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Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni modulari Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali Equazioni e disequazioni goniometriche.

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Presentazione sul tema: "Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni modulari Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali Equazioni e disequazioni goniometriche."— Transcript della presentazione:

1 Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni modulari Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali Equazioni e disequazioni goniometriche

2 Equazioni irrazionali n √ A(x) = B(x) ↔ A(x) = [B(x)] n (n dispari) A(X) ≥ 0 n √ A(x) = B(x) ↔ B(x) ≥ 0 ( n pari) A(x) = [B(x)] n

3 Risolvi

4 Soluzione x=3

5 Disequazioni irrazionali se n è dispari n √ A(x) < B(x) ↔ A(x) < [B(x)] n n √ A(x) > B(x) ↔ A(x) > [B(x)] n se n è pari ( n = 2) A(x) ≥ 0 √ A(x) 0 A(x) < [B(x)] 2 √ A(x) > B(x) ↔ A(x) ≥ 0 V B(x) ≥ 0 B(x) [B(x)] 2

6 ESEMPI 3 ≤ x < 4

7 Esempi

8 Valore assoluto di una variabile se x≥0 se x<0

9 Risoluzione equazioni modulari Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, o di una espressione con la variabile, si deve eliminare il valore assoluto, tenendo presente il segno dell’espressione in esso contenuta.

10 Esempi Andiamo a studiare l’argomento del modulo X = 1

11 Risolvi

12 Equazioni esponenziali Un’equazione si dice esponenziale quando la variabile compare all’esponente a x = b con a > 0 2 ∙ 5 x – 1 = 0 è esponenziale 2x ∙5 2 – 1 = 0 non è esponenziale

13 Come possono essere a x = b con a > 0 determinata a, b Є R e a ≠ 1 a x = b è indeterminata a = b = 1 impossibile se b ≤ 0, a =1 e b ≠ 1 Si cerca di scrivere a e b come potenze aventi la stessa base per poi poter eguagliare gli esponenti Ad esempio: 25 x = x =5 3 2x=3 x=3/2 Come si risolvono

14 Questo non sempre è possibile come nel caso dell’equazione 6∙3 x -3 2-x =15 In questo caso conviene introdurre una incognita ausiliaria ed applicare le proprietà delle potenze in modo da ottenere

15 Risolvi

16 LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Se a > 1, t > z ↔ a t > a z Se 0 z ↔ a t < a z Ad esempio si ha 32 x > x >2 7 5x>7 x>7/5

17 Risolvi

18

19 LE EQUAZIONI LOGARITMICHE Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo Ad esempio log(x-7) = 1

20 Come si risolvono Risolvere un’equazione del tipo log a A(x) = log a B(x) Equivale a risolvere il seguente sistema A(x)>0 condizione di esistenza B(x)>0 condizione di esistenza A(x)=B(x) uguaglianza argomenti

21 Ad esempio log x + log (x + 3) = log 2 + log (2x + 3) Imponendo le condizioni di esistenza x>0 x+3>0 2x+3>0 Applicando le proprietà dei logaritmi log x(x+3)=log 2(2x+3) ottengo x>0 x+3>0 2x+3>0 x 2 +3x=4x+6 x 1 = - 2 N.A. x 2 = 3 acc.

22 Oppure possiamo aver bisogno di introdurre una incognita ausiliaria come nel caso ( log 3 x ) 2 – 2 log 3 x – 3 = 0 ponendo log 3 x = t ed x>0 Si ottiene t 2 - 2t – 3 = 0 da cui t 1 = -1 e t 2 = 3 Da cui t 1 = -1 x 1 = 1/3 t 2 = 3 x 2 = 27

23 Risolvi

24

25 LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE log a A(x) < log a B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x)>0 condizione di esistenza B(x)>0 condizione di esistenza A(x) 1 A(x)

26 Ad esempio log ( x – 1) < log ( x – 1) < loglog 5 ( x – 1) < 2 che equivale log 5 ( x – 1) < log 5 25 Da cui x – 1 > 0 x – 1 < 25 log ( x – 4 ) > log 5x da cuilog 1/3 ( x – 4 ) > log 1/3 5x da cui x – 4 > 0 x - 4 < 5x 1 < x < 26 x > 4

27 Risolvi

28

29 LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Ad esempio2∙cos(x) = 1 Mentre 2∙cos(π/4) = 1 non è un’equazione goniometrica perché non contiene funzioni goniometriche dell’incognita x

30 LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI determinata se -1 ≤ a ≤ 1 sen x = a impossibile se a 1 sen x = ½ x = π/6 + 2k π e x = π – π/6 + 2k π = 5/6 π + 2k π

31 determinata se -1 ≤ b ≤ 1 cos x = b impossibile se b 1 cos x = - √3 / 2 Se β è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = β + 2kπ v x = - β + 2kπ

32 tg x = c L’equazione è determinata per qualunque valore reale di c tg x = √ 3 / 3 Se γ è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = γ + kπ

33 Particolari equazioni goniometriche elementari Ad esempio risolviamo Che fornisce le soluzioni ed anche

34 sen α = - sen α’ Poiché – senα’ = sen(-α’), si ha senα = sen(-α’) senα = cosα’ Poiché cosα’ = sen(π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = sen (π/2 – α’ ) sen α = - cos α’ Poichè cos α’ = sen (π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = - sen (π/2 – α’ ) = sen (- π/2 + α’ )

35 Ad esempio risolviamo cos α = - cos α’ – cos α’ = cos (π - α’), quindi cos α = cos (π - α’)

36 Ad esempio risolviamo tg α = - tg α’ Poiché - tg α’ = tg(- α’) l’equazione si può scrivere tg α = tg (- α’ )

37 Le equazioni lineari in seno e coseno a sen x + b cos x + c = 0 con a, b, c Є R a ≠ 0 e b ≠ 0 METODO ALGEBRICO Se c = 0, a sen x + b cos x = 0 si divide per cos x : a tg x + b = 0 → tg x = - b / a Se c ≠ 0, a sen x + b cos x + c = 0 Si utilizzano le formule parametriche: 2t 1 - t 2 sen x = cos x = con t = tg x/2 e x ≠ π/2 + k π 1 + t t 2 Si ottiene un’equazione del tipo α t 2 + β t + γ = 0, riconducibile ad elementare

38 Esempio

39 METODO GRAFICO Si risolve il sistema a sen x + b cos x + c = 0 cos 2 x + sen 2 x = 1 Poi si pone cos x = X e sen x = Y si ottiene il sistema algebrico a Y + b X + c = 0 X 2 + Y 2 = 1 √3 sen x + cos x = 2

40 LE EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 a = 0 v c = 0 b sen x cos x + c cos 2 x = 0 se a = 0 a sen 2 x + b sen x cos x = 0 se c = 0 cos x (b sen x + c cos x ) = 0 sen x (a sen x + b cos x ) = 0 a ≠ 0 ^ c ≠ 0 a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 Si divide per cos 2 x ottenendo un’equazione di secondo grado in tg x, equivalente alla data. sen 2 x – ( 1 + √3 ) sen x cos x + √3 cos 2 x = 0

41 Esempio

42 LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE soluzione con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica LE DISEQUAZIONI ELEMENTARI Si risolvono risolvendo un sistema misto formato dalla disequazione in cui si è posto cosx=Y o senx=X e dalla circonferenza goniometrica X 2 +Y 2 =1

43 Risolviamo sen x < 1/2 con 0°

44 LE DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI Si possono risolvere per via algebrica introducendo una incognita ausiliaria Come ad esempio nella disequazione √ 2 sen 2 x - sen x ≥ 0 Ponendo sex = t si ottiene √2 t 2 – t ≥ 0 e diventa una disequazione di secondo grado le cui soluzioni sono t ≤ 0 e t ≥ √2 /2 per cui ottengo le due disequazioni elementari sen x ≤ 0 sen x ≥ √2 /2 Di cui devo prendere entrambe le soluzioni

45 Risolvi

46

47

48 Risolviamo l’equazione associata Rappresentiamo graficamente gli intervalli soluzione della disequazione con la circonferenza goniometrica

49 Le soluzioni della disequazione sono:


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