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RedditoAnni di istr 20,512 31,516 47,718 26,216 4412 8,2812 30,816 17,212 19,910 9,9612 55,816 25,220 2912 85,516 15,110 28,518 21,416 17,720 6,4212 84,916.

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1 RedditoAnni di istr 20,512 31,516 47,718 26, , ,816 17,212 19,910 9, ,816 25, ,516 15,110 28,518 21,416 17,720 6, ,916 Distribuzione esponenziale: Ipotizziamo un modello semplice:

2 Log-verosimiglianza: Max =15.6

3 Test per stime MLE Confronto tra un modello generale (con logveros. L) e uno vincolato o ridotto (con logveros. L v ) I modelli devono essere, quindi, annidati (nested) Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv L

4 Likelihood Ratio test Misura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è valido, si dovrebbe perdere poca informazione:

5 Test di Wald Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello generale)

6 Test dei moltiplicatori di Lagrange Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello ristretto) Se i sono vicini a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa

7 verosimiglianza Vincolo su Derivata L

8 Riprendiamo il modello iniziale: È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con Parametro =1 Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella esponenziale è la più adatta

9 Utilizziamo i tre test per verificare: LIKELIHOOD RATIO: Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo: Ln(L) non vincolato (Gamma) = Ln(L) vincolato (esponenziale) = LR=-2[ ( )]=11.04 ²(1) Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H 0

10 TEST DI WALD Dalla stima MLE del solo modello non vincolato: Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

11 TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE: Dalla stima MLE del solo modello non vincolato: Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

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