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Fast Fourier Transform (FFT) Corso di Metodi per il Trattamento Numerico di Dati Multimediali Laura Patricolo (50/174) Valeria Mele (50/18)

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Presentazione sul tema: "Fast Fourier Transform (FFT) Corso di Metodi per il Trattamento Numerico di Dati Multimediali Laura Patricolo (50/174) Valeria Mele (50/18)"— Transcript della presentazione:

1 Fast Fourier Transform (FFT) Corso di Metodi per il Trattamento Numerico di Dati Multimediali Laura Patricolo (50/174) Valeria Mele (50/18)

2 DFT f = [ f 0,...., f N-1 ] T per h = 0,…, N-1 F = [F 0,...., F N-1 ] T

3 DFT Forma matriciale: Con

4 Loperazione di scomposizione intesa con le due frecce indica che nella prima parte andranno gli elementi di posto pari, e nella seconda quelli di posto dispari. Esempio: è il vettore di dimensione N/4, ottenuto come prima parte del vettore a sua volta vettore di dimensione N/2, seconda parte del vettore

5 Scomposizione formale per h = 0,…, N-1

6 Osserviamo:

7 Componenti pari: Componenti dispari: h 1 = 0,…, (N/2)-1 N.B.: lapice accanto a f indica il passo di scomposizione corrente !! f (1) k f(1) k+(n/2)

8 due trasformate di ordine N/2 Vettore delle componenti di posto pari di F Vettore delle componenti di posto dispari di F Trasformando

9 Esempio N=2 3 =8

10 h 1 = 0, 1, 2, 3 Passo I) RICORDA: nella notazione di F lapice esprime la dimensione del problema, il pedice porta traccia della scomposizione del vettore, indicando la relazione del vettore al passo corrente con quello al passo precedente. Nella notazione di f invece lapice esprime il passo corrente. NOTA: In questo momento il pedice di F contiene anche lindice dellelemento generico (h 1 ).

11 Passo II) h 2 = 0, 1

12 Passo III) h 3 = 0

13 schema butterfly butterfly a b z

14 w w2w2 w3w3 w3w3 w2w2 w w1w1 w1w1 w1w1 w1w1 Passo k : N = 8 addizioni/sottrazioni tra elementi del vettore f distanti N/2 k log 2 N=3 passi

15 Abbiamo ridotto il numero delle addizioni/sottrazioni necessarie al calcolo della nostra DFT a N log 2 N = 8*3 = 24 invece che N 2 =64 come richieste dallalgoritmo classico

16 Notiamo però che il risultato dellalgoritmo è stato: i coefficienti F h che abbiamo ottenuto trasformando i successivi vettori f i non sono posti nellordine naturale

17 Integer Bit Reversal (IBR) - considera le rappresentazioni binarie degli interi 0, 1, …, N-1; - inverte le successioni di bit delle singole rappresentazioni; - determina i corrispondenti numeri decimali. hinversione

18 for m=1, z m2=2 m-1 nm=N/2 m for i=0, m2 step 2 for k=0, nm-1 g= f i*nm+k + f nm+k f nm+k =( f i*nm+k - f (i+1)*nm+k )w k f i*nm+k =g endfor ALGORITMO FFT

19 La trasformata di Fourier è una tecnica che proprio nelle applicazioni, dalla fisica dei plasmi alla sismografia, dalla Tac alla oceanografia, alla ricostruzione di immagini, ha trovato la sua legittimazione come strumento principale per la risoluzione effettiva di problemi concreti. Per dare un'idea del guadagno effettivo ricordiamo che la Nasa, nell'ambito del Progetto Ciclope per la ricerca delle intelligenze extraterrestri, ha operato la trasformazione di Fourier su un insieme di un miliardo di dati; ciò ha richiesto circa 9 ore di tempo con la Fft, contro gli oltre anni necessari con l'algoritmo normale. Ovvero con 1024 punti il rapporto tra i tempi è pari a circa 150. CONCLUSIONI

20 Bibliografia [ 1] – Cooley J. W. e Tukey J. W., An algorithm for machine calculation of complex Fourier series, Maths comput., 19, 297 – 301 (1965). [2] - D. Bini, M. Capovani, G. Lotti, F. Romani "Complessità numerica", ed. Boringhieri (1981). [3] - G. Monegato "Fondamenti di Calcolo Numerico", ed. Levrotto&Bella (1990). [4] - by Numerical Recipes Software, pubblicato da Cambridge University Press. [5] - dott. P. Boccacci, Università di Genova. [6] - Libreria di Software Matematico, Manuale per l'utente. [7] - T. Scapolla dellUniversità di Pavia, La trasformata di Fourier, Una formula dell'800 usata anche dalla Nasa, Tuttoscienze, inserto del quotidiano La Stampa, (1999) (reperibile allindirizzo [8] – Wikipedia, the free encyclopedia.


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