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EQUAZIONI ESPONENZIALI Una equazione in cui lincognita compare allesponente di almeno un numero reale positivo e diverso da 1. Vediamo i principali tipi.

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1 EQUAZIONI ESPONENZIALI Una equazione in cui lincognita compare allesponente di almeno un numero reale positivo e diverso da 1. Vediamo i principali tipi di equazioni esponenziali.

2 a x = b b R Se b 0 impossibile Se b > 0 1 sola soluzione x = log a b b x

3 ESEMPI 3 x = 8 x = log x = 5 x = log 2 5

4 ALTRI CASI a f(x) =a g(x) ha come soluzione f(x)=g(x) Esempi: 2 x = 4 2 x = 2 2 x = 2

5 ESEMPI 4 x = x = 2 5 x = 5/2 5 x = x = 4/100 5 x = 1/25 5 x = 5 -2 x = -2

6 f(a x )=0 si pone a x = t si risolve f(t) = 0 supponiamo che le soluzioni, se esistono, siano t 1, …, t n si risolvono le equazioni: a x = t 1, …, a x = t n

7 ESEMPI 9 x = 2·3 x 3 2x = 2 ·3 x 3 x = t t 2 = 2 ·t t(t - 2) = 0 t = 0, t = 2 3 x = 0 mai 3 x = 2 x = log 3 2

8 E quindi, eguagliando gli esponenti: f(x)=g(x)log a (b) ci si riconduce al caso precedente scrivendo: a f(x) = b g(x)

9 ESEMPI 2x = log 5 2 (3x + 1) 2x = (3x + 1)log 5 2 x (2 - 3 log 5 2) = log 5 2 x = log 5 2 / (2 - 3 log 5 2) 5 2x = 2 3x+1

10 EQUAZIONI LOGARITMICHE Una equazione in cui lincognita compare nellargomento di un logaritmo. Vediamo i principali tipi di equazioni logaritmiche.

11 log a x = b x > 0 b R x = a b Esempio: log 3 x = 2 x > 0 x = 3 2 = 9 accettabile

12 log a f(x) = b pongo f(x) > 0 f(x) = a b Esempio: log 2 (4x) = 2 pongo 4x > 0 x > 0 4x = 2 2 x = 1 accettabile

13 log a f(x) = log a g(x) pongo f(x), g(x) > 0 ha come soluzione f(x)=g(x) log 3 x = log 3 (2x-2) pongo x > 0 2x-2 > 0 x >1 x = 2x - 2 x = 2 accettabile

14 f( log a (x) )=0 si pone log a (x) = t si risolve f(t) = 0 supponiamo che le soluzioni, se esistono, siano t 1, …, t n si risolvono le equazioni: log a (x) = t 1, …, log a (x) = t n

15 ESEMPI ln 2 (x) – 2 ln(x) - 3 = 0 x > 0 pongo ln(x) = t t 2 – 2t – 3 = 0 t 1 = 3 t 2 = - 1 ln(x) = 3 x = e 3 accettabile ln(x) = - 1 x = e -1 accettabile


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