La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima."— Transcript della presentazione:

1 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima modifica 2210/2012) Metodi numerici per la soluzione dei problemi vincolati al contorno I problemi vincolati al contorno possono essere risolti analiticamente ottenendo soluzioni esatte, quando la frontiera del dominio in esame e la distribuzione delle sorgenti sono semplici. Nei casi in cui la frontiera del dominio e la distribuzione delle sorgenti è complessa, tali problemi possono essere risolti in modo approssimato mediante metodi numerici.

2 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f2 Le principali tecniche impiegate per questo scopo sono: il metodo delle differenze finite e il metodo degli elementi finiti. In entrambi i metodi il dominio è suddiviso (discrettizzato) in sottodomini di forma semplice allequazione differenziale alle derivate parziali ( es.: equazione di Laplace) si sostituisce -un sistema di equazioni algebriche lineari (se il materiale è lineare *** ) o -un sistema di equazioni algebriche non lineari (materiale non lineare), che legano i valori che la funzione incognita assume nei nodi dei sottodomini considerati. *** Esempio: In elettrostatica il materiale è lineare se il rapporto tra lintensità della polarizzazione o vettore spostamento e quella del campo elettrico applicato è indipendente dallampiezza del campo elettrico, ossia:

3 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f3 Il probema integro-differenziale in esame è dunque ricondotto ad un problema algebrico. Le relazioni algebriche così definite, forniscono una rappresentazione tanto più accurata della funzione incognita quanto più spinta è la discretizzazione fatta, cioè quanto maggiore è il numero dei nodi. Inoltre la precisione dei risultati dipende anche dal tipo, dalla forma e dallordine dellelemento usato. Lo sviluppo dei metodi numerici è stato, ed è favorito dalla crescita rapidissima della potenzialità di calcolo dei computer, largamente diffusi. Sono di seguito esposte i principi su cui sono basati i 2 metodi citati e le linee guida fondamentali per lutilizzo, con riferimento alla soluzione di problemi in 2D.

4 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f4 Metodo alle differenze finite Si consideri nella regione piana, limitata dalla curva la funzione φ che in soddisfa allequazione di Laplace: e che su assume valori assegnati. In tale regione è tracciato un reticolo a maglie quadrate di lato h piccolo rispetto alle dimensioni della regione stessa: A B o y x

5 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f5 Nel reticolo si possono individuare: nodi interni, equidistanti dai nodi adiacenti (nodo A, centro di una stella simmetrica) e nodi esterni (nodo B centro stella dissimmetrica) h h h h h h h h b)a) A B A B

6 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f6 Il valore di una funzione di campo generica in ciascuno dei nodi 1, 2, 3, e 4 (vertici di una stella di centro O) può essere espresso in funzione del suo andamento nel nodo O, in base allo sviluppo della funzione (x,y) in serie di Taylor nellintorno del punto O stesso. dove le derivate sono calcolate nel punto O di coordinate x 0 e y 0.

7 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f7 Lo sviluppo della relazione precedente fornisce per la funzione nei punti 1 e 3 della figura b) le seguenti espressioni***: *** per i punti 1 e 2 compaiono solo i termini in x e per i punti 2 e 4 compaiono solo i termini in y 3 b) h h h h B

8 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f8 Moltiplicando lultima relazione per e sommandola a quella immediatamente precedente si ha in funzione di x: Una analoga relazione si ottiene per i punti 2 e 4 in funzione di y:

9 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f9 Se si trascurano i termini di ordine superiore, si ottiene la seguente espressione approssimata per il laplaciano della funzione, calcolata nel punto 0: Scegliendo il valore di h opportunamente piccolo, lerrore di troncamento, che si commette assumendo questultima relazione può essere mantenuto entro limiti accettabili.

10 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f10 Il metodo delle differenze finite consiste nel sostituire in ciascun nodo del reticolo, allespressione differenziale del laplaciano, lespressione approssimata che lega linearmente il laplaciano in un punto 0 e i valori di nei nodi adiacenti del reticolo che si è impostato. In tal modo lequazione di Laplace alle derivate parziali viene sostituita da un sistema di equazioni algebriche lineari dette equazioni alle differenze finite, una per ogni nodo del tipo: dove ij indica il valore di nel nodo posto allincrocio della riga i-esima e della colonna j-esima del reticolo per i nodi che sono centri di stelle.

11 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f11 In particolare per i nodi centri di stelle simmetriche risulta = = h e lequazione si semplifica ulteriormante, riducendosi a: Occorre introdurre nellequazioni le condizioni al contorno del problema in esame. Nel caso del problema di Dirichlet, risultano assegnati i valori di in uno o più vertici di ciascuna stella di confine.

12 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f12 Il sistema di equazioni algebriche che consente la determinazione delle negli n nodi del reticolo assume la forma: e con notazione matriciale: dove [B] è il vettore colonna dei termini noti. In ciascuna delle equazioni i termini noti diversi da zero sono quelli che dipendono dai valori assegnati di sul contorno.

13 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f13 Per il problema di Neumann e per il problema misto lequazione precedente non può essere impiegata per le stelle che hanno vertici sulla parte del contorno in cui è assegnato il valore di. La soluzione del problema diventa complicata, tranne nel caso in cui il contorno sul quale è specificato il valore di sia rettilineo. Si dimostra che il sistema risolvente anche in questo caso è dello stesso tipo.

14 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f14 Metodo degli elementi finiti (ultima modifica 21/10/2011) Il metodo degli elementi finiti (FEM), come il metodo alle differenze finite, è una tecnica numerica finalizzata a cercare soluzioni approssimate di problemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali riducendo queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche. Con questa metodologia è possibile risolvere problemi i cui modelli analitici descritti con un sistema di equazioni alle derivate non presentano una soluzione.

15 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f15 Metodo degli elementi finiti Il grande vantaggio di questa tecnica computazionale consiste nel fatto che l'implementazione in un codice di algoritmi iterativi, relativamente semplici, consente di: disporre di soluzioni, praticamente "esatte, ossia con una approssimazione accettabile, di problemi molto complessi, altrimenti non ottenibili per altra via, con tempi di calcolo sensibilmente ridotti.

16 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f16 Metodo degli elementi finiti Il Metodo degli Elementi Finiti è dunque una tecnica di Analisi Numerica volta ad ottenere soluzioni approssimate per una molteplicità di problemi di Fisica e di Ingegneria. Benché originariamente sviluppato per studiare il campo tensionale nelle strutture aeronautiche, è stato poi esteso ed applicato al vasto campo della Meccanica dei Continui e a tutti i problemi che presentano analogie formali nei modelli analitici. Per la sua varietà di impiego e duttilità quale strumento di analisi è attualmente utilizzato nelle Università e nelle Industrie in tutto il mondo, grazie anche allo sviluppo dei software commerciali, come Ansys, FEM, Maxwell, COMSOL e altri.

17 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f17 Metodo degli elementi finiti Il metodo degli elementi finiti trova origini nelle necessità di risoluzione di problemi complessi di analisi elastica e strutturale e nel campo dellingegneria civile e aeronautica. I primordi del metodo possono essere fatti risalire agli anni con i lavori di A. R. Collar e W. J. Duncan, che introducono una forma primitiva di elemento strutturale nella risoluzione di un problema di aeroelastica, e agli anni con i lavori di Alexander Hrennikoff e Richerd Courant, dove entrambi, benché in differenti approcci, condividevano l'idea di suddividere il dominio del problema in sottodomini di forma semplice (gli elementi finiti).

18 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f18 Il metodo degli elementi finiti Quindi il metodo degli elementi finiti (FEM) ha origine nel campo strutturale-meccanico a partire dal secondo dopoguerra; solo successivamente si e` avuta lestensione alla soluzione di problemi di campo di tipo termico. Lapplicazione ai problemi di tipo elettromagnetico incomincia, invece, a partire dagli anni 70 e solo per le geometrie bidimensionali. Nel corso degli anni 80, con laumento della potenza di calcolo e della memoria dei calcolatori elettronici, si sono implementate anche formulazioni tridimensionali in termini di potenziale scalare elettrico e potenziale vettore magnetico.

19 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f19 Il metodo degli elementi finiti Oggigiorno, considerata la complessità delle forme dei sistemi elettromagnetici, il metodo degli elementi finiti è diventato uno strumento di calcolo indispensabile per la progettazione di dispositivi elettrici e magnetici in diverse aree, come: Problemi con guide donda Macchine elettriche Dispositivi con semiconduttori Microstrips Assorbimento di radiazioni elettromagnetiche nei materiali e nei corpi biologici. Plasma sottoposto a campi elettromagnetici

20 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f20 Il metodo degli elementi finiti Il Metodo agli Elementi Finiti fornisce una soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali di Laplace o, equazioni differenziali alle derivate parziali di Poisson:

21 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f21 Metodo degli elementi finiti Uno dei concetti base su cui si fonda il metodo di analisi strutturale agli elementi finiti è quello della discretizzazione del dominio continuo di partenza in un dominio discreto (mesh) mediante l'uso di primitive (elementi finiti) di semplice forma: triangoli, rettangoli e quadrilateri etc.. per domini 2D, tetraedi, esaedri e etc.. per domini 3D.

22 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f22 Metodo degli elementi finiti Attraverso la discretizzazione è possibile descrivere una struttura con un numero finito di punti. Un modo per discretizzare una struttura è quello di dividerla in un sistema equivalente di strutture più piccole, o unità, o forme elementari, tali che il loro assemblaggio dia luogo alla struttura reale. Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma elementare, la soluzione del problema è espressa dalla combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o funzioni di forma (shape functions).

23 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f23 Metodo degli elementi finiti Da notare che la funzione soluzione viene approssimata, e non necessariamente i valori che essa assume nei nodi del reticolo saranno i valori esatti della funzione. I valori che la funzione assume nei nodi sono quelli che forniranno il minor errore su tutta la soluzione. L'esempio tipico è quello che fa riferimento a funzioni polinomiali, sicché la soluzione complessiva del problema viene approssimata con una funzione polinomiale a tratti. Il numero di coefficienti che identifica la soluzione su ogni elemento è dunque legato al grado del polinomio scelto. Questo, a sua volta, governa l'accuratezza della soluzione numerica trovata.

24 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f24 Metodo degli elementi finiti Il metodo FEM consente di ottenere le equazioni algebriche con i potenziali incogniti, imponendo che: un funzionale sia minimo. Esso si basa sulla possibilità di formulare in forma variazionale il problema della determinazione, in un volume o dominio V ol delimitato da una superficie o contorno superficiale, della funzione continua che soddisfa alle seguenti proprietà: 1) in V ol : div(k grad )= 2 = -, dove k e sono funzioni scalari generalmente continue assegnate in V; 2) in : assegnata su una parte di ; assegnata sulla parte restante * di.

25 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f25 Metodo degli elementi finiti Per esempio nel caso di un campo elettrostatico la relazione definibile nella regione spaziale (volume V ol ) delimitata dalla superficie, in cui è presente il campo, per la quale vale la relazione: div(k grad )= 2 = - è lequazione di Poisson; essendo =V potenziale scalare elettrostatico definita in ρ= χ è la densità di carica volumica definita nel V ol ε= k è la costante dielettrica definita nel V ol

26 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f26 Metodo agli Elementi Finiti o FEM: Il dominio racchiuso da un contorno vincolato, viene suddiviso in aree triangolari (o anche di altra forma più idonea per il perfetto ricoprimento della regione spaziale in esame), che possono avere dimensioni diverse, e non è necessario che le caratteristiche costitutive del materiale (permettività, resistività, permeabilità) siano omogenee per tutti gli elementi. VINCOLO DA RISPETTARE i potenziali in tutti i vertici, nei quali non sia già stato assegnato il loro valore, vengono determinati, con approssimazione, imponendo il vincolo basato sul principio variazionale

27 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f27 Infatti il FEM ( Finite Element Method) si basa su un principio variazionale secondo il quale in un sistema isolato le configurazioni di equilibrio sono quelle e solo quelle per le quali e` minima lenergia immagazzinata, ossia deve essere minima lespressione: Tale punto di minimo della energia immagazzinata viene identificato attraverso lannullamento del differenziale dellenergia potenziale associata a quel campo (principio dei lavori virtuali): dW=0.

28 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f28 In questo modo, e` possibile sostituire il problema della risoluzione di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, con il problema equivalente della determinazione del minimo di un integrale espresso da con una equazione algebrica.

29 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f29 Per soddisfare il principio variazionale, la distribuzione del campo potenziale V in una regione spaziale di volume, deve essere tale da rendere minima lenergia immagazzinata in esso: Tale energia per ciascun elemento della discretizzazione, nella ipotesi di volumetto τ e costituito da un prisma retto triangolare di altezza unitaria (per ricondurre lo studio a 2D), con S larea di una delle basi, essendo, è esprimibile in funzione del potenziale scalare V come:

30 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f30 V(x,y) x y Dominio Contorno Fig. 5 τeτe S

31 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f31 ESEMPIO DI APPLICAZIONE Applicazione e sviluppo del metodo FEM facendo le seguenti ipotesi: –geometria piana: 2-D, –mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, –elementi triangolari, –equazione di Poisson del campo elettrico (anche con gli altri campi ci si riconduce, comunque, a formulazioni simili). Con le ipotesi fatte la equazione di Poisson può essere scritta come:

32 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f32 Lidea che sta alla base dellapprossimazione usata nel metodo è quella di approssimare landamento della funzione incognita con quello di alcune funzioni particolari ad andamento noto generalmente polinomiali, ma anche funzioni trigonometriche ed esponenziali. Vengono presi in considerazione un numero di punti (nodi), interni al dominio di integrazione, nei quali i valori della funzione f approssimata risulteranno identici a quelli della funzione approssimante polinomiale P(x) (teorema di Weierstrass). Per esempio in un sistema lineare se f è definita nel dominio [a,b], in tale intervallo fissato un > 0, deve essere: |f-P(x)|< dove lapprossimazione varia con lordine del polinomio.

33 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f33 Una volta suddiviso il dominio di integrazione in elementi (che per adattarsi a un ricoprimento completo del dominio, possono essere non regolari), si procede ad approssimare la funzione incognita con delle funzioni ad andamento noto, scegliendo come incognite del problema trattato solo i valori che la funzione assume nei nodi.

34 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f34 Lapprossimazione del metodo dipende: dal grado del polinomio e dal numero dei nodi ossia dalle dimensioni dellintervallo di suddivisione. Il numero dei nodi deve aumentare soprattutto nelle regioni in cui le grandezze del campo presentano forti gradienti. In tali regioni, per applicare il metodo con la precisione richiesta, potrebbe essere necessario infittire i nodi solo in alcune regioni del dominio. Il FEM consente di adattare opportunamente il numero dei nodi per le diverse regioni del dominio.

35 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f35 Lapplicazione del metodo degli elementi finiti prevede i seguenti passi: –1) Discretizzare il dominio di applicazione dellequazione di Poisson in un numero finito di elementi, –2) Definire le equazioni che governano un elemento generico, –3) Assemblare tutti gli elementi del dominio in studio, –4) Risolvere il sistema di equazioni lineari ottenute dallapplicazione del principio variazionale, imponendo la condizione di energia minima immagazzinata, equivalente alla condizione di equilibrio del sistema.

36 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f36 La modellazione della struttura costituisce uno dei passi più importanti dellanalisi in quanto in questa fase vengono formulate diverse ipotesi che permettono la semplificazione del modello reale e consentono la riduzione del gran numero di dati da gestire. I risultati saranno influenzati da queste assunzioni che comunque una volta definite, permetteranno una corretta interpretazioni dei valori numerici.

37 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f37 1)Discretizzazione della regione Consiste nel suddividere il dominio di definizione del problema in un numero finito di elementi, ciascuno avente la stessa forma (nel nostro caso triangolare) e in modo che i lati di due elementi adiacenti siano coincidenti, come in fig. 3. Fig. 3

38 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f38 Ciascun elemento è caratterizzato da un certo numero di punti disposti in posizioni prestabilite, che possono essere: i vertici dellelemento; i centri dei suoi lati; i centroidi della sua superficie e che sono chiamati nodi. Per illustrare il metodo degli elementi finiti considereremo elementi triangolari con i nodi ai vertici (fig. 4). Fig. 4 nodi

39 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f39 Condizioni da verificare e assumere come vincoli Si considera, poi, unapprossimazione del potenziale V e (x,y) allinterno di ciascun elemento e si interelaziona la distribuzione di potenziale nei vari elementi in modo tale che : il potenziale sia continuo attraverso il confine tra elementi adiacenti e tale da soddisfare il principio variazionale.

40 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f40 In questo modo allora e` possibile scrivere la relazione, come: dove: –V(x,y) e` la soluzione vera del problema, che soddisfa sia lequazione di Poisson nel dominio di definizione, sia le condizioni al contorno, –N e e` il numero totale degli elementi e –le funzioni interpolanti V e che in generale per due elementi adiacenti devono assumere gli stessi valori in corrispondenza dei punti comuni.

41 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f41 In particolare, per il generico elemento triangolare si definisce: -una numerazione dei nodi antioraria, -il potenziale in ciascun nodo, -la posizione di ciascun nodo nel piano x,y: Si può notare che è assicurata la continuità della soluzione poichè tutti i nodi sono comuni ad almeno due elementi. 1 (x 1,y 1 ) V e1 3 (x 3,y 3 ) V e3 2 (x 2,y 2 ) V e2

42 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f42 Per approssimare il potenziale allinterno del generico triangolo con una funzione superficiale che in corrispondenza dei punti 1, 2, 3, passi per i potenziali V 1,V 2 e V 3, l approssimazione più semplice e` quella lineare, per la quale: V e (x,y)=a+bx+cy per gli elementi triangolari V e (x,y)=a+bx+cy+dxy per gli elementi quadrangolari

43 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f43 Assumendo che gli elementi siano triangolari, il potenziale allinterno e sul contorno dellelemento e-simo è dato da: V e (x,y)=a+bx+cy che in forma matriciale si può scrivere: dove le costanti a, b e c sono incognite e possono essere determinate in modo univoco in funzione dei potenziali e delle coordinate ai nodi.

44 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f44 Lassunzione di approssimazione lineare equivale ad ipotizzare il campo elettrico costante allinterno di ciascun elemento Ricordando, infatti, la relazione: ed essendo: V ei (x,y)=a i +b i x+c i y, si ottiene una espressione costante per il campo allinterno del generico lelemento iesimo: con versori rispettivamente degli assi x e y.

45 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f45 2)Definire le equazioni che governano un elemento tipico consiste nellesprimere il potenziale allinterno del generico elemento in funzione dei valori che il potenziale assume nei tre nodi del triangolo V e1 V e2 e V e3, con le funzioni forma come: V e (x,y)= N 1 (x,y) V e1 + N 2 (x,y) V e2 + N 3 (x,y) V e3 essendo N 1 (x,y), N 2 (x,y), N 3 (x,y) le funzioni di forma o shape function.

46 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f46 Definizione delle funzioni forma Per i nodi di ciascun elemento triangolare è possibile scrivere il sistema di equazioni: attraverso il quale è possibile determinare i coefficienti a, b e c in modo univoco:

47 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f47 e sostituendo nella espressione del potenziale allinterno del generico elemento, essendo; si ottiene:

48 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f48 Essendo S larea dellelemento, che può essere espressa come: oppure con S > 0, se i nodi sono numerati in senso antiorario.

49 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f Dal confronto delle relazioni precedenti le funzioni di forma risultano : Le funzioni forma corrispondono alle superfici delimitate dai contorni rossi tratteggiati e indicano la dipendenza della distribuzione del potenziale per lelemento e-simo dal valore che potenziali assumono rispettivamente nei tre nodi di tale elemento

50 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f50 La relazione precedente che esprime il potenziale nellelemento e-simo può essere scritta in forma compatta matriciale come: dove e

51 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f51 Poichè per rappresentare correttamente il valore ai nodi, le funzioni di forma godono delle seguenti proprieta`: e

52 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f52 Il potenziale del punto P(x,y) del triangolo risulta: V (x,y)= N 1 (x,y) V 1 + N 2 (x,y) V 2 + N 3 (x,y) V 3 essendo: è ora possibile calcolare le componenti, secondo lasse x e secondo lasse y, del vettore campo elettrico:

53 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f53 Il quadrato del modulo del vettore campo elettrico ha un valore indipendente da x e y: Nota E 2 lenergia immagazzinata nellelemento considerato di volume τ e è ora calcolabile come:

54 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f54 2) Definire le equazioni che governano un elemento tipico Lenergia immagazzinata nellelemento considerato è : dove i parametri S ij sono facilmente calcolabili. I coefficienti S hh e S hk =S kh sono riportati nella seguente tabella e da tali relazioni è possibile verificare che i coefficienti S hk sono esprimibili come combinazione dei coefficienti S hh.

55 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f55 Tabella dei valori S ii Gli elementi della matrice [S] dipendono dalle coordinate dei vertici e dalle permettività i associate ai singoli elementi.

56 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f56 Tabella dei valori S ij

57 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f57 Tabella dei coefficienti S hk in funzione dei coefficienti S hh.

58 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f58 Quindi se per esempio si suppongono assegnati i potenziali V 2 e V 3, il potenziale V 1 deve assumere un valore che renda minima lenergia immagazzinata W e nellelemento e-simo, per cui essendo: deve essere:

59 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f59 3) Assemblare tutti gli elementi del dominio – Per estendere il metodo al caso di m triangoli, esprimiamo in forma matriciale lenergia immagazzinata nellelemento generico e-simo W e data in forma quadratica:

60 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f60 Nella espressione della W e compaiono dei valori di potenziale noti e altri che devono essere determinati. Si suddivida il vettore V in due sottovettori V l dei potenziali noti e V p dei potenziali da calcolare e analogamente la matrice S in sottomatrici S ij tali che:

61 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f61 Per determinare il vettore dei potenziali incogniti si procede secondo quanto riportato di seguito. Si impone la condizione di energia minima imponendo che la derivata prima della espressione della energia, ottenuta differenziando rispetto a ciascuno dei potenziali incogniti del vettore V l, sia uguale a zero, cioè:

62 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f62 Per la simmetria del matrice S rispetto alla diagonale principale, si può scrivere:

63 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f63 Per risolvere il problema della definizione di tutti i potenziali incogniti relativi al dominio, occorre estendere il ragionamento fatto a tutti i triangoli con i quali è stata discretizzata la regione di interesse. Esempio per due triangoli Per comprendere come procedere, consideriamo due elementi triangoli indipendenti e contigui e si valutino separatamente le energie immagazzinate nei due triangoli: I II x y

64 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f64 Le energie immagazzinate singolarmente dai due triangoli sono così esprimibili:

65 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f65 Consideriamo ora i due elementi interconnessi come in figura: in modo che i nodi distinti risultino 4, per cui: Si è così passati da 6 nodi distinti a 4 nodi I II x y

66 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f66 Lenergia complessiva immagazzinata nei due elementi accorpati espressa come somma delle energie immagazzinate nei due singoli elementi in funzione dei potenziali dei 4 nodi:

67 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f67 Sommando le due matrici quadrate si ottiene una relazione analoga a quella ottenuta per un elemento triangolare.

68 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f68 4) Risolvere il sistema di equazioni lineari ottenute applicando il principio variazionale Il procedimento può essere esteso accorpando a due a due gli elementi interconnessi, associati ad n nodi. In tale modo si costruisce una matrice quadrata [S], di ordine n, dove i termini della matrice S ij dipendono dalle modalità di interconnessione e di numerazione dei triangoli. Gli elementi della matrice [S] dipendono dalle coordinate dei vertici e dalle permettività i associate ai singoli elementi. Da cui si comprende come il metodo possa essere applicato anche nel caso di materiali eterogenei, scegliendo opportunamente la dimensione dei triangoli.

69 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f69 Si determina iterativamente lenergia complessiva W:

70 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f70 Caratteristiche del codice agli elementi finiti Per utilizzare correttamente il codice FEM, occorre definire la mesh ottimale con un numero minimo di nodi, che garantisce una risoluzione con la precisione desiderata. A tal fine il codice che implementa il metodo agli elementi finiti deve far riferimento a dei criteri di procedura e di arresto. Per evitare una convergenza lenta, occorre usare un reticolo iniziale non troppo fitto. Nei passi successivi si riduce il passo del reticolo (si infittisce la mesh) iterativamente, solo nelle regioni dove è maggiore il gradiente delle grandezze di campo e lerrore risulta più alto.

71 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f71 Il software deve quindi creare automaticamente una mesh iniziale grossolana, che, per quanto possibile, utilizzi i vertici della geometria come vertici di elementi della mesh. La mesh ottimale dovrà avere un numero sufficientemente elevato di triangoli (o altre forme di elementi) per ottenere una soluzione ottimale della distribuzione del campo, ma tale da non superare le capacità di memoria del computer in uso. Il numero ottimale di triangoli è legato: agli errori massimi consentiti e limitato dalla capacità di memoria del computer.

72 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f72 Il criterio di arresto è basato sulla definizione del residuo massimo ammissibile. Esso specifica lapprossimazione richiesta delle grandezze di campo calcolate, perché siano soddisfate le equazioni di Maxwell con un residuo dato. Procedura Per una mesh data si calcolano le grandezze di campo relative, quindi si sostituiscono i valori delle grandezze ottenute nelle equazioni di Maxwell per il calcolo e la verifica del residuo. Se il residuo non è minore del residuo massimo ammissibile, si possono verificare due casi: il sistema é non lineare; in questo caso si impone una piccola correzione alle grandezze di campo e si ricalcola il residuo, procedendo iterativamente sino a quando il residuo risulta minore del valore massimo ammissibile richiesto mentre il sistema è lineare; in questo secondo caso la correzione si esegue in un passo solo, in base al valore del residuo ottenuto.

73 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f73 Se non si ottengono risultati soddisfacenti occorre infittire ulteriormente la mesh, applicando un metodo adattativo, stabilendo: il massimo numero di elementi da incrementare per ogni passo di iterazione e applicando ulteriori criteri di arresto come -il numero massimo di iterazioni -lerrore minimo sulla energia immagazzinata - tempo computazionale Per ogni passo di iterazione si incrementa così il numero dei triangoli e si calcola la variazione della energia immagazzinata dal sistema rispetto a quella calcolata nella iterazione precedente.

74 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f74 Per errore minimo percentuale e%: si intende un errore minimo percentuale stabilito, tale che alla i-esima iterazione, il decremento della energia immagazzinata della i-esima rispetto alla energia immagazzinata calcolata nella i-esima iterazione in %, sia minore del valore dellerrore definito e%: Quando tale condizione è verificata si considera la energia immagazzinata calcolata nella i- esima iterazione W i, come energia minima immagazzinata dal sistema, ossia si può ritenere che il sistema sia nella configurazione di equilibrio e quindi assumere le grandezze di campo relative come le soluzioni del problema.

75 M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f75 Diagramma a blocchi del metodo della analisi adattattiva Inizio Risoluzione del Campo con il FEM Fine Risoluzione del Campo Generazione Mesh iniziale Calcolo delle grandezze di campo Valutazione dellerrore Ridefinizione della mesh incrementando il numero degli elementi No Si Verifica criteri di arresto?


Scaricare ppt "M. UsaiElettromagnetismo applicato allingegneria Elettrica ed Energetica_3f1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3f (ultima."

Presentazioni simili


Annunci Google