GALILEO MATEMATICO.

Presentazione sul tema: "GALILEO MATEMATICO."— Transcript della presentazione:

1 GALILEO MATEMATICO

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3 1564 nasce a Pisa, il 15 febbraio
1581 si iscrive all’Università di Pisa 1583 inizia lo studio della matematica 1585 abbandona l’università 1586 insegnante a Siena (fino al 1587) 1589 professore di matematica a Pisa 1591 muore il padre, Vincenzo 1592 accetta un incarico a Padova 1610 torna a Firenze, con i titoli di primario matematico dello Studio di Pisa e primo matematico e filosofo del Granduca di Toscana

4 UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 1/2
‘[…] il padre operò che ‘l Ricci di quando in quando tralasciasse le sue lezzioni, e finalmente ch’allegando scuse d’impedimenti desistesse af-fatto dall’opera. Ma accortosi di ciò il Galileo, già che il Ricci non gli aveva per ancora esplicato il primo libro delli Elementi, volle far prova se per se stesso poteva intenderlo sino alla fine, con desiderio di arrivare almeno alla 47, tanto famosa ; Racconto istorico della vita di Galileo Galilei

5 UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 2/2
‘e vedendo che gli sortì d’apprendere il tutto feli-cemente, fattosi d’animo si propose di voler scor-rere qualche altro libro: e così, ma furtivamente dal padre, andava studiando, con tener gl’Ippo-crati e Galeni appresso l’Euclide, per poter con essi prontamente occultarlo quando ‘l padre gli fosse sopraggiunto.’ Racconto istorico della vita di Galileo Galilei

6 IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 1/2
Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606

7 IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 2/2
Il compasso geometrico militare viene inventato nel Nel 1606, Galilei pubblica l’opuscolo Sulle operazioni del compasso geometrico militare. Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606

8 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE
Leida, 1638

9 Giornata prima Sulla natura dei corpi (…)
DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE ATTENENTI ALLA MECANICA E I MOVIMENTI LOCALI Giornata prima Sulla natura dei corpi (…) Giornata seconda Sulla statica Giornata terza Sui moti locali Giornata quarta Sul moto dei proietti Appendice Sui centri di gravità Pubblicate postume (Firenze, 1718): Giornata quinta Sulla teoria euclidea delle proporzioni Giornata sesta Sulla percossa Leida, 1638

10 LA TEORIA DELLE PROPORZIONI
Def. V Si dice che una prima grandezza è con una seconda nello stesso rapporto in cui una terza è con una quarta, quando, se si considerano equimultipli qualsiasi della prima e della terza e altri equimultipli della seconda e della quarta, i primi equimultipli sono ambedue maggiori o ambedue uguali o ambedue minori degli altri equimultipli presi nell’ordine corrispondente. Ossia a:b = c:d se, e solo se, presi comunque due interi positivi m e n si ha ma < nc ↔ mb < nd ma = nc ↔ mb = nd ma > nc ↔ mb > nd Libro quinto degli Elementi di Euclide (Definizione quinta)

11 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)
MOTO UNIFORME ‘Circa il moto equabile o uniforme, ci occorre una sola definizione che formulo così: DEFINIZIONE Moto eguale o uniforme intendo quello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi uguali, comunque presi, risultano tra di loro eguali. AVVERTENZA Ci è parso opportuno aggiungere alla vecchia definizione […] l’espressione comunque presi […]’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)

12 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
‘Possiamo quindi ammettere la seguente defini-zione del moto di cui tratteremo: Moto equa-bilmente, ossia uniformemente accelerato, dico quello che, a partire dalla quiete, in tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)

13 DE MOTU LOCALI: TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6
Se dal più alto o dal più basso punto di un cerchio eretto sull’orizzonte si conducono piani inclinati qualsiasi fino alla circonferenza, i tempi delle discese lungo tali piani saranno uguali. A B D I . C E C H B G I L D G F H A E F Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)

14 CADUTA DEI GRAVI: LA LEGGE DEI NUMERI DISPARI
B E C F N G H I P R Q O Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza)

15 SUL MOTO DEI PROIETTI: PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 4
Come si debba determinare l’impeto nei singoli punti di una data parabola descritta da un proietto. a i o b f e g c d Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata quarta)

16 IL GRANDE LIBRO DELLA NATURA
‘[…] La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può inten-dere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son tri-angoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamen-te parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.’ Il Saggiatore

17 MATEMATICA: UN APPROCCIO EMPIRICO
● Determinazione della superficie sferica attra-verso il confronto del peso di un guscio sferico e del peso di quattro dischi aventi il raggio della sfera e lo stesso spessore del guscio ● Tracciamento meccanico di curve, in partico-lare parabola e cicloide ● Determinazione dell’area della cicloide attra-verso misure fisiche effettuate su una sagoma di cartone.

18 DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 1/2
‘[…] una palla di bronzo esquisitamente rotonda, non più grande di una noce; questa, tirata sopra uno specchio di metallo, tenuto non eretto all’ori-zonte, ma alquanto inchinato, sì che la palla nel moto vi possa camminare sopra, calcandolo leg-giermente nel muoversi, lascia una linea para-bolica sottilissimamente e pulitissimamente de-scritta, e più larga e più stretta secondo che la proiezzione si sarà più o meno elevata.’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda)

19 DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 2/2
‘[…] L’altro modo per disegnar la linea, che cerchiamo, sopra il prisma, procede così. Fer-minsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all’orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su ’l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura pa-rabolica […]’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda)

20 QUADRATURA DELLA PARABOLA 1/3
Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

21 QUADRATURA DELLA PARABOLA 2/3
Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

22 QUADRATURA DELLA PARABOLA 3/3
Discorsi intorno a due nuove scienze (Appendice)

23 IL METODO DI ESAUSTIONE 1/9 Quadratura della parabola
Indicato con M il punto medio di AB, si tracci per M la parallela all’asse e si chiami C il punto di intersezione con la parabola. Relativamente al segmento di parabola, il triangolo ABC si dice triangolo inscritto, la corda AB si dice base e il punto C si dice vertice. C A M B a Quadratura della parabola

24 IL METODO DI ESAUSTIONE 2/9 Quadratura della parabola
Dato un segmento di parabola S, il triangolo inscritto suddivide S in tre parti, due delle quali sono ancora segmenti di parabola. L’area di ciascun triangolo inscritto in questi segmenti è un ottavo dell’area del triangolo più grande. Quadratura della parabola

25 0 1 1 IL METODO DI ESAUSTIONE 3/9
L’area del segmento di parabola è data dalla serie: 2 2 1 1 2 0 2 Quadratura della parabola

26 IL METODO DI ESAUSTIONE 4/9 Quadratura della parabola
Poiché si ha si ottiene per l’area del segmento l’espressione e si ricava infine Quadratura della parabola

27 IL METODO DI ESAUSTIONE 5/9 Quadratura della parabola
Archimede perviene allo stesso risultato in modo diverso: dimostra che l’area del segmento di parabola non può essere maggiore, né minore, dei quattro terzi dell’area del triangolo. Il metodo di esaustione è essenzialmente un metodo per assurdo. Per dimostrare che la grandezza G è uguale alla grandezza H, si prova che ambedue le alternative G < H e G > H conducono a contrad-dizione. Quadratura della parabola

28 IL METODO DI ESAUSTIONE 6/9 Quadratura della parabola
Postulato Se due aree sono disuguali, esiste un multiplo della differenza che supera qualsiasi area precedentemente fissata. Lemma 1 Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, l’area del triangolo ABC è maggiore della metà dell’area del segmento di parabola. Lemma 2 Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, e D è il vertice del segmento di parabola di base BC, l’area del triangolo BCD è un ottavo dell’area del triangolo ABC. Quadratura della parabola

29 IL METODO DI ESAUSTIONE 7/9 Quadratura della parabola
Lemma 3 Se A0 A1 A2 … An sono una successione finita di grandezze, ciascuna delle quali sia un quarto della precedente, si ha Teorema L’area del segmento di parabola è quattro terzi l’area del triangolo inscritto nel segmento stesso. Quadratura della parabola

30 IL METODO DI ESAUSTIONE 8/9 Quadratura della parabola
Prima ipotesi per assurdo Poniamo: Δ = S  (4/3) A0 En = S  (A0 + A1 + A2 + …+ An) Per il lemma 3, si ha: En = Δ + (1/3)An da cui, per ogni n, En > Δ Dal lemma 1 segue che En+1 < ½En cioè (per ogni n) En < (1/2)n E0 Ne consegue che (1/2)n E0 > Δ ossia E0 > 2n Δ per ogni n che è in contraddizione con il postulato. Quadratura della parabola

31 IL METODO DI ESAUSTIONE 9/9 Quadratura della parabola
Seconda ipotesi per assurdo Poniamo: Δ = (4/3) A0  S En = S  (A0 + A1 + A2 + …+ An) Per il lemma 3, si ha: En = (1/3)An  Δ da cui, per ogni n, An > Δ Poiché An+1 = ¼ An si ricava (¼)n A0 > Δ ossia A0 > 4n Δ per ogni n nuovamente in contraddizione con il postulato. Quadratura della parabola

32 BONAVENTURA CAVALIERI EVANGELISTA TORRICELLI
LA SCUOLA DI GALILEO BONAVENTURA CAVALIERI EVANGELISTA TORRICELLI

33 BONAVENTURA CAVALIERI
Francesco Bonaventura Cavalieri ( ) Frate dell’Ordine dei Gesuati di S. Gerolamo Allievo di Benedetto Castelli ( ), a sua volta allievo di Galileo - Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) La geometria dei continui indivisibili sviluppata mediante una nuova tecnica - Centuria di varii problemi (1639) - Exercitationes geometricae sex (1647)

34 EVANGELISTA TORRICELLI
Allievo di Benedetto Castelli (come il Cavalieri) ma ‘di professione e di fede galileista’ - Opera geometrica (1644) De indivisibilium doctrina perperam usurpata La dottrina degli indivisibili malamente usurpata (com-pilata postuma dal Viviani)

35 PRINCIPIO DI CAVALIERI 1/3
La prima versione data dal Cavalieri di quello che verrà indicato come il principio di Cavalieri recita così: ‘Figure piane hanno tra di loro il medesimo rapporto, che hanno tutte le linee di esse prese con riferimento qualunque; e figure solide lo stesso rapporto che han-no tutti i piani di esse presi rispetto a un riferimento qualunque.’ Geometria degli indivisibili , II libro, proposizione III

36 Dalla ‘dimostrazione’ del Cavalieri:
PRINCIPIO DI CAVALIERI 2/3 Dalla ‘dimostrazione’ del Cavalieri: ‘[…] Ora se il continuo è composto da indivisibili, è evidente senza bisogno d’altra dimostrazione che la figura A sta alla figura D come tutte le linee della figura A stanno a tutte le linee della figura D.’ A D Geometria degli indivisibili , II libro, proposizione III

37 PRINCIPIO DI CAVALIERI 3/3
Versione adottata dai moderni manuali di geometria elementare Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane equivalenti, sono equivalenti. Generalizzazione Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane le cui aree abbiano rapporto costante, hanno i volumi nel medesimo rapporto.

38 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1/4
Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

39 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 2/4
Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

40 sin θ sin θ 1 − cos θ θ − sin θ θ IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 3/4
Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

41 Le due figure che suddividono il rettangolo sono tra loro congruenti
IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 4/4 Le due figure che suddividono il rettangolo sono tra loro congruenti Ciascuna di esse è equivalente al cerchio evidenziato a sinistra Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

42 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)
LA SCODELLA DI GALILEO A C B I H L O G N P D F E Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

43 R Y Y X Y X Y

44 IL TEOREMA DELLA ‘SCODELLA’
‘Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si va, sino all’ultimo, mantenendo sempre tra essi la egualità, ben par conveniente il dire che gli altissimi e gli ultimi termini di tali menomamenti restino tra di loro eguali, e non l’uno infini-tamente maggiore dell’altro: par dunque che la circonferenza di un cerchio immenso possa chiamarsi eguale a un sol punto.’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

45 L’INFINITO E GLI INDIVISIBILI
‘[…] l’infinito è per sé solo da noi incom-prensibile, come anco gli indivisibili; or pensate quel che saranno congiunti insieme: e pur se vogliamo compor la linea di punti indivisibili, bisogna fargli infiniti; e così conviene apprender nel medesimo tempo l’infinito e l’indivisibile. […] né dieci, né cento, né mille non compongono una grandezza divisibile e quanta, ma sì bene infiniti.’ Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

46 De compositione continui
BOH De compositione continui boh

47 SCOLIO 1/2 Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa

48 SCOLIO 2/2 Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezoidi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa

49 VERSO LA DEFINIZIONE DI INTEGRALE
x1 x2 x3 x4 x5

50 L’INFINITO E I NUMERI QUADRATI
‘Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e non quadrati, essere più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così? […] Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri […]’          Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

51 LA RUOTA DI ARISTOTELE 1/2
M L G C R V F N K H I O P Y Z T A B Q X S D A C E B F Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

52 C L K H I O M A b B c LA RUOTA DI ARISTOTELE 2/2
Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

53 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)
INDIVISIBILI VACUI Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

54 Liceo Scientifico Statale ‘G. B. Quadri’