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- Claudio Palandra - ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA COPERTURA DI OPZIONI EUROPEE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Corso di laurea.

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Presentazione sul tema: "- Claudio Palandra - ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA COPERTURA DI OPZIONI EUROPEE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Corso di laurea."— Transcript della presentazione:

1 - Claudio Palandra - ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA COPERTURA DI OPZIONI EUROPEE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Corso di laurea in ingegneria dei modelli e dei sistemi Studente: Claudio Palandra Relatore: Prof. Giovanni Bellettini

2 - Claudio Palandra - Ringraziamenti Ringrazio tutti i presenti per la partecipazione. Claudio Palandra

3 - Claudio Palandra - Sommario Introduzione: proprietà del mercato ed opzioni; Modello Cox-Ross-Rubinstein; Programmazione in C++.

4 - Claudio Palandra - TASSI DINTERESSE Definiamo r il tasso di interesse; il capitale iniziale cresce dopo n periodi di ricapitalizzazione nei seguenti modi: Semplice: Composto: Composto tempo continuo: Se nellanno ho k periodi, su n anni ottengo la seguente ricapitalizzazione

5 - Claudio Palandra - ARBITRAGGIO È definito arbitraggio una operazione finanziaria che non necessita di capitale iniziale; non può dar luogo mai a perdite, anzi ha probabilità strettamente positiva di guadagno..

6 - Claudio Palandra - ARBITRAGGIO Un esempio: sul mercato dei cambi si registra nello stesso istante i seguenti tassi Euro/USD1.267 Euro/Yen USD/Yen USD Yen Yen Euro USD Abbiamo ottenuto un guadagno di 1.1 centesimi di USD

7 - Claudio Palandra - PROPRIETA DEL MERCATO FINANZIARIO Studieremo un mercato finanziario con proprietà quasi sempre non riscontrabili; senza discostarci troppo dalla realtà avremo però grandi facilitazioni dal punto di vista dello studio matematico. Proprietà: Esiste di un tipo di investimento non rischioso detto bond, a tasso r costante;tasso r i costi di transazione(cambio valuta, acquisto azioni...) sono nulli; è ammessa la vendita allo scoperto; sono permesse operazioni che riguardano frazioni di bene.

8 - Claudio Palandra - Derivati un prodotto derivato è un titolo il cui valore è basato sul valore di mercato di altri beni; nati inizialmente con lo scopo di coprire il rischio; tuttavia si prestano bene a scopi speculativi; vasta diffusione sui mercati; i principali derivati sono futures e opzioni.

9 - Claudio Palandra - Opzioni Particolare tipo di derivato che conferisce al possessore la possibilità ma non lobbligo di comprare o vendere il bene(sottostante) sul quale lopzione è sottoscritta, ad un determinato prezzo prefissato fino a una particolare data prefissata(maturità).maturità Europee: è possibile esercitare solo a maturità. Americane: è possibile esercitare in qualsiasi momento

10 - Claudio Palandra - Nomenclatura la data prefissata T è detta maturità; il prezzo prefissato K è detto prezzo di esercizio o strike; il bene si chiama sottostante; Si distingue inoltre Call/put rispettivamente opzioni a comprare o vendere un bene; Europee esercitabili solo a maturità; Americane esercitabili in qualsiasi istante prima di maturità;

11 - Claudio Palandra - Payoff È una quantità che caratterizza lopzione; rappresenta il guadagno del detentore del contratto; dal payoff possiamo dedurre qualsiasi tipo di opzione (asiatica, digital, barriera...) Grafico del payoff di una put Grafico del payoff di una call

12 - Claudio Palandra - Opzioni: Possiamo domandarci: Cosè il premio di unopzione? Cosè una strategia replicante?

13 - Claudio Palandra - Modello C.R.R. Sul mercato sono presenti solo 2 titoli: uno non rischioso e uno rischioso; il prezzo del sottostante tra 2 istanti successivi può assumere solo 2 valori;

14 - Claudio Palandra - Note sul modello C.R.R. Sia il valore del sottostante al tempo n e a, b tali che -1

15 - Claudio Palandra - Note sul modello C.R.R. 01 p 1-p

16 - Claudio Palandra - Note sul modello C.R.R. svolgendo semplicemente i conti si ottiene da cui ottengo la misura di probabilità che chiameremo neutrale al rischio

17 - Claudio Palandra - In generale... Se h è il payoff di una opzione il prezzo è dato da: Seguendo la strategia replicante sarò in grado di generare a maturità esattamente il valore h. Nel caso particolare di una call standard il prezzo sarà:

18 - Claudio Palandra - Mercato completo Un mercato è completo quando qualsiasi opzione è replicabile, cioè se esiste una strategia tale che il valore finale del portafoglio è uguale al payoff dellopzione. A differenza del concetto di arbitraggio non vi è un chiaro significato finanziario..

19 - Claudio Palandra - Teoremi asset pricing 1.Un mercato è privo di arbitraggio se esiste una misura di probabilità p* equivalente a p tale che il vettore dei prezzi scontati del titolo rischioso è una p*-martingala.martingala 2. Un mercato privo di arbitraggio è completo se esiste ununica misura di probabilità equivalente p* tale che il vettore dei prezzi scontati del titolo rischioso è una p*- martingala. martingala

20 - Claudio Palandra - Martingale Una successione di variabili aleatorie è una martingala rispetto alla filtrazionese è adattata alla filtrazione, se ha speranza matematica finita per ogni n e se, per ogni n,

21 - Claudio Palandra - Programmazione C++ Calcolo del prezzo di opzioni path dependentCalcolo del prezzo di opzioni path dependent Calcolo della copertura dinamica di unopzioneCalcolo della copertura dinamica di unopzione Verifica della velocità di convergenza

22 - Claudio Palandra - Path dependent Le opzioni path dependent hanno payoff dipendente in maniera non banale dalla storia del prezzo del sottostante. In genere non esistono formule chiuse per il calcolo del prezzo. K = 100 So= 100 T = 1 12 < N < ^4 < M < 10^6 SIMULAZIONI PREZZO OPZIONE INTERVALLI CONFIDENZA

23 - Claudio Palandra - Path dependent AsiaticheBarriera no forma chiusa simulazioni Prezzo no forma chiusa simulazioni

24 - Claudio Palandra - Asiatiche Il payoff dipende dalla media aritmetica dei valori del sottostante nel corso della vita dellopzione:

25 - Claudio Palandra - Asiatiche Visto che non è facile trovare formule chiuse, nel programma ricorriamo a simulazioni:simulazioni generiamo M volte il payoff; per M molto grande la media empirica ci fornisce una buona approssimazione del valore che cerchiamo: Codiceback

26 - Claudio Palandra N N N+1 Cosa succede K ( ) +

27 - Claudio Palandra - N=365N=52N=12 M= M= M= Asiatiche Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati facendo variare il numero di simulazioni M ed il numero di periodi nellanno N:

28 - Claudio Palandra - Asiatiche intervalli confidenza DA A M= N= M= N= M= N=

29 - Claudio Palandra - Barriera Sono opzioni che si attivano o si disattivano se il valore del sottostante, in un momento qualsiasi della vita di unopzione, raggiunge una determinata soglia detta barriera. barriera opzione attiva

30 - Claudio Palandra - Barriera Hanno prezzo inferiore delle normali call/put perchè hanno la possibilità di entrare in stati disattivati o uscire da stati attivati. Se U è il valore della barriera, il payoff di una call up- and-in risulta:

31 - Claudio Palandra - Barriera Visto che non è facile trovare formule chiuse nel programma ricorriamo di nuovo a simulazioni. simulazioni Codiceback

32 - Claudio Palandra - Barriera Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati facendo variare il numero di simulazioni M ed il numero di periodi nellanno N: N=365N=52N=12 M= M= M=

33 - Claudio Palandra - Barriera intervalli di confidenza DA A M= N= M= N= M= N=

34 - Claudio Palandra - Variazioni sulla barriera UPREZZOINTERVALLO CALL S Nella tabella abbiamo fissato M= e N=365; facendo variare il valore della barriera si ottiene:

35 - Claudio Palandra - Simulazione Monte Carlo voglio determinare una certa quantità m; scopro che m è la media di una variabile aleatoria X; genero Q variabili aleatorie, IID; stimo m con la media aritmetica delle variabili generate:

36 - Claudio Palandra - Simulazione Monte Carlo per Q>>1 la seguente variabile aleatoria Z è distribuita come N(0,1) dunque possiamo determinare un intervallo di confidenza per la stima fatta: rimane il problema della stima della varianza; uso la varianza campionaria:

37 - Claudio Palandra - Barriera consideriamo una opzione barriera up-and-in; n=0 flag=0 flag=1 simulo veloce fino a n=N n=1 continuo il ciclo n=

38 - Claudio Palandra - Stima empirica velocità di convergenza Il modello C.R.R. converge per N molto grande al modello B.S.; trovare la velocità di convergenza è cosa piuttosto complessa; un tentativo fattibile è una stima empirica con il calcolatore:

39 - Claudio Palandra - Prezzo Black-Scholes Definiamo la funzione di ripartizione di una gaussiana standard e i seguenti valori: Per una put standard ed una call standard il prezzo secondo il modello Black-Scholes risulta rispettivamente:

40 - Claudio Palandra - Stima empirica velocità di convergenza se passo alla scala logaritmica: ascissa ordinata posso graficare e stimare con il coeff.angolare...

41 - Claudio Palandra - Stima empirica velocità di convergenza

42 - Claudio Palandra - Stima empirica velocità di convergenza Lestrapolazione di Romberg fornisce una verifica della correttezza del risultato, oltre che una stima più precisa: Codiceback

43 - Claudio Palandra - Copertura dinamica voglio fare il venditore di opzioni: necessito costruire una strategia replicante, cioè una strategia che dia a maturità un valore di portafoglio pari al payoff dellopzione: simulo la traiettoria del valore del sottostante, e ad ogni istante decido le quantità che dovrò acquistare allistante successivo di sottostante e di titolo non rischioso per garantirmi la copertura; Codiceback

44 - Claudio Palandra - Copertura dinamica ad ogni passo k osservo, ricavo le funzioni prezzo: da cui posso facilmente risalire alle quantità da acquistare tramite il sistema:

45 - Claudio Palandra - Copertura dinamica Risolvendo il sistema si ricavano le quantità cercate: Analizzando la prima delle 2 funzioni vediamo come questa misuri la sensibilità della variazione del prezzo dellopzione al tempo n rispetto ad una variazione del prezzo del titolo di base.

46 - Claudio Palandra - Sviluppi per il futuro studio di opzioni americane; studio di algoritmi efficienti per prezzare opzioni americane path-dependent: articoli di Barraquand/Pudet e di Hull/White studio nel continuo.


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