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Algebra di Boole ?. è Insieme è Prodotto cartesiano è Relazione è Funzione è Operatore Binario.

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Presentazione sul tema: "Algebra di Boole ?. è Insieme è Prodotto cartesiano è Relazione è Funzione è Operatore Binario."— Transcript della presentazione:

1 Algebra di Boole ?

2 è Insieme è Prodotto cartesiano è Relazione è Funzione è Operatore Binario

3 Un insieme di coppie A X B = { (A,B) : a  A, b  B} Prodotto Cartesiano

4 Siano A,B due insiemi e G=A x B La coppia R=(AxB,G) è detta RELAZIONE (o corrispondenza) tra A e B avente per grafico G Se x Є A e y Є B sono tali che (x,y) Є G x R y Relazione

5 Relazione Binaria è Una relazione tra A e A si dice RELAZIONE BINARIA e si dice:  riflessiva xRx  x Є A  antiriflessiva xRx  x Є A  simmetrica xRy => yRx x,y Є A  antisimmetrica xRy => yRx x,y Є A  asimmetrica xRy, yRx => x=y x,y Є A  transitiva xRy, yRz => xRz x,y,z Є A

6 è Relazione di equivalenza è Relazione d’ordine Relazione x y x  y

7 è Riflessiva(a,a)  R  a  A è Simmetrica(a,b)  R  (b,a)  R  a,b  A è Transitiva (a,b)  R, (b,c)  R  (a,c)  R  a,b,c  A Relazione di Equivalenza Valgono le seguenti proprietà

8 è Un insieme ORDINATO è una coppia (S,R) dove S è un insieme ed R una Relazione binaria in S riflessiva asimmetrica e transitiva asimmetrica xRy, yRx => x=y x,y Є A Riflessiva (a,a)  R  a  A Transitiva (a,b)  R, (b,c)  R  (a,c)  R  a,b,c  A Relazione d’Ordine

9 Non vale la proprietà simmetrica ma quella è asimmetrica(a,b)  R,(b,a)  R => a=b  a,b  A è Riflessiva (a,a)  R  a  A è Transitiva (a,b)  R, (b,c)  R  (a,c)  R  a,b,c  A

10 Funzioni è Una corrispondenza f=(S x T,G) tra S e T si dice Funzione di S in T se  x  S Esiste ed è unico un Y  T tale che x f y

11 Funzioni è Una funzione è una relazione è Una relazione non è sempre una funzione

12 Operatori Binari è Particolari funzioni…f:AxB  C Es. f(x,y) = x+y x,y  Rè un operatore binario f:RxR  R è Possiedono le proprietà:  Associativa  Commutativa

13 Operatori Binari è Es.detto f:(a,b) = ab è Se Possiede le proprietà :  (ab)c = a(bc)Associativa  (ab) = (ba) Commutativa è è un operatore binario

14 Struttura Algebrica è A è dotato di struttura algebrica se su esso sono definiti uno o più operatori binari Algebra è È una particolare struttura algebrica è Si ha un’algebra quando su A sono definiti 2 operatori  OR (+)  AND(. )

15 Reticolo è È un’algebra dove gli operatori binari godono di 8 proprietà:  P1) x+y=y+xCommutativa x. y = y. x  P2) x+(y+z)=(x+y)+zAssociativa x. (x. z)=(x. y). z  P3) x+x=xIdempotenza x. x=x  P4) x+(x. y)=xAssorbimento x. (x + y)=x

16 Reticolo è L’insieme A di sostegno è ordinatox  y  x  x Riflessiva  x  y e y  x  x = yAsimmetrica  x  y e y  z  x  zTransitiva è In un reticolo la relazione binaria x + y = y è la relazione d’ordine x  y

17 è Commutativa  x+x=x+x  x+y=y+x è Associativa  x+(y+z)=x+z=z  (x+y)+z=x+z=z è Idempotenza  x+x=x è Assorbimento  x+(x. z)=x+x=x è un reticolo oltre che algebra

18 Reticolo è È riflessiva per la P3  x + x = x è È asimmetrica per la P1  x + y = y (x  y) y + x = x (y  x) x+y=x  x = y è È transitiva per la P3  x + y = y (x  y) y + z = z (y  z)  x + z = z (x  z) è Inoltre per la P4  x  y x. y = x

19 Reticolo - Esempio è Sia A={x,y,z} si definiscono gli operatori OR e AND OR AND

20 Reticolo - Esempio è A={0,1,2,} operatore OR  OR non è operatore binario su A  A non è un’algebra

21 Reticolo - Esempio è Relazione d’ordine sul reticolo  Sia A={0,1,2}  AxA = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} ORAND

22 Reticolo - Esempio Verifichiamo se esiste una relazione d’ordine è Riflessiva   x  A xRx ovvero x+x=x vale è Asimmetrica   x,y  A xRy, yRx => x=y è Transitiva   x,y,z  A xRy, yRz  xRz Dimostrazione: (x+y)+(y+z)=y+z x+y+z=y+z da cui x+(y+z)=z infine x+z=z

23 Relazione d’ordine sul reticolo x+y=y x  y è Proprietà  riflessiva  asimmetrica  transitiva x. y=x x  y Dimostrazione: x. (x+y)=x. y da cui x. y=x

24 Reticolo Distribuito è Proprietà distributiva  x+(y. z)=(x+y). (x+z)  x. (x+y)=(x. y)+(x. z) è Altre proprietà del reticolo  minimo x. 0 =0 0  x  massimo x+1=1 x  1  complemento x + x =1 x. x =0

25  Algebra di Boole è Reticolo dotato di max, min e complemento Kinsieme di sostegno +OR. AND 0minimo 1massimo _complemento

26 Algebra di Boole Dualità è Dualità:  + duale di.  0 duale di 1 è Legge di dualità  Ad ogni identità booleana si può associare la sua duale è Precedenze x. +

27 Algebra di Boole è Postulati: 1) x+(y+z)=(x+y)+zx. (y. z)=(x. y). z 2) x+y=y+xx. y=y. x 3) x+x=xx. x=x 4) x. (x+y)=xx+(x. y)=x 5) x. (y+z)=(x. y)+(x. z)x+(y. z)=(x+y). (x+z) 6) x+1=1x. 0=0 7) x+x=1x. x=0

28 Algebra di Boole è Valore booleano (VB)  Uno qualsiasi degli elementi di K è Variabile Booleana  Una variabile che può assumere un VB è Letterale di X  La variabile x o il suo complemento x è Funzione Booleana  y=f(x 1,x 2,...x n ) fi: KxKxK...xK  K

29 Funzioni Fondamentali è AND, OR, NOT  AND(x 1,x 2,...x n )=x 1. x 2....x n  OR(x 1,x 2,...x n )= x 1 + x x n  NOT(x)=x

30 Funzioni Fondamentali è Dato un insieme di funzioni F= {f 1,……f n } una funzione a volte può essere espressa come funzione delle funzioni F y i =g i (x 1,x 2,...x n )y=f(y 1,....y m ) è Ciò non è vero per qualsiasi funzione y e per qualsiasi insieme F è {F} è funzionalmente completo se una funzione Booleana può essere espressa mediante le sole funzioni semplici di {F}

31 Livello di una variabile è Le variabili INDIPENDENTI sono dette di livello 0 è Una variabile y=f(y 1,....y m ) è di livello k se k(y)= max K(y i )+1

32 Funzioni f x1 x2 xn y è Livello di una funzione  f=x+xyz+z  f=f1+f2+f3 f1=x, f2=xyz, f3=z f  livello 2f2  livello 1

33 Funzioni + x x y z f. Livello 0Livello 1Livello 2

34 Esempio è Calcolare il livello di y=bc(ad+b+c)+c(d+a)(b+c)

35 Funzioni f x1 x2 xn y è Più espressioni per una stessa funzione:  y=abcd+bc+bcd+abc  y=ab+bc+db

36 è Negazione  0 = 11 = 0 si dimostra con: 0. 1=0, 0+1=1, a. a=0, a+a=1 è Convoluzione  a=a si dimostra con: a+a=1, a. a=0 è Neutri  a+0=aa. 1=a si dimostra con: a+(a. 0)=a, a. 0=0, a. (a+1)=a, a+1=1 è Assorbimento  a+(a. b)=a+b si dimostra (a+a). (a+b)=1. (a+b) Eguaglianze notevoli

37 è T1) a+b = a. b  Il complemento di una somma è uguale al prodotto dei complementi è T2) a. b = a+b  Il complemento di un prodotto è uguale alla somma dei complementi Teorema di De Morgan

38 Dimostrazione: è Dimostriamo che  (a+b)+(a. b)=1 (a. b). (a + b)=0 {a. a=0; a+a=1} a+b+ab=a+ab+b+ab=a+b+b+a=1+1=1  T1) a+b=a. b  T2) a. b=a+b Teorema di De Morgan

39 Data una funzione di qualsiasi livello, espressa con componenti AND ed OR si ha che il complemento della funzione è ottenuto sostituendo ad ogni variabile il suo complemento e scambiando ogni funzione componente con la sua duale Teorema di Shannon

40 è f1=abcdf1=a+b+c+d  f( x 1,x 2,...x n )=df( x 1,x 2,...x n ) è Generalizzazione del teorema di De Morgan Teorema di Shannon

41 Algebra di Boole è Dimostrare che:  x+y=xy+xy+xy  x+y=xy  x=y  xy=0  y  x  x+y=a e xy=0  dato x,y è unico  x+y=x+z non segue y=z  x.y=x.z non segue y=z Esercizi

42 Principio dell’eliminazione x+y=x+z Non implica necessariamente y=z

43 A,B  T A B T A  B Diagrammi di Venn Algebra degli insiemi

44 è P(T) =2^TEs. T=  0,1  P(T)=  (0),(1),(0,1),Ø   è un’algebra di Boole è ,  godono delle seguenti proprietà  commutative  associative  idempotenti  distributive  assorbimento  minimo e massimo (A  Ø=Ø A  T=T)  complemento(A  A=Ø A  A=T)

45 è Proprietà   (unione) + (somma)   (intersezione). (prodotto)   A (complemento) a (complemento)  Ø (insieme vuoto) 0 (minimo)  T (insieme “totale”) 1 (massimo)

46 è Relazione d’ordine  A  B A  B=B A  B=A B  A è L’algebra di Boole è isomorfa ad un algebra degli insiemi

47 è Proprietà  Commutativa A  B=B  A A  B=B  A  Associativa (A  B)  C= A  (B  C)(A  B)  C=A  (B  C)  Idempotenza A  A=AA  A=A  Distributiva (A  B)  C=(A  C)  (B  C) (A  B)  C=(A  C)  (B  C)  Assorbimento A  (A  B)=AA  (A  B)=A  Complemento A  A=ØA  A=T

48 B T A T A A B B ABAB ABAB A  B = (A  B)Teorema di De Morgan A  B = (A  B)


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