43?

105 105 3) Come nel gioco del lotto da unurna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque senza reimbussolamento. a)Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari? b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di una moneta c) Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale dei due eventi è più probabile?

106 106 4) Due ragazzi giocano a pari o dispari con le dita di una mano (nel gioco è escluso lo zero) a)Conviene puntare sul pari o sul dispari? 5) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche. a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva? E quale che non scriva? b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la probabilità che la seconda scriva?

107 107 6)In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere una casella da un tabellone di 12 caselle così composto: 1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia, 4 caselle coprono il premio di un televisore, 7 caselle non coprono nessun premio. a) Con una sola possibilità di scelta calcola la probabilità: di vincere un viaggio a Venezia di vincere un premio. b) Con due possibilità di scelta calcola la probabilità di non vincere di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisore di vincere almeno il viaggio a Venezia

108 108 7) Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8 ragazzi decidono di giocare a guardia e ladrie per decidere chi sarà guardiae chi sarà ladrosi affidano alla sorte. Sapendo che ci devono essere 3 guardie e 7 ladriqual è la probabilità che: a)Alfredo sia una guardia b)Alfredo e Bruno siano entrambi guardie c)Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano entrambiguardie o entrambi ladri d)Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una guardia

109 109 La frequenza relativa come stima della probabilità

110 110 0,2 0,8 C nC Sparando ad un bersaglio ho probabilit à 20% di colpirlo. Se sparo due volte qual è la probabilit à di colpirlo almeno una volta? 0,20,8 C nC C CC CnC nCC nCnC

111 111 Indichiamo con: C = colpito; nC= non colpito; P(colpire almeno una volta)= P(colpire entrambe le volte o colpire la prima volta e non la seconda o colpire la seconda e non la prima= P(CC)+P(CnC)+P(nCC) = 0,2 0,2+0,2 0,8+0,8 0,2=0,36

112 112 Osservazioni 1)Osserviamo che levento colpire almeno una volta è complementare di non colpire né la prima né la seconda volta, quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare come segue: P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36

113 113 2) Unaltra osservazione: nellevento Aver ottenuto successo al primo sparo è compreso il risultato che si vuole ottenere con avere successo in entrambe le volte oppure colpire la prima volta e non la seconda.

114 114 Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo: 0,2 C 0,8 nC 0,2 CnC 0,8 P(colpire almeno una volta)= P(C)+ P(nCC)=0,2+0,2 0,8=0,36

115 115 Osservazioni 3)Unaltra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e in altri in cui viene data la frequenza di un evento, non è più applicabile la definizione di probabilità data come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in una visione soggettivista oppure frequentista. Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una generalizzazione della definizione di probabilità: allora si può far notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che soddisfi le proprietà che si sono viste allinizio.

116 116 Al ristorante In un ristorante la probabilità che un cuoco bruci larrosto è 0,02, la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1 e quella che sali troppo è anchessa 0,1. Qual è la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco riesca bene ( supponendo che non possa fare altri errori)?

117 117 Schematizzazione La schematizzazione di tale problema può risultare più difficile in quanto mentre per larrosto ci sono solo due possibilità, cioè che bruci (B) oppure che riesca (R), per lacqua della pasta ci sono tre possibilità e cioè che sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS). La probabilità che lacqua non sia salata è 0,1 e che sia troppo salata è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8. Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati solo i rami che interessano.

118 118 0,02 B 0,98 R 0,1 0,80 TS NS G

119 119 Un giudice Un giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2 nere che egli dovrà collocare in due urne scegliendo tra queste quattro possibilità: 1) una bianca da sola e tutte le altre nellaltra urna; 2) una nera da sola e tutte le altre nellaltra urna; 3) le due bianche in unurna e le due nere nellaltra; 4) una bianca e una nera in ciascun urna. Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da essa una pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà graziato. Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la grazia? 1/2 1°urna 2° urna

120 120 1)P(B)=1 1/2+1/2 1/3=2/3 2)P(B)=1/2 2/3=1/3 3)P(B)=1/2 4)P(B)=1/2 1/2+1/2 1/2=1/2 1/3<1/2<2/3 soluzione

121 121 Generalizzare (1) Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni sono molte di più. Qual è la più favorevole per ottenere la grazia? Risolvendo il problema, si vede che la strategia più conveniente è: mettere una biglia bianca in unurna e tutte le nere con le rimanenti bianche nellaltra.

122 122 Generalizzare (2) Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema di routine da incasellare in una regola e può essere considerato un problema di strategia. In casi di questo tipo davanti a una situazione problematica di incertezza si cerca un comportamento che almeno ottimizzi la probabilità di successo. Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dellevento favorevole al variare di n. Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante palline nere, la situazione più favorevole è salvezza con: Probabilità = ½ +1/5 =7/10 Per n=4 è: Salvezza con Probabilità = ½+ 3/14=10/14=5/7

123 123 Generalizzare ( 3) Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia conduce alla probabilità di avere salva la vita: ½ +1/2 (n-1) / (2n-1)]=1/2 (3n-2) / (2n-1) ] Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che al crescere di n, la probabilità p tende al limite ¾ =0,75

124 124 tabella 0,7225 0,7144 0,73 0, ,51 PN 0, ,7359 0,7338 0,7317 0,7276 P N

125 125 tabella 0, , ,74750 PN

126 126 Quadrato Si consideri il quadrato di lato 1 Qual è la probabilità che scegliendo un punto a caso, questo sia nella zona colorata ?

127 127 Considerazioni Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili. In questo esempio gli eventi possibili sono rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da tutti i punti della zona colorata: si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile utilizzare la stessa definizione..

128 128 Definizione Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto tra aree,quella della zona favorevole e quella della zonapossibile. Larea del quadrato è 1 Larea del quarto di cerchio = /4 La probabilità richiesta = /4/1 cioè /4 Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora la probabilità di un evento era un numero dellinsieme dei numeri razionali, nellesempio presentato si ottiene /4, un numero irrazionale.

129 129 Definizione generale Questo esempio permette di dedurre che in generale la probabilità di un evento è un numero reale compreso fra zero e uno.

130 130 esercizi 1) Unurna contiene delle palline rosse, 24 palline bianche e 15 verdi. Trovare il n° delle palline rosse sapendo che la probabilità di estrarre una pallina bianca o rossa è 7/10. 2) Un sacchetto contiene palline che portano ciascuna numeri da 1 a 7. Se ne estraggono successivamente due con reimbussolamento. a) Qual è la probabilità che la somma sia pari? b) Che sia pari il prodotto? 3)Il sacchetto A contiene tombolini con numeri da 5 a 8,il sacchetto B con numeri da 1 a 4. Si estrae un n° da ogni sacchetto. a)Qual è la probabilità di ottenere 10? b)Su quale punteggio conviene scommettere?

131 131 esercizi 1)Lanciando un dado stabilisci qual è la probabilità che esca: a)Un n°dispari b)Un n°divisibile per 3 c)Un n° pari e divisibile per 3 d)Un n° primo o pari e)Un n° divisibile per 5 o pari Lanciando due dadi qual è la probabilità che la somma dei due numeri uscenti sia minore di 4?

132 132 Applicazione della Probabilità alla Genetica

133 133 Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore. Nei casi pi ù comuni ciascun gene può presentarsi in due forme diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a. Per esempio prendiamo il carattere colore degli occhi e indichiamo con A il gene responsabile del colore scuro e con a il gene responsabile del colore chiaro.

134 134 Ciascun genitore trasmette un gene con probabilit à 1/2. Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo a non manifesti il proprio carattere in presenza di A, coloro che possiedono i due geni AA e Aa hanno occhi scuri, quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.

135 135 Tabelle aaAaa aaAaa aA aa a A aA Aa Completa le due tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli a a AA aa AA

136 136 padre A a ½ 1/2 a a madre Aa Aa aa aa Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la trasmissione colore degli occhi può essere rappresentata anche così. Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa, la probabilit à per ciascun evento elementare di 1/2 1/2=1/4 la probabilit à 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa) la probabilit à 1/2 occhi chiari(aa ). Grafo ad albero

137 137 Domanda Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente ( genitori : Aa, Aa), in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri e 1 con occhi chiari? Lultima domanda della scheda ha lobbiettivo di far riflettere ancora sul fatto, che il verificarsi di ciascun evento è incerto, ma è possibile misurarne lincertezza.

138 138 Scheda 22 In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è dell80% e del gene a, che è del 20%. Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse, che possono essere rappresentate con il seguente grafo: 0.8 0,2 padre A a A a A a AA Aa Aa aa Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione? 0,8 0,2 0,8 0,2 madre

139 139 Percentuali dei tre diversi tipi. gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa probabilità di ciascuno degli eventi elementari: P(AA)= P(A) P(A)=0,8 0,8=0,64=64% P(Aa) =P(aA)= 0,2 0,8=0,16 =16% P(aa)= 0,2 0,2=0,04=4%.

140 140 Rappresentazione in tabella La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche nel seguente modo: 0,8 0,2 AaAA aaAa 0,2 0,8 0,8 0,2 0,2 0,8 Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è suddiviso il quadrato?

141 141 Riflessioni Le frequenze dei geni si possono interpretare come misure di superfici di opportune regioni di un quadrato di lato 0,8+0,2 suddiviso in cinque parti: ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare possibile: q la frequenza del gene A p quella del gene a AA=q 2 Aa=2pq aa=p 2 (q+p) 2 = q 2 + 2pq + p 2 =1 (q+p) 2 =1

142 142 Lassenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene recessivo a, la cui frequenza, nella nostra popolazione, è circa del 40%. Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh, gli altri Rh +. 1) Calcola la percentuale degli individui Rh + e Rh aiutandoti con un grafo. 2) Supponiamo che in una particolare popolazione la percentuale degli individui Rh (aa) sia del 9%. Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il seguente disegno: 0,09 aa 3) Aiutandoti con il quadrato calcola la frequenza del gene A e le percentuali degli individui AA e Aa scheda23

143 143 Riflessioni la frequenza degli individui (aa) è del 9%. quale è la frequenza del gene a (recessivo) ? Se 0,09 è area di un quadrato, 0,09 è la misura del suo lato e corrisponde alla frequenza del gene a. la frequenza di A=1 a

144 144 Esercizi 1) Alcuni individui non sentono lamaro di una sostanza chimica che si chiama feniltiocarbammide. Questo è dovuto ad un gene recessivo la cui frequenza, nelle nostra popolazione, è 0,6. Calcola la percentuale di individui che hanno questo carattere e di individui che ne sono portatori. 2) Supponiamo che un carattere sia dovuto a un gene dominante A. Sapendo che in una popolazione gli individui che non hanno questa caratteristica sono il 49%, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a, del gene A e degli individui Aa, AA.

145 145 Scheda 24 Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh + sono l84% della nostra popolazione e gli individui AA sono il 36%. 1) Tra gli Rh + qual è la percentuale degli individui AA? Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a caso un individuo, tra gli Rh + della nostra popolazione, questi risulti AA. 2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un individuo tra gli Rh + questo risulti Aa.

146 146 Padre Rh + madre Rh Consideriamo il caso che da un padre Rh + e da una madre Rh nasca un figlio. Dato che il gene trasmesso dalla madre, la quale è Rh, è sicuramente a, la situazione del figlio è determinata solo dal gene del padre, ed è diversa a seconda che il padre sia AA oppure Aa. Il padre è AA il padre è Aa trasmette A trasmette A trasmette a Calcola la probabilità che il figlio sia Rh + completando il grafo

147 147 Esercizi a 3) Lalbinismo è dovuto a un gene recessivo a. Sapendo che in una popolazione gli individui albini sono 1 su , calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a e degli individui portatori di albinismo. 4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da una madre non albina nasca un figlio. Utilizzando i risultati dellesercizio 3 e procedendo come suggerito dalla scheda precedente, calcola la probabilità che il figlio sia albino.

148 148 Esercizi 5 ) In una popolazione la frequenza del gene recessivo a è del 30%. Calcola: a) la frequenza del gene dominante A b) la percentuale degli omozigoti AA c) la percentuale degli omozigoti aa d) la percentuale degli eterozigoti Aa

149 149 6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in una determinata popolazione, la frequenza del 30%. i)Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli individui sani e quella degli individui malati. ii) Supponiamo che in un altra popolazione la percentuale degli individui malati, e quindi omozigoti per il carattere aa, sia del 4%. Calcola : a)la frequenza del gene recessivo a b)la frequenza del gene dominante A c)la percentuale degli omozigoti AA d)la percentuale degli eterozigoti.

150 150 7)Lanemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore sano). a) Nella popolazione di un paese, costituita da persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone ammalate? b) Da due genitori di tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio ammalato? Perché? c) Con quale probabilità può nascere un portatore sano? d) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A;a), e calcola la probabilità che nasca: I) Un figlio ammalato II) Un figlio portatore sano III) Un figlio sano

151 151 8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì se è più probabile che i due figli siano entrambi femmine, oppure che siano di sessi diversi. 9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di avere un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una figlia femmina, e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60 per la femmina. Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con due figli li abbia di sesso diverso. a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio, e disegna un grafico riportando sullasse x alcuni valori di questa probabilità, e sullasse y i corrispondenti valori della probabilità di avere due figli di sesso diverso.

152 152 Commento b ) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il massimo valore di y, e rifletti sul valore trovato. E questa la situazione che si verifica in natura? c) Osserva, che per un dato valore di x, il corrispondente valore di y è uguale al doppio dellarea di un rettangolo di lati x e (1-x). In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai dire quale, fra i rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area massima?

153 153 Legge dei grandi numeri

154 154 Prove ripetute Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte, ad esempio, volte, quante volte ci aspettiamo di avere testa? Lintuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa dellevento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità, cioè un mezzo. E corretto attendersi questo? E corretto attendersi che la frequenza, dopo un numero elevato di prove sia esattamente un mezzo? Cosa significa dire che la frequenza si avvicina ad un mezzo?

155 155 Scheda 26 Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di scommettere su uno dei due seguenti eventi: A: Escono 50 Teste e 50 Croci B: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci. Su quale scommetteresti? Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue: arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del calcolo della probabilità, noto col nome legge dei grandi numeri.

156 156 Scheda 27 1)Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta e calcola la probabilità di ottenere: a) nessuna Testa b) una volta Testa c) due volte Testa 2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le probabilità calcolate in precedenza: Nessuna 1 Testa 2 Testa Testa

157 157 Scheda 28 1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico relativo. 2) Calcola la probabilità che esca a) TTT b) TCT c) 2 volte T 3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in forma decimale 0 T 1 T 2 T 3 T

158 158 Scheda 29 In quattro lanci... 1)Traccia il grafo relativo e otterrai nel completamento delle caselle: 0,06250,250,3750,250, T 1 T 2 T 3 T 4 T 2) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti percorsi del grafo hai considerato? 3) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse caselle aumentano dagli estremi verso il centro?

159 159 0,5 0T1T 0,250,50,25 0T1T2T 0,1250,375 0,125 0T1T2T3T 0,0625 0,250,3750,25 0,0625 0T1T2T3T4T 1) Completa la tabella. Se si continua per n=5,6 …. 12 si ottiene la tabella riportata a pag.88 (L insegnamento della matematica e delle scienze integrate )

160 160 Una volta completata la tabella consideriamo le caselle attraversate dall asse di simmetria per le quali la frequenza di Testa è un mezzo cio è : Numero di teste = 1 Numero di lanci 2 Inoltre la tabella è suddivisa in 3 parti separate da un bordo in neretto: In quella a sinistra il rapporto tra il n° di uscite di testa e il n° dei lanci effettuati è minore di 1/3, in quella centrale gli eventi in cui tale frequenza è compresa tra 1/3 e 2/3 in quella di destra quelli in cui è maggiore di 2/3 1/3 n°testa/n°lanci 2/3

161 161 N=10,50 N=20,250,50,25 N=30,1250,750,125 N=40,31250,3750,3125 N=60,109380,781260,10938 N=80,144540,710940,14454 N=90,089840,82030,08984 N=100,171890,658250,17189 N=120,072990,854010,07299 Sommando, riga per riga, le probabilit à scritte nelle caselle di ognuna delle tre zone si ottiene la tabella P(fr(T) 2/3 Osserva,che al crescere di n, la probabilit à che la frequenza di T sia compresa tra 1/3 e 2/3 aumenta, mentre la probabilit à che la frequenza di T sia minore di 1/3 o maggiore di 2/3, diminuisce.

162 162 Grafico P(1/3 fr(T) 2/3)

163 163 n=50 0, da 0 a 16 T 0, da 17 a 33 T 0, da 34 a 50 T n=100 0, da 0 a 33 T 0, da 34 a 66 T 0, da 67 a 100 T P(fr(T) 2/3 1)Quando n diventa molto grande casa ti aspetti della probabilit à che la frequenza dell uscita testa sia compresa tra 1/3 e 2/3? 2)E della probabilit à che escano un ugual numero di Testa e di Croce?

164 164 Lanciando molte volte una moneta Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza delluscita di testa è abbastanza vicina alla probabilità un mezzo, perciò possiamo (per il caso particolare del lancio di una moneta),formulare la cosiddetta legge debole dei grandi numeri : Lanciando molte volte una moneta diventa sempre più grande e si avvicina a 1 la probabilità che la frequenza delluscita di Testa differisca dalla sua probabilità ½ meno di un qualunque numero positivo scelto da noi (nei nostri esempi 1/6,1/ )

165 165 Commento Osservando le caselle attraversate dallasse di simmetria della tabella dobbiamo notare che la probabilità che la frequenza delluscita di Testa sia esattamente ½ diventa sempre più piccola, anzi, per n molto grande si avvicina a zero Se lanci volte una moneta e devi scommettere su uno dei seguenti risultati, quale sceglieresti? a) T e C b) 4825 T e 5175 C c) un numero di T compreso tra e d) un numero di T compreso tra e 5.750

166 166 Scheda 38 Abbiamo enunciato la legge dei grandi numeri a proposito delluscita di Testa nel lancio ripetuto di una moneta. La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di prove ripetute. Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge dei grandi numeri ci dice che in un gran numero di lanci sarà molto probabile che la frequenza delluscita di un numero prefissato (ad esempio il 2) sia vicina a 1/6. Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco probabile che la frequenza delluscita del 2 sia esattamente 1/6.

167 167 Esercizi 1)Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera. Supponi di estrarre volte una pallina (rimettendola ogni volta nellurna): Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile? a)La pallina nera esce volte b)La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 950 e c)La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 800 e )Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000, o anche di più) che cosa puoi dire della frequenza delluscita del numero 2?


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