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I derivati Lezione 0 U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI Lorenzo.

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1 I derivati Lezione 0 U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI Lorenzo Mascheroni

2 Terminologia strumento derivato posizione lunga posizione corta vendita allo scoperto arbitraggio tasso spot, prezzo spot tasso forward, prezzo forward

3 Strumento derivato I derivati (o derivatives o contingent claims) sono strumenti il cui «valore» dipende dai «valori» di altre variabili fondamentali dette sottostanti (o underlying) prezzo sottostante Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.

4 Esempi di Derivati Opzioni Contratti Forward (o Forwards) Contratti Futures (o Futures) Swaps

5 Perché si Usano i Derivati Per proteggersi dai rischi Per concretizzare unopinione circa la futura evoluzione del mercato (scommessa) Per bloccare un profitto di arbitraggio Per cambiare la natura di una passività Per cambiare la natura di un investimento senza incorrere nei costi connessi con la vendita di un portafoglio e lacquisto di un altro Per ragioni fiscali

6 Operatori Hedgers: ridurre un rischio al quale sono esposti Speculatori: scommettitori Arbitraggisti: operatori che traggono profitto privo di rischio senza investire

7 Economia di arbitraggio Per sottolineare la possibilità di sfruttare tutte le opportunità offerte dal gran numero di mercati disponibili cause: 1)disintermediazione (scambio diretto) 2)deregolamentazione (contesto finanziario flessibile) 3)integrazione (fine della segmentazione) La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte dallevoluzione dei mercati finanziari.

8 Arbitraggio «You make money without risk» Larbitraggio consiste nelleffettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in modo da garantire dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli (più intuitivo) oppure nelleffettuare contemporaneamente delle operazioni di segno opposto in grado di garantire dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non nulli (meno intuitivo)

9 Opportunità di arbitraggio Con il termine opportunità di arbitraggio ci si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi beni. Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102 $/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia. Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimento Abbiamo: P q = investimento, D q = guadagno Larbitraggio del primo tipo è dato da: P q = 0 e D q > 0. In generale si usa dire P q 0 e D q > 0. Larbitraggio del secondo tipo è dato da: P q < 0 e D q = 0. In generale diremo P q < 0 e D q 0.

10 Posizione finanziaria La parte che ha deciso di comprare «prende una posizione lunga» La parte che ha deciso di vendere «prende una posizione corta» Una posizione viene chiusa prendendo una posizione di segno opposto

11 Vendita allo Scoperto La vendita allo scoperto: consiste nel vendere titoli che non si posseggono I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker e vengono venduti nel modo consueto Il venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si trovasse senza azioni Chi vende allo scoperto dovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker da cui li ha presi in prestito deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli

12 Vendita allo Scoperto Per la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile). Ad es., vogliamo vendere Fiat a (prezzo di mercato). Non disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno Fiat, ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela. Si incarica quindi il broker di venderci le azioni e di versarci in conto limporto realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione richiede delle garanzie (in titoli o contanti). Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di ricomprare le azioni versando limporto necessario al broker e restituendogli i titoli presi a prestito. In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante) di chiudere la posizione.

13 Spot e Forward Tasso e prezzo spot riguardano il tasso e il prezzo attuali Tasso e prezzo forward riguardano il tasso e il prezzo a termine (a una certa scadenza)

14 Tasso Forward o di Riporto (Repo) Il tasso di riporto è il tasso dinteresse rilevante per molti arbitraggisti I contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali unistituzione finanziaria vende titoli spot ad unaltra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto La «differenza» tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l«interesse» percepito dalla controparte

15 Forwards

16 Contratto a termine o Forward « Agreement to buy or sell something in the future» Accordo per comprare o vendere unattività ad una certa data futura, per un certo prezzo

17 Come funziona un contratto Forward Il contratto forward è un accordo tra 2 società sul mercato over the counter (OTC) Di solito il prezzo del contratto è scelto in modo che il «valore iniziale di mercato» del contratto sia nullo Pertanto, non cè alcuno scambio di denaro nel momento in cui il contratto viene stipulato Il contratto viene «liquidato a scadenza»

18 Esempio di contratto Forward 8 maggio 2002: una società entra in un contratto forward lungo per acquistare tra 90 giorni £ a $1,6056 per sterlina ($/£ = GBP/USD) 8 maggio agosto 2002 pago$ ricevo£ pago$ ricevo£ sottoscrizione del contratto sottoscrizione del contratto

19 Esempio di contratto Forward 6 agosto 2002: il «tasso di cambio spot» della sterlina è pari a $1, maggio agosto 2002 pago$ ricevo£ che valgono$ pago$ ricevo£ che valgono$

20 Esempio di contratto Forward In base alle «condizioni» contrattuali (forward del 5 maggio 2002), la società paga $ e riceve £ Il «profitto» della società è pari a $44.400, dato che le sterline possono essere immediatamente rivendute a $ pago$ ricevo£ vendo£ ricevo$ guadagno$44 400

21 Posizione lunga su un Forward (a) 0 Profitto S T K Posizione lunga K

22 Posizione corta su un Forward (b) 0 Profitto S T K Posizione corta K prezzo forward o prezzo di consegna?

23 Contratti Forward Prezzo Forward: prezzo di consegna del giorno di stipula tale da rendere il valore del contratto Forward nullo Prezzo di consegna: prezzo applicato alla compravendita a termine Valore del contratto Forward: prezzo di scambio durante la vita intermedia del contratto Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere limpegno iscritto nel contratto.

24 Oro: unopportunità di arbitraggio? Si supponga che: il prezzo spot delloro sia di $390 il prezzo forward a 1 anno delloro sia di $425 il «tasso dinteresse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo non si hanno costi di custodia o di trasporto delloro Cè unopportunità di arbitraggio?

25 Cè opportunità di arbitraggio? nessun investiment o guadagno certo opportunità di arbitraggio Oggi1 anno Tasso d'interesse5% corto Forward su oro0+425–oro lungo di oro–390+oro prestito di contanti+390–409.5 $390× 1 5% Saldo015.5

26 Oro: unaltra opportunità di arbitraggio? Si supponga che: il prezzo spot delloro sia di $390 il prezzo forward a 1 anno delloro sia di $390 il «tasso dinteresse» a 1 anno in dollari sia del 5% annuo non si hanno costi di custodia o di trasporto delloro Cè unopportunità di arbitraggio?

27 Cè opportunità di arbitraggio? Oggi1 anno Tasso d'interesse5% deposito di contanti– lungo Forward su oro0–390+oro nessun investiment o guadagno certo opportunità di arbitraggio corto di oro+390–oro Saldo019.5

28 Cè opportunità di arbitraggio? Oggi1 anno Tasso d'interesse5% deposito di contanti– lungo Forward su oro0–390+oro disinvesti- mento guadagno nullo opportunità di arbitraggio corto di oro+390–oro Saldo / (1+5%)

29 Formalizzando Se oggi F > S (1+i) (T–t) prendo in prestito la somma S vado corto sul Forward che paga F per il titolo che oggi vale S acquisto il titolo spot che costa S fine periodo pago S (1+i) (T–t) a chi mi ha prestato i soldi cedo il titolo alla somma F

30 Formalizzando (continua) Se oggi F < S (1+i) (T–t) prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo S vado lungo sul forward che paga F per il titolo che oggi vale S deposito la somma S ricevuta dalla vendita allo scoperto fine periodo ricevo S(1+i) (T–t) dal deposito dei contanti compro il titolo alla somma F chiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al broker

31 Prezzo Forward Concludiamo che il prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Forward alla stipula è pari a S (1+i) (T–t) oppure Se r (T–t) per titoli che non pagano dividendi o dividend yields non hanno costi di deposito, custodia o immagazzinamento

32 Valore di un Forward Sia K : prezzo di consegna di un contratto forward F : prezzo forward che si applicherebbe ora al contratto Il valore di un contratto forward lungo, f, è f =(F – K )e –r(T – t) Analogamente, il valore di forward corto è f=(K – F)e –r(T–t)

33 Valore di un contratto Forward Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e -r(-t) oggi, per vendere K. Dato che f(F)=0, si deduce che f(K)= (F–K)e -r(-t) Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e -r(-t) oggi, per acquistare K anziché F. Di conseguenza f(K)= –(K–F)e -r(-t) = (F–K)e -r(-t) 0 Tt

34 Esempio di Forward r = 6%, T – t = 6mesi in T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare 8.32 meno di chi sottoscrive ora: F=S t e r(T-t) = K – F = 8.32 quindi K F. Quanto è la preferenza? 8.32 e -6% × 6 / 12 = 8.08 Chi vuole acquistare una posizione lunga su K pagherà 8.08, (f = ) Chi vuole vendere una posizione lunga su K otterrà 8.08, (f = 8.08) Chi vuole acquistare una posizione corta su K otterrà 8.08, (f = 8.08) Chi vuole vendere una posizione corta su K pagherà 8.08, (f = -8.08) 0 26/526/11

35 Valore di un contratto Forward Se f = $7 in che modo possiamo fare arbitraggio? Volendo anticipare i guadagni?

36 Valore di un contratto Forward: senza redditi Lunghi di forward F equivale al possesso di un sottostante S a scadenza T (qualunque sia il suo valore in tale data): 0tT S0S0 StSt acquista oggi e dispone del titolo S in T Deve valere come un portafoglio che

37 I Beni dInvestimento che Offrono Redditi Noti Vale la relazione F S I e r T t (3.7) p. 52 dove I è il valore attuale dei redditi distribuiti (in quanto sono di diritto a coloro che prestano il titolo)

38 Valore di un contratto Forward: con redditi noti Lunghi di forward F vuol dire acquistare il sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e T: 0tT S0S0 StSt che dispone del titolo S in T Deve valere come un portafoglio

39 I Beni dInvestimento che Offrono un «Dividend Yield Noto» Vale la relazione F Se r q T t (3.10) p. 54 dove q è il dividend yield (dividendi in funzione del prezzo dellazione) Si assume che lattività sottostante offra un reddito pari a qS t nel periodo t

40 Forward con dividend yields Supposto noto che chiamiamo dividend yield (annuo) lo spalmiamo sullintero anno, cioè paga SqΔt per Δt 0, in altre parole, dopo un giorno paga dividendi dopo due giorni paga in base a pag. 47 abbiamo che ad es. S = 100, div(T)= =10.52= Se qT - S volendo attualizzare i dividendi: (Se qT - S)e -qT = S - e -qT I da cui: F=(S - I) e rT = (S - S + Se -qT ) e rT = Se (r-q)T

41 Valore di un contratto Forward: con dividend yields noti Dato che gli interessi qS t maturano istantaneamente (per piccoli t): 0tT S0S0 StSt


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