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Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura.

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Presentazione sul tema: "Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura."— Transcript della presentazione:

1 Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

2 Caratteristiche dinamiche2 Modello matematico di un sistema di misura SITEMA DI MISURA IN OUT q i (t)q o (t) q i (t) e q o (t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo). Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di tale sistema è ottenibile come soluzione di ununica equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni componenti il sistema).

3 Caratteristiche dinamiche3 Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e uscite (q i e q o ). Nota la funzione q i (t), è possibile, risolvendo lequazione, ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita q o (t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema, ovvero i coefficienti a i. La soluzione è del tipo - q og integrale generale: descrive levoluzione libera del sistema - q op integrale particolare: descrive levoluzione del sistema dovuta alla presenza di un dato ingresso (evoluzione forzata)

4 Caratteristiche dinamiche4 Integrale generale: Si ottiene dalla soluzione dellequazione algebrica omogenea associata… Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici i dellequazione. 1 - Radici reali distinte Per ogni radice i che assume valore i si considera un termine 2 - Radici reali con molteplicità r Per ogni radice reale i che assume valore i con molteplicità r si considera una serie di termini del tipo:

5 Caratteristiche dinamiche5 3 - Radici complesse coniugate Per ogni radice i che assume valore i ± j i si considera un termine del tipo: che equivale a: 4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r Per ogni radice i che assume valore i ± j i con molteplicità r si considera un termine del tipo:

6 Caratteristiche dinamiche6 Integrale particolare: Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti. Sostituendo tale funzione in q o nellequazione differenziale di partenza si ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti. In particolare, se al secondo membro dellequazione differenziale di partenza, vi è una funzione F(t), - se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, q p (t) è un polinomio di grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione =0 nellomogenea associata. - se F(t) è una funzione armonica del tipo : q p (t) è del tipo se ±ik non è soluz. dellomogenea associata q p (t) è del tipo se ±ik è soluz. di molteplicità r dellomogenea associata

7 Caratteristiche dinamiche7 Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione dellintegrale particolare se sono rispettate due condizioni: - F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le derivate successive sono nulle; (es. polinomi) - F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno) I coefficienti C i che compaiono nellespressione di q o (t) ricavata come somma di integrale generale ed integrale particolare (che provengono dallindividuazione dellintegrale generale) vengono determinati imponendo le condizioni iniziali.

8 Caratteristiche dinamiche8 Funzione di trasferimento Lequazione differenziale di partenza (descrittiva delle proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata in unequazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene sostituito con loperatore D.

9 Caratteristiche dinamiche9 H( ) è la funzione di trasferimento del sistema di misura e dipende dalloperatore D!!! Può essere ottenuta analogamente applicando la trasformata di Laplace allequazione differenziale di partenza: in tal caso loperatore D è sostituito dalla variabile s. I due modi di operare sono del tutto equivalenti. Dalla definizione di H(D) consegue Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se leffetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato). H 1 (D)H 2 (D)H 3 (D) q i (D)q o (D) H(D)= H 1 (D) ·H 2 (D) ·H 3 (D) q i (D)q o (D)

10 Caratteristiche dinamiche10 Funzione di trasferimento armonica: risposta in frequenza In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo sinusoidale. Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, luscita q o (t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa frequenza del segnale in ingresso q i (t). In generale lampiezza delloutput differisce da quella dellinput; inoltre i due segnali hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al variare della frequenza del segnale di ingresso. La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nellindicazione di come lamplificazione e lo sfasamento variano al variare di.

11 Caratteristiche dinamiche11 Esempio qualitativo Frequenza: K: amplificazione in ampiezza : sfasamento

12 Caratteristiche dinamiche12 La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza considerata, attraverso lapplicazione del metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dellintegrale particolare dellequazione differenziale caratteristica del sistema. Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la determinazione della funzione di trasferimento armonica (o sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine complesso i. i è lunità immaginaria è la frequenza espressa in rad/s

13 Caratteristiche dinamiche13 La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale q o è in anticipo sul segnale q i. Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali: Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante luso dei fasori, ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata sullimpiego dei numeri complessi.

14 Caratteristiche dinamiche14 Fasori: Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso. Data una funzione sinusoidale del tipo: questa è rappresentata dal fasore: Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari allampiezza della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nellorigine degli assi, e rotanti con velocità angolare a partire da un angolo iniziale formato con lasse dei reali Re pari a. Re Im A t

15 Caratteristiche dinamiche15 Dimostrazione: Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo strumento (o sistema) di misura considerato: essi sono rappresentabili da due fasori: Si può procedere alla sostituzione di q i (t) e q o (t) nellequazione caratteristica del sistema di misura rispettivamente con Q i e Q o. Loperazione di derivazione rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (i ).

16 Caratteristiche dinamiche16 Raccogliendo... da cui si ottiene: espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento armonica. Tale espressione coincide con il rapporto q o /q i (i ), che si può calcolare dallequazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero complesso H(i ) tale che: C.v.d.

17 Caratteristiche dinamiche17 Prontezza Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e quindi non si possa assegnare una misura. La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire unindicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto della misurazione è detta prontezza ( banda passante). Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti.

18 Caratteristiche dinamiche18 Strumento di ordine zero Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione (algebrica!). Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!). Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce fedelmente il segnale in ingresso. (es. potenziometro resistivo)

19 Caratteristiche dinamiche19 Strumento del primo ordine Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine. Dividendo entrambi i membri per a 0... Dove: sensibilità statica costante di tempo

20 Caratteristiche dinamiche20 La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle dimensioni di output e input. Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da: (es. termometro ad espansione di liquido)

21 Caratteristiche dinamiche21 Strumento del primo ordine: risposta al gradino Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla seguente espressione in termini di segnale dingresso in un sistema di misura q i (t): t qiqi q is t0t0 Consideriamo gradini per cui t 0 = 0. Per calcolare la risposta di un sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione differenziale (q i = q is ).

22 Caratteristiche dinamiche22 A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale q o (0) = 0, dovuta al particolare ingresso. Lintegrale generale è dato dallespressione: Lintegrale particolare è dato da: Quindi: C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0: quindi dunque la risposta risulta: e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come: Risposta al gradino di uno strumento del 1° ordine

23 Caratteristiche dinamiche23 Si può definire lerrore di misura (scostamento tra la quantità in uscita e quella effettiva allingresso nellistante t):

24 Caratteristiche dinamiche24 Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura affinché il segnale q o raggiunga, entro una certa banda di tolleranza il valore di regime (q is ). Assunta una tolleranza del 5% tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo. Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo è piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero lerrore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché lo strumento sia pronto dunque deve essere piccolo. (es. termometro ad espansione di liquido)

25 Caratteristiche dinamiche25 Strumento del primo ordine: risposta in frequenza Lespressione della funzione di trasferimento per lo strumento del primo ordine può essere impiegata per ricavare lespressione della risposta in frequenza dello stesso. Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza, dipendente dai parametri del sistema di misura: K e. Modulo e fase sono dati dalle seguenti espressioni.

26 Caratteristiche dinamiche26 La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).

27 Caratteristiche dinamiche27 La fase ha il seguente andamento...

28 Caratteristiche dinamiche28 Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di ingresso ed uscita q i (t) e q o (t), come si ha: Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di ordine zero e dunque si dovrebbe avere:

29 Caratteristiche dinamiche29 Si osserva che tali condizioni si verificano per Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza le condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate! È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono pronti per piccoli. Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente ricavare mediante calcolo lo sfasamento e lamplificazione per correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il seguente esempio…

30 Caratteristiche dinamiche30 Si consideri il caso Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s. Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1 e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di : = 0.02 e = Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene quanto esposto nella tabella sotto riportata.

31 Caratteristiche dinamiche31 Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di = 0.02 non è riconducibile al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso = è molto prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il il segnale in uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato.

32 Caratteristiche dinamiche32 Strumento del primo ordine: risposta allimpulso Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la seguente funzione del tempo: t p A/T 0 T Si definisce funzione impulso di ampiezza A: Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava limpulso unitario (t).

33 Caratteristiche dinamiche33 La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza infinita. Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso di ampiezza A del tipo A (t), si procede ricavando la risposta per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al limite per T 0. Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi. 1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo lequazione differenziale:

34 Caratteristiche dinamiche34 si ricava la seguente risposta: tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui lingresso va a zero. Da t = T in poi il sistema subirà unevoluzione libera a partire dalla condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso lespressione di q o ora ricavata, dunque: 2 - Levoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando lintegrale generale con la condizione iniziale appena determinata. Lintegrale generale assume la seguente espressione: dunque:

35 Caratteristiche dinamiche35 si ricava: dunque: Che, unitamente allespressione ricavata per lintervallo [0,T], costituisce lespressione della risposta allimpulso finito di ampiezza A.

36 Caratteristiche dinamiche36 La risposta allimpulso A (t) si ottiene dal passaggio al limite dellespressione ricavata per T 0. ma Teorema di LHopital Dunque si ricava:

37 Caratteristiche dinamiche37 La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale. Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a (di solito si considera almeno un ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta al segnale reale di durata piccola ma finita. La risposta allimpulso non dipende dalla particolare forma dellimpulso considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nellipotesi che la durata T sia breve). La risposta allimpulso coincide con levoluzione libera del sistema a partire da una condizione perturbata per cui q o = KA/ in t= 0 +.

38 Caratteristiche dinamiche38 Strumento del secondo ordine Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine. Dividendo entrambi i membri per a 0... Si definiscono termini: Frequenza naturale (propria) Fattore di smorzamento Sensibilità statica

39 Caratteristiche dinamiche39 In base alle definizioni date si ricava: (es. dinamometro a molla)

40 Caratteristiche dinamiche40 Strumento del secondo ordine: risposta al gradino Dato un gradino di ampiezza q is, al fine di ricavare la risposta dello strumento del secondo ordine a tale input, si procede alla risoluzione della seguente equazione: con le seguenti condizioni iniziali Lintegrale particolare è q op =Kq is. Lintegrale generale dipende dal valore assunto da : si hanno tre diverse soluzioni: sistema sovrasmorzato ( >1), sistema con smorzamento critico ( =1), sistema sottosmorzato ( <1).

41 Caratteristiche dinamiche41 Osservazioni: Allaumentare di n la risposta dello strumento risulta essere più rapida. Allaumentare di si riduce il comportamento oscillante ma viene ritardato listante di tempo nel quale la risposta interseca la retta orizzontale indicativa del valore finale che essa raggiungerà. Risposta ad un gradino unitario; q o tende a 1 allaumentare di t.

42 Caratteristiche dinamiche42 Per valutare il settling time, scegliendo una tolleranza del 10% si osserva che il valore di ottimo relativamente alla rapidità di risposta dello strumento si ha per = 0.6. Scegliendo il 5% si ottiene che il valore ottimale è = 0.7. Tuttavia nella trattazione è stato considerato un gradino ideale (in zero cè un trasferimento infinito di energia discontinuità) e dunque la risposta prevista per via teorica non è esattamente quella ottenibile nella realtà. Tenendo conto di questo aspetto si osserva che buoni valori di compresso per sono

43 Caratteristiche dinamiche43 Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza Lespressione della funzione di trasferimento per lo strumento del secondo ordine può essere impiegata per ricavare lespressione della risposta in frequenza dello stesso. Si tratta di un numero complesso avente i seguenti modulo e fase:

44 Caratteristiche dinamiche44 La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).

45 Caratteristiche dinamiche45 La fase ha il seguente andamento...

46 Caratteristiche dinamiche46 Affinché lo strumento del secondo ordine sia pronto è necessario che le frequenze del segnale dingresso cadano nella zona / n <<1. In tale zona infatti il fattore di amplificazione è costante e pari ad 1 e la fase tende ad essere nulla. Di conseguenza è necessario che n sia elevata in modo tale che questa zona sia la più dilatata possibile. Anche in queste condizioni tuttavia permangono problemi connessi ai valori assunti dalla fase. In generale è consuetudine scegliere = , in modo tale che la fase vari quasi linearmente con la frequenza. In queste condizioni non si ha una distorsione del segnale in uscita rispetto a quello in ingresso, ma semplicemente un ritardo temporale, che, generalmente, può essere tollerato.

47 Caratteristiche dinamiche47 Esempio: Si consideri un segnale dingresso costituito da due armoniche, avente la seguente espressione: Si consideri uno strumento del secondo ordine con sensibilità statica K=1, e frequenza propria n = 65 Hz = rad/s. Vengono considerati due casi (a e b) per il fattore di smorzamento : a = 2 e b = Attraverso lespressione della risposta in frequenza si possono ricavare i valori di amplificazione e sfasamento introdotti dal sistema nei due casi (a e b) sulle due armoniche del segnale (1 e 2).

48 Caratteristiche dinamiche48 Si osserva che il segnale q o ottenuto come output nel caso a è distorto rispetto al segnale di ingresso. Nel caso b, invece tale segnale sembra essere solo ritardato temporalmente rispetto al segnale in ingresso; ciò è dovuto al fatto che nel caso b è stato scelto b = 0.65, ciò che conduce ad ottenere uno sfasamento proporzionale alla frequenza del segnale in ingresso (proporzionale allordine dellarmonica considerata in ingresso). Tale situazione conduce sempre ad un ritardo temporale di q o rispetto a q i e non alla distorsione del segnale...

49 Caratteristiche dinamiche49 Si può dimostrare che se lo sfasamento introdotto dal sistema è proporzionale allordine dellarmonica del segnale in ingresso, allora luscita q o risulta semplicemente ritardata rispetto allingresso q i … Si consideri un segnale armonico in ingresso; sviluppato in serie di Fourier esso assume lespressione seguente. Si avrà unuscita corrispondente La serie potrebbe essere scritta in termini complessi, in tal caso possiamo calcolare, per il principio di sovrapposizione degli effetti, per ogni armonica Nellipotesi che lo sfasamento dia proporzionale allordine dellarmonica si ha:

50 Caratteristiche dinamiche50 Si può scrivere: Il segnale di uscita può essere scritto come segue: Ovvero, il segnale in uscita è ritardato di un tempo D rispetto allingresso, in quanto su ogni armonica si ottiene tale ritardo. Nota: Esistono alcune eccezioni a quanto detto relativamente ai sistemi del secondo ordine… ad esempio gli accelerometri piezoelettrici. Questi elementi presentano ampie bande passanti pur avendo bassissimi valori per. Ciò dipende dal fatto che in compenso n è molto elevata ( risposta alla rampa terminata e risposta in frequenza: anche con = 0 si ricava un errore di misura nullo). Ritardo!

51 Caratteristiche dinamiche51 In conclusione, uno strumento del secondo ordine è pronto quando: - la sua frequenza naturale è elevata ( n ) - lo sfasamento introdotto è nullo ( n ) o proporzionale allordine delle armoniche del segnale ricevuto in ingresso ( = ). In tali condizioni il sistema di misura riproduce fedelmente il segnale in ingresso a meno di un fattore di amplificazione prossimo alla sensibilità statica K ed eventualmente con un ritardo temporale.

52 Caratteristiche dinamiche52 Elementi di tempo morto È un elemento che introduce un ritardo temporale. A meno di un fattore moltiplicativo pari alla sensibilità statica luscita q o riproduce fedelmente lingresso q i con un ritardo temporale D.

53 Caratteristiche dinamiche53 Strumento generico Uno strumento generico può essere considerato come dato dalla successione di tanti sistemi di misura semplici quali quelli fino ad ora considerati (ordine zero, primo ordine, secondo ordine, tempo morto). La funzione di trasferimento armonica può essere dunque scritta come segue. Tale funzione di trasferimento può essere facilmente tracciata su opportuni diagrammi logaritmici (Diagrammi di Bode).

54 Caratteristiche dinamiche54 Strumento generico: risposta ad un ingresso periodico q i (t)Segnale dingresso Funzione di trasferimento armonica H(i ) Segnale duscitaq o (t) Q i (i ) Q o (i ) Trasformata Fourier Antitrasformata Fourier

55 Caratteristiche dinamiche55 In corrispondenza di ogni armonica, la singola componente spettrale del segnale in uscita è numero complesso tale che: il proprio modulo è dato dal prodotto fra il modulo della corrispondente linea spettrale nel segnale dingresso e il modulo della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata; la propria fase è la somma della fase della corrispondente linea spettrale nel segnale dingresso e la fase della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata. Immagina tratta da: Doebelin, Measurement Systems - application and design, Mc-Graw Hill

56 Caratteristiche dinamiche56 Bibliografia E.O. Doebelin, Measurement Systems - application and design (p ) Consultazione: F. Angrilli, Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi (p )


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