La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011 FENOMENI OSCILLATORI.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011 FENOMENI OSCILLATORI."— Transcript della presentazione:

1 Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s FENOMENI OSCILLATORI

2 Fenomeni oscillatori Introduzione I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV. La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione matematica che descrive le loro oscillazioni.

3 Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice. Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico semplice, : Ovvero: ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s]. la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell’ oscillatore armonico semplice in funzione del tempo.

4 Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è: Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza A e la costante di fase dell’oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t 0 dove:

5 Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice A T La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):

6 La posizione del corpo è: Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità: Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo: A ωAωA ω2Aω2A

7 Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia meccanica totale Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche si conserva, cioè resta costante durante il moto. L’energia potenziale U è in ogni istante: L’energia cinetica K è invece in ogni istante:

8 L’ energia meccanica totale è quindi : Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Essa è costante e ha il valore di

9 Oscillazioni elettriche Circuito LC L’equivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla, in assenza di attrito, è il circuito LC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi in cui

10 Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è: Oscillazioni elettriche Circuito LC è la carica iniziale sul condensatore ossia l’ ampiezza del moto oscillatorio; è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. dove:

11 Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

12 L’ energia elettromagnetica totale è: Oscillazioni elettriche Considerazioni Energetiche essa è costante e ha il valore di

13 Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Introduciamo la forza di attrito viscoso : che è proporzionale alla velocità tramite il coefficiente di attrito viscoso Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

14 La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

15 Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore. Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato reale Smorzamento debole Parametro relativo alla forza elastica Parametro relativo alla forza di attrito

16 La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato

17 Oscillazioni elettriche Circuito RLC L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

18 La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

19 Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

20 Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici del circuito. Oscillazioni elettriche Circuito RLC con reale, cioè : Smorzamento debole Parametro relativo alla conservazione della carica Parametro relativo alla dissipazione della carica

21 La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Oscillazioni elettriche Circuito RLC

22 Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Applicando la seconda legge di Netwon F = ma : applichiamo cioè all’ oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna

23 La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

24 La soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:

25 Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna Parametro dominante “ ” coefficiente di smorzamento

26 Oscillazioni meccaniche Risonanza Grafichiamo in funzione di : Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo in condizioni di risonanza :

27 Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC con generatore di f.e.m.: Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

28 La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

29 Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

30 Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:

31 Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi : Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione nell’ equazione del circuito in corrente: L’uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali i corrispondenti coefficienti di e al primo e al secondo membro.

32 Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m Imponendo le due identità si ottengono le seguenti relazioni:

33 Oscillazioni elettriche Risonanza La condizione più interessante è quella di risonanza : : In condizioni di risonanza quindi il circuito si comporta come puramente resistivo poiché la corrente e la f.e.m. sono in fase

34 Oscillazioni elettriche Risonanza Riportiamo in seguito l’andamento della e in funzione della per diversi valori di resistenza: Quindi la assume il valore massimo per

35 Oscillazioni elettriche Risonanza Risonanza : Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei sintonizzatori di onde elettromagnetiche. Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle pulsazioni che l’ambiente circostante può imprimere al sistema.

36 CIRCUITI ELETTRICI IN CORRENTE ALTERNATA Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s

37 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi di circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici combinazioni in serie e in parallelo. Resistore R Applicando ai capi di un resistore una f.e.m. esso risulta essere attraversato dalla corrente Ai capi del resistore compare la tensione in fase con la corrente: tra i valori massimi sussiste la relazione:

38 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Induttore L Per l’ induttore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in anticipo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine ωL si chiama reattanza dell’induttore.

39 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Condensatore C Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in ritardo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine si chiama reattanza del condensatore.

40 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RL Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha: Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. La somma V R + V L,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V 0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da:

41 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RC Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha: Tale tensione è in ritardo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. La somma V R + V C,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V 0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da:

42 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie LC In questo caso abbiamo solo i vettori V L e V C, paralleli e discordi, entrambi ortogonali al vettore i: Se, V L e V C sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero.

43 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC In questo caso si ha: quindi :

44 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL è preponderante rispetto a (comportamento resistivo).

45 Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Impedenza serie Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una corrente alternata la tensione ai capi della serie è: Il valore massimo V 0 è legato al valore massimo i 0 della corrente da : dove Z 0 è detta impedenza della serie.

46 Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Per l’analisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza alternata. La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l’ effetto del circuito. Quando gli elementi sono in serie l’impedenza totale è la somma delle singole impedenze, quando sono in parallelo l’inverso dell’impedenza totale è la somma degli inversi delle singole impedenze.

47 Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata L’impedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Z r, e una parte immaginaria Z i che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X :


Scaricare ppt "Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011 FENOMENI OSCILLATORI."

Presentazioni simili


Annunci Google