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GALILEO MATEMATICO. 1564nasce a Pisa, il 15 febbraio 1581si iscrive allUniversità di Pisa 1583inizia lo studio della matematica 1585abbandona luniversità

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1 GALILEO MATEMATICO

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3 1564nasce a Pisa, il 15 febbraio 1581si iscrive allUniversità di Pisa 1583inizia lo studio della matematica 1585abbandona luniversità 1586insegnante a Siena (fino al 1587) 1589professore di matematica a Pisa 1591muore il padre, Vincenzo 1592accetta un incarico a Padova 1610torna a Firenze, con i titoli di primario matematico dello Studio di Pisa e primo matematico e filosofo del Granduca di Toscana

4 […] il padre operò che l Ricci di quando in quando tralasciasse le sue lezzioni, e finalmente challegando scuse dimpedimenti desistesse af- fatto dall opera. Ma accortosi di ciò il Galileo, già che il Ricci non gli aveva per ancora esplicato il primo libro delli Elementi, volle far prova se per se stesso poteva intenderlo sino alla fine, con desiderio di arrivare almeno alla 47, tanto famosa Racconto istorico della vita di Galileo Galilei ; UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 1/2

5 e vedendo che gli sortì dapprendere il tutto feli- cemente, fattosi danimo si propose di voler scor- rere qualche altro libro: e così, ma furtivamente dal padre, andava studiando, con tener glIppo- crati e Galeni appresso lEuclide, per poter con essi prontamente occultarlo quando l padre gli fosse sopraggiunto. Racconto istorico della vita di Galileo Galilei UN ANEDDOTO DEL VIVIANI 2/2

6 Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606 IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 1/2

7 Le operazioni del compasso geometrico militare, 1606 IL COMPASSO GEOMETRICO MILITARE 2/2 Il compasso geometrico militare viene inventato nel Nel 1606, Galilei pubblica lopuscolo Sulle operazioni del compasso geometrico militare.

8 Leida, 1638 DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE

9 Giornata primaSulla natura dei corpi (…) Giornata secondaSulla statica Giornata terzaSui moti locali Giornata quartaSul moto dei proietti AppendiceSui centri di gravità Pubblicate postume (Firenze, 1718): Giornata quintaSulla teoria euclidea delle proporzioni Giornata sestaSulla percossa DISCORSI E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENZE ATTENENTI ALLA MECANICA E I MOVIMENTI LOCALI Leida, 1638

10 LA TEORIA DELLE PROPORZIONI Libro quinto degli Elementi di Euclide (Definizione quinta) Def. V Si dice che una prima grandezza è con una seconda nello stesso rapporto in cui una terza è con una quarta, quando, se si considerano equimultipli qualsiasi della prima e della terza e altri equimultipli della seconda e della quarta, i primi equimultipli sono ambedue maggiori o ambedue uguali o ambedue minori degli altri equimultipli presi nellordine corrispondente. Ossia a:b = c:d se, e solo se, presi comunque due interi positivi m e n si ha ma < nc mb < nd ma = nc mb = nd ma > nc mb > nd

11 MOTO UNIFORME Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza) Circa il moto equabile o uniforme, ci occorre una sola definizione che formulo così: DEFINIZIONE Moto eguale o uniforme intendo quello in cui gli spazi percorsi da un mobile in tempi uguali, comunque presi, risultano tra di loro eguali. AVVERTENZA Ci è parso opportuno aggiungere alla vecchia definizione […] lespressione comunque presi […]

12 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza) Possiamo quindi ammettere la seguente defini- zione del moto di cui tratteremo: Moto equa- bilmente, ossia uniformemente accelerato, dico quello che, a partire dalla quiete, in tempi eguali acquista eguali momenti di velocità.

13 DE MOTU LOCALI: TEOREMA 6. PROPOSIZIONE 6 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza) Se dal più alto o dal più basso punto di un cerchio eretto sullorizzonte si conducono piani inclinati qualsiasi fino alla circonferenza, i tempi delle discese lungo tali piani saranno uguali. G F H A C D B I E A B C D E F L H GI.

14 D A B E C N H I G F R O Q P Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata terza) CADUTA DEI GRAVI: LA LEGGE DEI NUMERI DISPARI

15 SUL MOTO DEI PROIETTI: PROBLEMA 1. PROPOSIZIONE 4 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata quarta) Come si debba determinare limpeto nei singoli punti di una data parabola descritta da un proietto. a b dc f g i o e

16 IL GRANDE LIBRO DELLA NATURA Il Saggiatore […] La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico luniverso), ma non si può inten- dere se prima non simpara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son tri- angoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamen- te parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

17 MATEMATICA: UN APPROCCIO EMPIRICO Determinazione della superficie sferica attra- verso il confronto del peso di un guscio sferico e del peso di quattro dischi aventi il raggio della sfera e lo stesso spessore del guscio Tracciamento meccanico di curve, in partico- lare parabola e cicloide Determinazione dellarea della cicloide attra- verso misure fisiche effettuate su una sagoma di cartone.

18 DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 1/2 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda) […] una palla di bronzo esquisitamente rotonda, non più grande di una noce; questa, tirata sopra uno specchio di metallo, tenuto non eretto allori- zonte, ma alquanto inchinato, sì che la palla nel moto vi possa camminare sopra, calcandolo leg- giermente nel muoversi, lascia una linea para- bolica sottilissimamente e pulitissimamente de- scritta, e più larga e più stretta secondo che la proiezzione si sarà più o meno elevata.

19 […] Laltro modo per disegnar la linea, che cerchiamo, sopra il prisma, procede così. Fer- minsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti allorizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura pa- rabolica […] DUE MODI DI TRACCIARE PARABOLE 2/2 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata seconda)

20 QUADRATURA DELLA PARABOLA 1/3 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

21 QUADRATURA DELLA PARABOLA 2/3 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

22 QUADRATURA DELLA PARABOLA 3/3 Discorsi intorno a due nuove scienze (Appendice)

23 IL METODO DI ESAUSTIONE 1/9 Quadratura della parabola A B M C a Indicato con M il punto medio di AB, si tracci per M la parallela allasse e si chiami C il punto di intersezione con la parabola. Relativamente al segmento di parabola, il triangolo ABC si dice triangolo inscritto, la corda AB si dice base e il punto C si dice vertice.

24 IL METODO DI ESAUSTIONE 2/9 Quadratura della parabola Dato un segmento di parabola S, il triangolo inscritto suddivide S in tre parti, due delle quali sono ancora segmenti di parabola. Larea di ciascun triangolo inscritto in questi segmenti è un ottavo dellarea del triangolo più grande.

25 IL METODO DI ESAUSTIONE 3/9 Larea del segmento di parabola è data dalla serie: Quadratura della parabola

26 Poiché si ha si ottiene per larea del segmento lespressione e si ricava infine IL METODO DI ESAUSTIONE 4/9 Quadratura della parabola

27 IL METODO DI ESAUSTIONE 5/9 Quadratura della parabola Archimede perviene allo stesso risultato in modo diverso: dimostra che larea del segmento di parabola non può essere maggiore, né minore, dei quattro terzi dellarea del triangolo. Il metodo di esaustione è essenzialmente un metodo per assurdo. Per dimostrare che la grandezza G è uguale alla grandezza H, si prova che ambedue le alternative G H conducono a contrad- dizione.

28 IL METODO DI ESAUSTIONE 6/9 Quadratura della parabola PostulatoSe due aree sono disuguali, esiste un multiplo della differenza che supera qualsiasi area precedentemente fissata. Lemma 1Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, larea del triangolo ABC è maggiore della metà dellarea del segmento di parabola. Lemma 2Se C è il vertice del segmento di parabola di base AB, e D è il vertice del segmento di parabola di base BC, larea del triangolo BCD è un ottavo dellarea del triangolo ABC.

29 IL METODO DI ESAUSTIONE 7/9 Quadratura della parabola Lemma 3Se A 0 A 1 A 2 … A n sono una successione finita di grandezze, ciascuna delle quali sia un quarto della precedente, si ha TeoremaLarea del segmento di parabola è quattro terzi larea del triangolo inscritto nel segmento stesso.

30 IL METODO DI ESAUSTIONE 8/9 Quadratura della parabola Prima ipotesi per assurdo Poniamo: Δ = S (4/3) A 0 E n = S (A 0 + A 1 + A 2 + …+ A n ) Per il lemma 3, si ha: E n = Δ + (1/3)A n da cui, per ogni n, E n > Δ Dal lemma 1 segue che E n+1 < ½ E n cioè (per ogni n) E n < (1/2) n E 0 Ne consegue che (1/2) n E 0 > Δ ossia E 0 > 2 n Δper ogni n che è in contraddizione con il postulato.

31 IL METODO DI ESAUSTIONE 9/9 Quadratura della parabola Seconda ipotesi per assurdo Poniamo: Δ = (4/3) A 0 S E n = S (A 0 + A 1 + A 2 + …+ A n ) Per il lemma 3, si ha: E n = (1/3)A n Δ da cui, per ogni n, A n > Δ Poiché A n+1 = ¼ A n si ricava (¼) n A 0 > Δ ossia A 0 > 4 n Δper ogni n nuovamente in contraddizione con il postulato.

32 LA SCUOLA DI GALILEO BONAVENTURA CAVALIERI EVANGELISTA TORRICELLI

33 BONAVENTURA CAVALIERI Francesco Bonaventura Cavalieri ( ) Frate dellOrdine dei Gesuati di S. Gerolamo Allievo di Benedetto Castelli ( ), a sua volta allievo di Galileo - Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635) La geometria dei continui indivisibili sviluppata mediante una nuova tecnica - Centuria di varii problemi (1639) - Exercitationes geometricae sex (1647)

34 EVANGELISTA TORRICELLI Evangelista Torricelli ( ) Allievo di Benedetto Castelli (come il Cavalieri) ma di professione e di fede galileista - Opera geometrica (1644) - De indivisibilium doctrina perperam usurpata La dottrina degli indivisibili malamente usurpata (com- pilata postuma dal Viviani)

35 PRINCIPIO DI CAVALIERI 1/3 La prima versione data dal Cavalieri di quello che verrà indicato come il principio di Cavalieri recita così: Figure piane hanno tra di loro il medesimo rapporto, che hanno tutte le linee di esse prese con riferimento qualunque; e figure solide lo stesso rapporto che han- no tutti i piani di esse presi rispetto a un riferimento qualunque. Geometria degli indivisibili, II libro, proposizione III

36 PRINCIPIO DI CAVALIERI 2/3 Dalla dimostrazione del Cavalieri: […] Ora se il continuo è composto da indivisibili, è evidente senza bisogno daltra dimostrazione che la figura A sta alla figura D come tutte le linee della figura A stanno a tutte le linee della figura D. Geometria degli indivisibili, II libro, proposizione III A D

37 PRINCIPIO DI CAVALIERI 3/3 Versione adottata dai moderni manuali di geometria elementare Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane equivalenti, sono equivalenti. Generalizzazione Due solidi, che siano secati da ogni piano parallelo ad un piano fisso secondo figure piane le cui aree abbiano rapporto costante, hanno i volumi nel medesimo rapporto.

38 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1/4 Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

39 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 2/4 Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli)

40 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 3/4 Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli) θ sin θ θ sin θ 1 cos θ

41 IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 4/4 Quadratura della cicloide (Roberval-Torricelli) Le due figure che suddividono il rettangolo sono tra loro congruenti Ciascuna di esse è equivalente al cerchio evidenziato a sinistra

42 LA SCODELLA DI GALILEO Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima) A C B D F E G H I P L O N

43 R Y X Y Y Y X

44 IL TEOREMA DELLA SCODELLA Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima) Or mentre che nella diminuzione de i due solidi si va, sino allultimo, mantenendo sempre tra essi la egualità, ben par conveniente il dire che gli altissimi e gli ultimi termini di tali menomamenti restino tra di loro eguali, e non luno infini- tamente maggiore dellaltro: par dunque che la circonferenza di un cerchio immenso possa chiamarsi eguale a un sol punto.

45 LINFINITO E GLI INDIVISIBILI Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima) […] linfinito è per sé solo da noi incom- prensibile, come anco gli indivisibili; or pensate quel che saranno congiunti insieme: e pur se vogliamo compor la linea di punti indivisibili, bisogna fargli infiniti; e così conviene apprender nel medesimo tempo linfinito e lindivisibile. […] né dieci, né cento, né mille non compongono una grandezza divisibile e quanta, ma sì bene infiniti.

46 BOH boh De compositione continui

47 SCOLIO 1/2 Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale

48 SCOLIO 2/2 Figure costituite con i medesimi indivisibili possono avere area diversa Tra i segmenti paralleli alle basi dei due trapezoidi sotto stanti si può stabilire una corrispondenza biunivoca che mette in relazione segmenti di lunghezza uguale

49 VERSO LA DEFINIZIONE DI INTEGRALE x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5

50 LINFINITO E I NUMERI QUADRATI Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima) Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e non quadrati, essere più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così? […] Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri […]

51 LA RUOTA DI ARISTOTELE 1/2 Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima) A B C D E F A B Q XS H I G T V R C K OP N ML E D F Y Z

52 LA RUOTA DI ARISTOTELE 2/2 H I A B b c C K L O M

53 INDIVISIBILI VACUI Discorsi intorno a due nuove scienze (Giornata prima)

54 Liceo Scientifico Statale G. B. Quadri


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