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Prof.ssa Nadia Cococcioni. Variabili casuali discrete Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta Funzione di ripartizione di una variabile.

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Presentazione sul tema: "Prof.ssa Nadia Cococcioni. Variabili casuali discrete Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta Funzione di ripartizione di una variabile."— Transcript della presentazione:

1 Prof.ssa Nadia Cococcioni

2 Variabili casuali discrete Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta Caratteristiche numeriche di una variabile casuale discreta La distribuzione binomiale o di Bernoulli La distribuzione di Poisson La disuguaglianza di Bienayme-Cebicev Variabili casuali continue La funzione di densità di una variabile casuale continua Funzione di ripartizione di una variabile casuale continua Caratteristiche numeriche di una variabile casuale continua Distribuzione normale o gaussiana Distribuzione normale standardizzata

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4 Un concetto fondamentale della teoria della probabilità è quello di variabile aleatoria o casuale. Si chiama variabile casuale una grandezza X variabile in un insieme numerico tale che ad ogni modalità, che essa assume, è associata la probabilità che essa si verifichi. Una variabile si dice discreta se può assumere un numero finito o uninfinità numerabile di valori, si dice invece continua se può assumere gli infiniti valori di un intervallo.

5 Illustriamo il concetto di variabile casuale con un esempio. La composizione di tali famiglie, rispetto al sesso dei figli, può essere rappresentata con un diagramma ad albero. M F M F M F M F I casi possibili sono otto : MMM MMF MFM MFF FMM FMF FFM FFF Consideriamo le famiglie che hanno tre figli.

6 Prendiamo in considerazione il numero delle figlie femmine in una famiglia con tre figli e vediamo come è possibile elaborare un modello matematico per studiare la situazione. N° figlie probabilità 1\8 3\8 3\8 1\8 Questa tabella, che associa a tutti i possibili esiti del fenomeno la relativa probabilità, è un esempio di come si rappresenta la variabile aleatoria Numero delle figlie femmine in una famiglia con tre figli. Notiamo che il numero delle figlie femmine può assumere quattro valori numerici legati ciascuno ad un valore di probabilità secondo la seguente tabella :

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8 Si chiama distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta ogni relazione che stabilisce una corrispondenza tra i valori della variabile e le probabilità ad essi associate. Nella definizione di variabile casuale la somma delle probabilità è 1 in quanto vengono presi in considerazione tutti i possibili esiti dellevento, la cui unione dà linsieme universo. X … … P(X) …... La legge di distribuzione di una variabile casuale discreta può essere rappresentata graficamente con un diagramma a barre.

9 Rappresentare graficamente la variabile aleatoria X con la seguente distribuzione di probabilità: X12345 P(X)

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11 Si chiama funzione di ripartizione di probabilità della variabile aleatoria X la funzione F(x) che fornisce la probabilità che X non assuma un valore superiore a un valore fissato x: F(x) = P(X x) F(x) = P(X x) Per esempio in un controllo di qualità che un azienda effettua sulla propria produzione si può considerare accettabile un numero di pezzi difettosi compreso in un intervallo assegnato piuttosto che fissare il numero esatto di pezzi difettosi. Spesso nello studio di un fenomeno si è interessati alla ricerca della probabilità in un dato intervallo. Per questo si studia unimportante funzione associata ad una variabile aleatoria: la funzione di ripartizione.

12 Rappresentiamo graficamente una funzione di ripartizione: X …... P(x) …... F(x) ….. 1 La funzione di ripartizione è una funzione a gradini definita su tutto lasse dei reali tale che: F(x) = 0 per F(x) = 1 per Dalla definizione segue che il valore di F(x) si ottiene sommando i valori di probabilità per.

13 Come abbiamo già detto, nel risolvere problemi pratici relativi a variabili aleatorie è necessario calcolare la probabilità che una variabile assuma un valore compreso in un intervallo ( a, b ). Per la definizione data della funzione di ripartizione, supposto che lestremo destro dellintervallo gli appartenga e quello sinistro no, risulta : P(a < X b) = P(X b) - P( X a) = F(b) - F (a) La probabilità che la variabile aleatoria appartenga a un dato intervallo è uguale allincremento della funzione di ripartizione in questo intervallo. Possiamo dedurre, quindi,che:

14 La seguente variabile aleatoria con relativa funzione di ripartizione descrive i voti di una verifica di matematica in una classe. X P(X) 0,04 0,06 0,15 0,47 0,18 0,07 0,03 F(x) 0,04 0,1 0,25 0,72 0,9 0,97 1 Linsegnante è interessato a valutare : a) la percentuale di alunni insufficienti; b) la percentuale di alunni con voto compreso fra 6 e 7; c) la percentuale di alunni con voto maggiore di 7. Le risposte sono : a) b) c)

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16 Un valore medio intorno al quale si raggruppano i valori della variabile, un numero che caratterizza la dispersione di questi valori intorno al valore medio sono valori sintetici della distribuzione che ne forniscono unimmagine riassuntiva. X …. …. P(X) …. …. Data la variabile aleatoria X : Si chiama media o speranza matematica della variabile X la somma dei prodotti dei valori della variabile per le rispettive probabilità: Per descrivere in modo sintetico una variabile aleatoria è sufficiente indicare alcuni parametri numerici che la caratterizzano.

17 La varianza è la caratteristica numerica della dispersione, cioè della deviazione dei valori della variabile casuale rispetto al valore medio. Si chiama scarto quadratico medio della variabile X la radice quadrata della varianza : Per il calcolo della varianza esiste una formula alternativa più utile : Si definisce varianza della variabile X la mediadel quadrato della differenza tra la variabile X e la sua speranza matematica :

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19 Le probabilità associate ai valori che può assumere una variabile casuale X costituiscono la distribuzione di X e vengono elencati in una tabella, ma a volte è anche possibile formulare una legge matematica che, al variare dei valori di X, determini i relativi valori di probabilità. Immaginiamo di ripetere più volte e nelle stesse condizioni una certa prova in modo indipendente. Ogni prova può condurre ad un evento casuale A ( detto successo ) oppure allevento contrario ( detto insuccesso ), Sia p la probabilità che levento A si verifichi e q=1-p la probabilità dellevento contrario, allora : La probabilità che su n prove indipendenti, levento A di probabilità p, si presenti x volte è data dalla funzione di probabilità :

20 La distribuzione di probabilità legata ad un problema delle prove ripetute è detta distribuzione binomiale ( di ordine n e parametro p ) perché per x=0, 1,2, 3, …, n corrisponde ai successivi termini dello sviluppo binomiale : Questa distribuzione è anche detta bernoulliana in onore di J. Bernoulli che la scoprì alla fine del XVIII secolo. Se X è una variabile aleatoria bernoulliana di ordine n e parametro p : il suo valore medio è dato da : M(X)=np ; la sua varianza è data da : V(X)=npq ; il suo scarto quadratico medio è dato da :

21 Unurna contiene 4 palline rosse e 6 palline verdi, siano p e q le probabilità di estrarre dallurna rispettivamente una pallina rossa e una pallina verde. Si eseguono 4 estrazioni, riponendo ogni volta la pallina estratta nellurna.Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X numero delle palline rosse estratte, il valore medio e la varianza. Si calcoli inoltre : X P(X=x) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 M(X ) = 1,6 V(X) = 0,96 a. P(X=2) = 0,3456 b. P(X 2) = 0, , ,0256 c. P(1 X 3) = 0, , ,1536 a. la probabilità che vengano estratte esattamente due palline rosse b. la probabilità che vengano estratte almeno due palline rosse c. La probabilità che il numero delle palline rosse estratte sia compreso tra uno e tre.

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23 dove è una costante positiva che rappresenta il parametro della distribuzione. Nel caso in cui questa distribuzione approssima quella bernoulliana è data dalla media np. Si dimostra che il valore medio e la varianza di una variabile X che ha una distribuzione di Poisson hanno lo stesso valore ed è : Quando in una distribuzione bernoulliana il numero n delle prove ripetute assume un valore molto alto e la probabilità p del successo assume un valore molto piccolo, cioè se la probabilità dellevento A è vicina a 0 e n, la distribuzione di Bernoulli può essere approssimata da unaltra distribuzione che prende il nome di distribuzione di Poisson ( dal nome del matematico che la costruì nel 1837). Nella distribuzione di Poisson la variabile aleatoria X assume i valori 0, 1, 2... e la funzione di probabilità di X è :

24 La distribuzione di Poisson descrive molti fenomeni naturali come il numero di chiamate telefoniche che arrivano ad un centralino in un certo intervallo di tempo, il numero di particelle radioattive emesse da una sostanza nellunità di tempo, il numero di utenti che arrivano allo sportello di un ufficio in unora... Il parametro in questi casi rappresenta il numero medio di volte che il fenomeno si verifica nellintervallo di tempo che prendiamo in considerazione. In un ufficio postale transitano, per un certo sportello, mediamente 90 persone ogni ora. Se loperatore si deve allontanare per 5 minuti, qual è la probabilità che non arrivi nessuno in quei 5 minuti ? Qual è la probabilità che arrivino 3 persone ? = ( 90 : 60 ) x 5 = 7,5

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26 Fin qui abbiamo visto che, nota la distribuzione di probabilità di una variabile casuale, è possibile determinare i due valori che la caratterizzano: la media e la varianza. Ma spesso capita nelle ricerche sperimentali di conoscere il valore medio e la varianza di una variabile senza conoscere la sua distribuzione. La disuguaglianza di Bienayme-Cebicev mette in relazione tra di loro gli indicatori caratteristici di una distribuzione, la media e lo scarto quadratico medio, offrendo la possibilità di avere infornazioni sui valori di probabilità. Per ogni variabile aleatoria X, di media e scarto quadratico medio, fissato un opportuno valore positivo K, vale la seguente relazione : La probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori al di fuori dellintervallo non supera il rapporto tra la varianza e il valore di k elevato al quadrato.

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28 Nella realtà è molto frequente lo studio di quei caratteri, che possono assumere tutti i valori in un certo intervallo, come il peso o laltezza di un gruppo di individui, il tempo, la distanza e, in generale, tutte quelle grandezze che possono essere misurate. Sono questi caratteri continui per i quali non è possibile, nè tantomeno interessante, trattare le modalità singolarmente : occorre raggruppare per classi i dati di cui si dispone. NUMERO LIMITI VALORI FREQUENZA FREQUENZA CLASSI CLASSI CENTRALI ASSOLUTA RELATIVA , , , , , , , , , ,050 Consideriamo la tabella delle frequenze assolute e relative delle stature di un campione di 200 individui

29 Ciascun valore riportato sullasse y dellistogramma rappresenta il rapporto tra la frequenza relativa degli individui che appartengono alla classe e lampiezza della classe stessa. Tali valori rappresentano la DENSITA DI FREQUENZA RELATIVA. Tracciamo listogramma delle frequenze relative Nellistogramma larea di ciascun rettangolo rappresenta la frequenza relativa della classe, la probabilità che un elemento appartenga ad una classe.

30 Consideriamo una variabile casuale discreta che assuma i valori centrali delle classi con la seguente distribuzione di probabilità : X P(X) 0,010 0,035 0,110 0,065 0,220 0,180 0,160 0,065 0,105 0,050 Tracciamo la poligonale che unisce i punti aventi come ascissa i valori centrali delle classi e come ordinata la densità di probabilità delle varie classi.

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32 Al crescere del numero delle classi, la loro ampiezza diminuisce fino a tendere ad un punto. In questo modo la variabile casuale discreta tende ad assumere tutti i valori del dominio e può essere considerata una variabile casuale continua. La poligonale può essere approssimata da una curva che rappresenta la FUNZIONE DI DENSITA DI PROBABILITA della variabile casuale continua.

33 Nel caso della variabile casuale continua la probabilità corrispondente ad un particolare valore assunto dalla variabile stessa è ovviamente uguale a zero. Questo fatto si può intuire pensando che si ha il rapporto fra un caso favorevole ed infiniti casi possibili. E possibile però determinare la probabilità che questo valore particolare cada in un intervallo (a,b). Se teniamo presente che nellistogramma delle frequenze relative la probabilità che un valore della popolazione cada in una classe è data dallarea del rettangolo costruito su di essa, per la variabile casuale continua la probabilità P ( a

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35 Data una variabile casuale continua X con funzione di densità f(x) si definisce funzione di ripartizione : Segue dalla definizione che la funzione di ripartizione esprime per ogni valore di x la probabilità che la variabile assuma un valore minore o uguale a x. La probabilità che la variabile X assume un valore appartenente allintervallo (a,b) è uguale allincremento della funzione di ripartizione in tale intervallo : Possiamo osservare che la funzione di densità di probabilità f(x) e la funzione di ripartizione corrispondente F(x) sono legate dalla relazione : F(x) = f(x)

36 Per quanto riguarda il grafico della funzione di ripartizione di una variabile casuale continua, essa è una funzione non decrescente con : per x<2 per 2 x 3 per x>3

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38 Si chiama valore medio della variabile casuale continua X lespressione : Si chiama varianza di una variabile casuale X la media dei quadrati degli scarti fra i valori della variabile e il suo valore medio : oppure

39 Si chiama moda il valore della variabile casuale continua X per il quale la sua funzione di densità di probabilità assume il valore massimo. Si chiama mediana della variabile casuale continua X il numero m che soddisfa la relazione :

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41 La distribuzione casuale continua legata ai più importanti fenomeni fisici, biologici o economici è la distribuzione normale o gaussiana che ha funzione di densità : Tale funzione è definita in R e dipende dai parametri e che rappresentano la deviazione standard e la media della variabile casuale. La curva che la rappresenta è asintotica allasse x, possiede un massimo per, due flessi per.

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43 Una distribuzione normale che ha valore medio = 0 e scarto quadratico medio = 1 prende il nome di distribuzione normale standardizzata. Lequazione della sua funzione di densità di probabilità è : avendo indicato con z la variabile normale standardizzata. Il grafico della curva normale standardizzata è il seguente :

44 Per la curva normale standardizzata i valori dellarea delle regioni comprese tra la curva, lasse x e le rette di equazione x=a e x=b, corrispondenti alla probabilità che la variabile standardizzata assuma valori compresi nellintervallo (a,b), sono stati calcolati e riportati in apposite tavole. E possibile ottenere lequazione della funzione di densità della variabile normale standardizzata trasformando la funzione di densità della corrispondente variabile non standardizzata, di media e scarto quadratico, con unaffinità di equazioni : Quindi è possibile passare dalla variabile aleatoria X, che ha come media e come scarto quadratico medio, alla corrispondente variabile standardizzata Z, che ha valore medio 0 e scarto quadratico medio 1, con la formula :

45 Con lintroduzione della distribuzione normale standardizzata, ogni calcolo relativo alla probabilità di variabili aleatorie continue può essere ricondotto al calcolo della probabilità della corrispondente variabile standardizzata. Infatti, tenendo conto che in una trasformazione affine il rapporto fra le aree delle superfici corrispondenti è uguale al rapporto di affinità che nel nostro caso è uguale a 1, si ha : Sappiamo che il diametro effettivo delle sfere di acciaio prodotte da una ditta può essere considerato una variabile normale di media 5,1 cm e scarto quadratico medio 0,08. Calcola la probabilità che il diametro di una sfera scelta a caso sia compreso tra 4,98 e 5,15 cm.


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