Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa

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1 Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa
Lecture 1 May 19, 2003 Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni D’Orio Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

2 Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa
Introduzione ai giochi Rappresentazione in forma Normale (o strategica) Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash Ripasso delle funzioni concave, ottimizzazione Applicazione dell’equilibrio di Nash Equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

3 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Agenda Che cosa è la teoria dei giochi Esempi Dilemma del prigioniero La battaglia dei sessi Matching pennies Giochi statici ad informazione completa (o a mosse simultanee) Rappresentazione in forma Normale o strategica Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

4 Che cosa è la teoria dei giochi?
Noi ci concentreremo su giochi dove: Ci sono almeno due giocatori razionali Ogni giocatore ha più di una scelta Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori; c’è interazione strategica. Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante. Ogni persona paga il proprio pasto – un problema semplice di decisione Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere il conto fra tutti i partecipanti – un gioco Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

5 Che cosa è la teoria dei giochi?
La Teoria dei Giochi è un modo formale di analizzare l’interazione strategica tra un gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si comportano strategicamente La teoria dei giochi ha applicazioni Economiche Politiche etc. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

6 Esempio Classico: Il Dilemma del prigioniero
Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine rilevante. Non ci sono però prove sufficienti. Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola: Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un crimine minore e condannati ad un mese di carcere. Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei mesi di carcere. Se uno confessa ma l’altro nega, allora chi confessa sarà rilasciato ma l’altro sconterà nove mesi di carcere. Prigioniero 1 Prigioniero 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

7 Esempio: La battaglia dei sessi
In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la serata all’opera o a un combattimento di boxe. Sia Chris che Pat sanno quanto segue: Entrambi vorrebbero passare la serata insieme. Ma Chris preferisce l’opera. Pat preferisce la boxe. Chris Pat Boxe Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

8 Esempio: Matching pennies
Ognuno dei due giocatori ha una monetina. I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare Testa o Croce. Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole: Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito (entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2 vince la moneta del giocatore 1. In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore 2. Giocatore 1 Giocatore 2 Croce Testa -1 , 1 1 , -1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

9 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa
Un gioco statico consiste di: Un insieme di giocatori (almeno 2) Per ogni giocatore, un insieme di strategie/azioni Payoffs ottenuti da ogni giocatore data la combinazione delle strategie, o preferenze per ogni giocatore sulle combinazioni delle strategie {Giocat. 1, Giocat. 2, ... Giocat. n} S1 S Sn ui(s1, s2, ...sn), per ogni s1S1, s2S2, ... snSn. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

10 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa
Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere la scelta degli altri. Informazione completa Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori. Assunzioni sui giocatori Razionalità I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori) Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

11 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa
I giocatori cooperano? No. Questi sono giochi non cooperativi Il timing (la sequenza degli eventi) Ogni giocatore i sceglie la propria strategia si senza conoscere la scelta altrui. Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio payoff ui(s1, s2, ..., sn). Il gioco finisce Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

12 Definizione: Rappresentazione in forma normale o strategica
La rappresentazione in forma normale (o strategica) di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S Sn e Le funzioni di pay-off u1 u un dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

13 Rappresentazione in forma normale: gioco a 2 giocatori
Rappresentazione Bi-matriciale 2 giocatori: Player 1 e Player 2 Ogni giocatore ha un numero finito di strategie Esempio: S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

14 Esempio Classico: Rappresentazione “normale” del Dilemma del Prig.
Insieme di giocatori: {Prigioniero 1, Prigioniero 2} Insieme delle strategie: S1 = S2 = {Nega, Confessa} Funzioni di Payoff : u1(N, N)=-1, u1(N, C)=-9, u1(C, N)=0, u1(C, C)=-6; u2(N, N)=-1, u2(N, C)=0, u2(C, N)=-9, u2(C, C)=-6 Giocat. Prig. 1 Prig. 2 Strateg. Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

15 Esempio: La battaglia dei sessi
Chris Pat Boxe Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Rappresentazione in forma Normale: Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2}) Insieme strategie: S1 = S2 = { Opera, Boxe} Funzioni di Payoff : u1(O, O)=2, u1(O, B)=0, u1(B, O)=0, u1(B, B)=1; u2(O, O)=1, u2(O, B)=0, u2(B, O)=0, u2(B, B)=2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

16 Esempio: Matching pennies
Player 1 Player 2 Croce Testa -1 , 1 1 , -1 Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: {Player 1, Player 2} Insieme strategie: S1 = S2 = { Testa, Croce } Funzioni di Payoff : u1(T, T)=-1, u1(T, C)=1, u1(C, T)=1, u1(C, C)=-1; u2(T, T)=1, u2(T, C)=-1, u2(C, T)=-1, u2(C, C)=1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

17 Esempio: Turisti e Nativi
Solo due bars (bar 1, bar 2) in città Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $5 6000 turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore Esempio 1: Entrambi fissano $2 Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5 Bar 1 prende =7,000 clienti e $28,000 Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

18 Esempio: Il modello di duopolio di Cournot
Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere la quantità scelta dall’altra.. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q1+q2. Il costo dell’impresa i di produrre qi è Ci(qi)=cqi. Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzione di Payoff : u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

19 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore i sia = xi – 3y/5 La rappresentazione in forma normale: Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

20 Risolvere il Dilemma del Prigioniero
Confessare dà sempre un risultato migliore indipendentemente dalla scelta dell’altro Strategia dominata Esiste un’altra strategia che dà sempre risultati migliori indipendentemente dalla scelta degli altri. Giocatori Prigion. 1 Prisoner 2 Strategie Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

21 Definizione: strategie strettamente dominate
si” è strettamente meglio di si’ Indipend. Scelta altrui Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

22 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Riassunto Giochi statici ad informazione completa Rappresentazione normale o strategica Prossimo argomento Strategie dominate Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

23 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Ripasso veloce La forma normale di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S Sn e Le loro funzioni di payoff u1 u un dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Tutte le combinazioni delle strategie. Una combinazione di strategie è un insieme di strategie, una per ogni giocatore Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

24 Definizione: strategie strettamente dominate
si” è strettamente meglio di si’ Indipend. Scelta altrui Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Esempio Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt. Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria clientela se nessuna fa pubblicità (Ad) La pubblicità costa all’impresa $20 milioni La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dell’altro concorrente Philip No Ad Ad Reynolds 60 , 60 30 , 70 70 , 30 40 , 40 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

26 Gioco a 2 con strategie finite
S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} s11 è strettamente dominata da s12 se u1(s11,s21)<u1(s12,s21) e u1(s11,s22)<u1(s12,s22). s21 è strettamente dominata da s22 se u2(s1i,s21) < u2(s1i,s22), per i = 1, 2, 3 Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

27 Definizione: strategie debolmente dominate
si” è almeno tanto buono quanto si’ Qualsiasi sia la scelta altrui Player 1 Player 2 R U B L 1 , 1 2 , 0 0 , 2 2 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

28 Strategie dominate in modo stretto o in modo debole
Un giocatore razionale non sceglie mai strategie strettamente dominate. Quindi ogni strategia strettamente dominata può essere eliminata. Un giocatore razionale può scegliere una strategia debolmente dominata. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

29 Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
Se una strategia è strettamente dominata, eliminatela La dimensione e complessità del gioco risulterà ridotta Eliminate ogni strategia strettamente dominata dal gioco ridotto Continuate le eliminazioni finchè non ci saranno più strategie strettam. dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

30 Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate: un esempio
Player 2 Sinistra Centro Destra Su 1 , 0 1 , 2 0 , 1 0 , 3 2 , 0 Player 1 Giù Player 1 Player 2 Centro Su Giù Sinistra 1 , 0 1 , 2 0 , 3 0 , 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

31 Esempio: Turisti e Nativi
Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $5 6000 turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore Esempio 1: Entrambi fissano $2 Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5 Bar 1 attrae =7,000 clienti e $28,000 Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

32 Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4 $5 Bar 1 20 , 20 28 , 15 15 , 28 25 , 25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

33 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore I sarà = xi – 3y/5 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

34 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Un esempio ulteriore La rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} Strategie: Si =[0, 100], per i = 1, 2, ..., n. Funzione di payoff: ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 Ci sono strategie dominate? Quali numeri dovrebbero essere selezionati? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

35 Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash
Giocat. 2 L C R Giocat. 1 T 0 , 4 4 , 0 5 , 3 M B 3 , 5 6 , 6 La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà: Il Giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R. Il Giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

36 Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash
Giocat. 2 L’ C’ R’ Giocat. 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 La combinazione di strategie (B’, R’) ha la seguente proprietà: Il giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B’, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R’. Il giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R’, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B’. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

37 Equilibrio di Nash : l’idea
L’equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore risposta possibile nel momento in cui gli altri giocatori stanno giocando le loro strategie di equilibrio. BR to BR= Best response to a best response Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

38 Definizione: L’equilibrio di Nash
Data la scelta altrui, il giocat. i non può migliorare se devia da si* Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

39 Gioco a 2 giocatori con strategie finite
S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} (s11, s21)è un equilibrio di Nash se u1(s11,s21)  u1(s12,s21), u1(s11,s21)  u1(s13,s21) e u2(s11,s21)  u2(s11,s22). Giocatore 2 s21 s22 Gioc. 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

40 Ricerca dell’equilibrio di Nash: ispezione cella a cella
Player 2 Left Middle Right Up 1 , 0 1 , 2 0 , 1 0 , 3 2 , 0 Player 1 Down Player 1 Player 2 Middle Up Down Left 1 , 0 1 , 2 0 , 3 0 , 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

41 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Riassunto Strategie dominate Eliminazione iterata Equilibrio di Nash Prossimo argomento Funzione di risposta ottima Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

42 Equilibrio di Nash : idea
Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno giocando la loro migliore strategia o Una situazione stabile nella quale nessun giocatore vuole deviare se gli altri confermano la propria posizione Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 (Confessa, Confessa) è un equilibro di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

43 Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4 $5 Bar 1 20 , 20 28 , 15 15 , 28 25 , 25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

44 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Ancora quell’esempio Rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} Strategie: Si =[0, 100], for i = 1, 2, ..., n. Funzioni di Payoff : ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 Quale è l’equilibrio di Nash? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

45 Funzione di risposta ottima: esempio
Player 2 L’ C’ R’ Player 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 Se Player 2 sceglie L’ allora la strategia ottima di Player 1 è M’ Se Player 2 sceglie C’ allora la strategia ottima di Player 1 è T’ Se Player 2 sceglie R’ allora la strategia ottima di Player 1 è B’ Se Player 1 sceglie B’ allora la strategia ottima di Player 2’ è R’ Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore, data la strategia scelta da altri giocatori Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

46 Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs in migliaia di dollari Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5? Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

47 Gioco a 2 giocatori con strategie finite
S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} La strategia di Player 1 s11 è la migliore risposta alla strategia di Player 2 s21 se u1(s11,s21)  u1(s12,s21) e u1(s11,s21)  u1(s13,s21). Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

48 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash In un gioco a due giocatori, ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia di player 1’ s1 è la migliore risposta alla strategia di player 2 s2, e la strategia di player 2 s2 è la migliore risposta alla strategia di player 1 s1. Prisoner 1 Prisoner 2 Confess Mum -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

49 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash : esempio Player 2 L’ C’ R’ Player 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 M’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L’ di Player 2 T’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C’ di Player 2 B’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R’ di Player 2 L’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T’ di Player 1 C’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia M’ di Player 1 R’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia B’ di Player 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

50 Esempio: Turisti e Nativi
Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 I Payoffs sono in migliaia di dollari Usate la funzione di rsposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

51 Esempio: La battaglia dei sessi
Chris Pat Prize Fight Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Opera è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Opera Opera è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Opera Quindi, (Opera, Opera) è un Equilibrio di Nash Fight è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Fight Fight è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Fight Quindi, (Fight, Fight) è un Equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

52 Esempio: Matching pennies
Player 1 Player 2 Tail Head -1 , 1 1 , -1 Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Tail Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Tail Tail è la risposta ottima di Player alla strategia di Player 2 Head Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Head Quindi, NON c’è equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

53 Definizione: funzione di risposta ottima
Date le strategie degli altri La risposta ottima di Player i Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

54 Definizione: funzione di risposta ottima
La risposta ottima di Player 1 alle strategie altrui è una soluzione d’ottimo di Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

55 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per la definizione degli equilibri di Nash Insieme di strategie, una per giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore è per lui la migliore, assunto che gli altri stanno giocando le loro strategie ottime, o Una situazione stabile che nessun giocatore vuole cambiare se gli altri non cambiano Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

56 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Riassunto Equilibrio di Nash Funzione di risposta ottima Utilizzo della funzione di risposta ottima per la definizione dell’equilibrio di Nash Utilizzo della funzione di risposta ottima per la determinazione dell’equilibrio di Nash Prossimo argomento Funzioni concave e ottimizzazione Applicazioni Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

57 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Riassunto In un gioco a n-giocatori in forma normale, se l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate elimina tutte le strategie tranne ( s1*, s2*, ..., sn*), allora (s1*, s2*, ..., sn*) è l’unico equilibrio di Nash. In un gioco a n-giocatori in forma normale, se le strategie ( s1*, s2*, ..., sn*) è un equilibrio di Nash allora esse sopravvivono all’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate. Male strategie che superano l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate non necessariamente sono equilibri di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

58 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Un prodotto è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate rispettivamente da q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la propria quantità senza conoscere la scelta dell’altra. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2. Il costo dell’impresa i per produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

59 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzioni di payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c) u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

60 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1 Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) soggetto a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) soggetto a 0  q2  +∞ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

61 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Funzioni concave x f(x) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

62 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Funzioni convesse x f(x) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

63 Concavità e convessità
Lecture 1 May 19, 2003 Concavità e convessità Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

64 Concavità e convessità
Lecture 1 May 19, 2003 Concavità e convessità Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

65 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Massimi e minimi x f(x) x* x’ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

66 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Massimo e minimo x f(x) f(x) x’ x* x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

67 Trovare il massimo di una funzione concava
Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

68 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Massimo e minimo f(x) x1 x* x’ x2 x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

69 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli
Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

70 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli
Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

71 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli
Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli f(x)=-3x2+6x-4 x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

72 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Utilizzo della funzione di risposta ottima per la ricerca dell’equilibrio di Nash In un gioco a due gioc., ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia s1 del gioc.1 è la rsipsota ottima alla strategia s2 del gioc. 2, e se la strategia s2 del giocatore 2 è la risposta ottima alla strategia s1 del giocatore 1 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

73 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1 Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) soggetto a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) soggetto a 0  q2  +∞ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

74 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvete Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) s. a 0  q1  +∞ FOC: a - 2q1 - q2*- c = q1 = (a - q2*- c)/2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

75 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvete Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) s. a 0  q2  +∞ FOC: a - 2q2 – q1* – c = q2 = (a – q1* – c)/2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

76 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash La coppia (q1*, q2*) è un equilibrio di Nash se q1* = (a – q2* – c)/2 q2* = (a – q1* – c)/2 Risolvere queste due equazioni ci dà: q1* = q2* = (a – c)/3 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

77 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Funzione di risposta ottima La funzione di risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2 dell’impresa 2 R1(q2) = (a – q2 – c)/2 if q2 < a– c; 0 negli altri casi, e La funzione di risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1 dell’impresa 1 R2(q1) = (a – q1 – c)/2 if q1 < a– c; 0 negli altri casi q2 Equilibrio di Nash a – c (a – c)/2 (a – c)/2 a – c q1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

78 Il modello del duopolio di Cournot a n imprese
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot a n imprese Un prodotto è realizzato da n imprese: dall’impresa 1 all’impresa n. La quantità dell’impresa i sia qi.Ogni impresa effettua la propria scelta senza sapere ciò che fanno le altre. Il prezzo di mkt. è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2+...+qn. Il costo dell’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

79 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1, ... Impresa n} Insieme delle strategie: Si=[0, +∞), per i=1, 2, ..., n Funzioni di payoff: ui(q1 ,..., qn)=qi(a-(q1+q qn)-c) for i=1, 2, ..., n Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

80 Il modello del duopolio di Cournot
Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash Trovate le quantità (q1*, ... qn*) tali che qi* e la risposta ottima dell’impresa i alle quantità delle altre imprese. Ciò significa che q1* risolve Max u1(q1, q2*, ..., qn*)=q1(a-(q1+q2* +...+qn*)-c) s. a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2 , q3*, ..., qn*)=q2(a-(q1*+q2+q3* qn*)-c) s. a 0  q2  +∞ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

81 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte
Lecture 1 May 19, 2003 Riassunto Equilibrio di Nash Funzioni concave e massimizzazione Il modello del duopolio e dell’oligopolio di Cournot Prossimo argomento Il modello del duopolio di Bertrand Teoria dei giochi - D'Orio - I parte