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Il meccanismo di Higgs Lezione 12 riferimento capitolo 8 Kane.

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Presentazione sul tema: "Il meccanismo di Higgs Lezione 12 riferimento capitolo 8 Kane."— Transcript della presentazione:

1 Il meccanismo di Higgs Lezione 12 riferimento capitolo 8 Kane

2 Le masse delle particelle nel Modello Standard come assegnare una massa ai bosoni di gauge come assegnare una massa ai bosoni di gauge come assegnare una massa ai fermioni come assegnare una massa ai fermioni la matematica connessa la matematica connessa lidea di simmetria nascosta o rottura spontanea di simmetria lidea di simmetria nascosta o rottura spontanea di simmetria solo cenni qualitativi sul problema degli infiniti della teoria e la sua rinormalizzazione solo cenni qualitativi sul problema degli infiniti della teoria e la sua rinormalizzazione

3 rottura spontanea di simmetria Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di solito si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due Lagrangiane. Una L 0 che è invariante per un certo gruppo di trasformazioni ed una L 1 che non lo è.Se L 1 è piccola rispetto ad L 0 e può essere trattata come una perturbazione, le conseguenze della simmetria L 0 sono poco violate e continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico) Quando si parla di rottura di simmetria di una Lagrangiana,di solito si pensa ad una Lagrangiana che è la somma di due Lagrangiane. Una L 0 che è invariante per un certo gruppo di trasformazioni ed una L 1 che non lo è.Se L 1 è piccola rispetto ad L 0 e può essere trattata come una perturbazione, le conseguenze della simmetria L 0 sono poco violate e continuano ad essere importanti (vedi spin isotopico) Questa è una simmetria rotta esplicitamente, o broken Questa è una simmetria rotta esplicitamente, o broken Una rottura spontanea è una cosa del tutto diversa. In caso di rottura spontanea, la Lagrangiana continua ad essere simmetrica, ma si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono! Una rottura spontanea è una cosa del tutto diversa. In caso di rottura spontanea, la Lagrangiana continua ad essere simmetrica, ma si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono! Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa asimmetrica ma è simmetrica nelle varibili originali Se si usano tali variabili,anche la Lagrangiana diventa asimmetrica ma è simmetrica nelle varibili originali Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono? Come può essere che abbiamo una Lagrangiana simmetrica,in funzione di certe variabili, ma che si scopre che le variabili adatte a descrivere il sistema non lo sono?

4 un esempio : il ferromagnetismo le forze tra gli spin sono invarianti per rotazione, quindi lo è L. il ferromagnete sarà però magnetizzato in una certa direzione, anche se casuale, e dovuta ad una fluttuazione statistica il ferromagnete sarà però magnetizzato in una certa direzione, anche se casuale, e dovuta ad una fluttuazione statistica se il magnete è finito, e per esempio fatto di pochi spin,lasse di magnetizzazione può ruotare facilmente se il magnete è finito, e per esempio fatto di pochi spin,lasse di magnetizzazione può ruotare facilmente nello stato fondamentale il momento orbitale totale L= 0 allinterno del sistema. nello stato fondamentale il momento orbitale totale L= 0 allinterno del sistema. Per un sistema finirto non esiste una direzione privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di trovare lasse di magnetizzazione in ogni direzione Per un sistema finirto non esiste una direzione privilegiata = uguale ampiezza di probabilità di trovare lasse di magnetizzazione in ogni direzione Ma se il magnete è costituito da spin, il tempo di riallineare gli spin è infinito Ma se il magnete è costituito da spin, il tempo di riallineare gli spin è infinito se il magnete è infinito,una volta che lasse di magnetizzazione ha una certa direzione non può ruotare anche se lenergia di rotazione è nulla se il magnete è infinito,una volta che lasse di magnetizzazione ha una certa direzione non può ruotare anche se lenergia di rotazione è nulla In tali circostanze occorre un tempo infinito per una rotazione comunque piccola In tali circostanze occorre un tempo infinito per una rotazione comunque piccola Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad un ferromagnete infinito esso avrà una direzione di equilibrio ben determinata e per descrivere le sue oscillazioni converrà introdurre langolo rispetto a tale direzione Se un piccolo ago magnetico si trova accanto ad un ferromagnete infinito esso avrà una direzione di equilibrio ben determinata e per descrivere le sue oscillazioni converrà introdurre langolo rispetto a tale direzione un blocco di materiale ferromagnetico a T=0 (stato quantistico puro)

5 Lagrangiane e Particelle Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane L nella fisica delle particelle Ricordiamo il ruolo delle Lagrangiane L nella fisica delle particelle L definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle elementari della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire come uno stato legato della teoria che emerge come una soluzione della teoria L definisce la teoria.É scritta nei termini delle particelle elementari della teoria. Ogni oggetto composto deve apparire come uno stato legato della teoria che emerge come una soluzione della teoria Più precisamente è la parte di energia potenziale di L che rende specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica sono generali e dipendono solo dallo spin delle particelle. Lenergia potenziale dipende dalle forze. È la Lagrangiana di interazione L int Più precisamente è la parte di energia potenziale di L che rende specifica la teoria. Le parti relative alla energia cinetica sono generali e dipendono solo dallo spin delle particelle. Lenergia potenziale dipende dalle forze. È la Lagrangiana di interazione L int Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane L ? L è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è uno scalare in ogni spazio, e quindi invariante per trasformazioni. Perchè la fisica delle particelle è formulata con le Lagrangiane L ? L è una unica funzione che determina la dinamica. Inoltre è uno scalare in ogni spazio, e quindi invariante per trasformazioni. In particolare, rendendo L invariante per trasformazioni di Lorentz, ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz invarianti In particolare, rendendo L invariante per trasformazioni di Lorentz, ci garantiamo che tutte le previsioni della teoria siano Lorentz invarianti Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina lo stato fondamentale, cioè il vuoto Nella teoria quantistica, minimizzando il potenziale, si determina lo stato fondamentale, cioè il vuoto Le particelle sono le eccitazioni del vuoto Le particelle sono le eccitazioni del vuoto

6 il meccanismo di Higgs il meccanismo di Higgs essenzialmente, si fa lipotesi che tutto luniverso sia riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo di Higgs. essenzialmente, si fa lipotesi che tutto luniverso sia riempito da un campo scalare (spin 0),chiamato campo di Higgs. il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una ipercarica in U(1),ma è un singoletto di colore il campo di Higgs è un doppietto in SU(2) ed ha una ipercarica in U(1),ma è un singoletto di colore fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo campo, ed in sua presenza acquistano massa fermioni e gauge-bosoni possono interagire con questo campo, ed in sua presenza acquistano massa stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al vuoto, (stato fondamentale del sistema) anche se questi stati hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0. stati con bosoni di Higgs sono non- ortogonali al vuoto, (stato fondamentale del sistema) anche se questi stati hanno numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0. Il vuoto ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rotte Il vuoto ha quindi numeri quantici di U(1) e SU(2) diversi da 0; le simmetrie di U(1) e SU(2) sono rotte la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per lo stato fondamentale del sistema (cioè per il vuoto ); : è una rottura spontanea di simmetria la simmetria è valida per la Lagrangiana ma è rotta per lo stato fondamentale del sistema (cioè per il vuoto ); : è una rottura spontanea di simmetria

7 vari esempi di rottura spontanea di simmetria Un campo scalare reale - una simmetria per riflessione Il campo scalare complesso-una simmetria globale. Il bosone di Goldstone

8 Sommario delle Lagrangiane Vector field, mass=0 (elettromagnetismo) Real Scalar or Pseudoscalar field Campo reale di massa m e spin=0 Complex scalar or pseudoscalar field of mass m massive abelian vector field termine di massa non abelian vector field

9 Teoria dei campi e tecniche perturbative Lo stato fondamentale del sistema si trova minimizzando lenergia potenziale ( o il potenziale) Lo stato fondamentale del sistema si trova minimizzando lenergia potenziale ( o il potenziale) Convenzionalmente questo stato si chiama il vuoto Convenzionalmente questo stato si chiama il vuoto Si trovano tutti gli altri stati eccitati espandendo le funzioni di campo ( o potenziale) attorno al minimo Si trovano tutti gli altri stati eccitati espandendo le funzioni di campo ( o potenziale) attorno al minimo Convenzionalmente gli stati eccitati corrispondono alle particelle Convenzionalmente gli stati eccitati corrispondono alle particelle Linsieme degli stati eccitati è lo spettro Linsieme degli stati eccitati è lo spettro richiami

10 rottura spontanea di simmetria: un esempiopotenziale simmetria per riflessione per cominciare consideriamo e come semplici parametri matematici; questa L è più generale di quello che potrebbe sembrare,perchè è possibile dimostrare che potenze >4 introdurrebbero degli infiniti negli osservabili L L rif rappresenta una interazione di forza rappresenta una interazione di forza poniamo >0 (limite inf. potenziale per ) per 2 > 0, il vuoto corrisponde a =0, che minimizza il potenziale. 2 è il termine di massa per 2 < 0,il minimo del potenziale si trova minimizzando V( ). =0 non è un minimo per 2 < 0, il minimo del potenziale si trova minimizzando V( ). =0 non è un minimo il minimo dellenergia si ha quando sono minime sia lenergia potenziale che la cinetica. per minimizzare lenergia cinetica, (x)=cost (x) è un campo di Higgs (x) è un campo di Higgs energia cinetica valore di aspettazio ne del vuoto

11 L L L rifL espandiamo la funzione attorno a =0

12 L L L L L ricordando che scompare il termine lineare in scompare il termine lineare in raccogliamo i fattori delle potenze di raccogliamo i fattori delle potenze di

13 L interpretazione di questo risultato La Lagrangiana L( ) rappresenta una particella di massa m 2 =2 v 2 =-2 2, e con due interazioni: una cubica di forza v, ed una quartica, di forza /4. La Lagrangiana L( ) rappresenta una particella di massa m 2 =2 v 2 =-2 2, e con due interazioni: una cubica di forza v, ed una quartica, di forza /4. kost può essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenziale kost può essere ignorato, ridifinendo il livello 0 della potenziale L e Lagrangiane L( ) e L( ) devono essere equivalenti, se il problema è risolto in modo consistente. L e Lagrangiane L( ) e L( ) devono essere equivalenti, se il problema è risolto in modo consistente. Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare attorno ad un minimo, per avere convergenza. Se vogliamo una descrizione perturbativa, dobbiamo perturbare attorno ad un minimo, per avere convergenza. La particella definita dalla teoria con 2 <0 è un campo scalare reale,con una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri scalari, perchè al minimo della sua energia potenziale,cè un valore di aspettazione del vuoto v 0 La particella definita dalla teoria con 2 <0 è un campo scalare reale,con una massa ottenuta dall sua self-interaction con altri scalari, perchè al minimo della sua energia potenziale,cè un valore di aspettazione del vuoto v 0 Non cè traccia della simmetria di riflessione -. É stata rotta la simmetria quando si è scelto un vuoto specifico ( =+v, piuttosto che =-v) Non cè traccia della simmetria di riflessione -. É stata rotta la simmetria quando si è scelto un vuoto specifico ( =+v, piuttosto che =-v) L rif

14 Un secondo esempio Il campo scalare complesso Una simmetria globale

15 campo scalare complesso campo scalare complesso invariante per trasformazione di gauge La lagrangiana L ha una simmetria globale U(1) 2 >0 L ha chiaramente un minimo nellorigine del piano 1, 2 2 >0 L ha chiaramente un minimo nellorigine del piano 1, 2 2 < 0 L ha minimi sul cerchio di raggio 2 < 0 L ha minimi sul cerchio di raggioL L scegliendo un punto sul cerchio,si rompe la simmetria! scegliamo arbitrariamente due particelle,

16 L questo è il termine di massa di una particella (x) con massa m 2 =2| 2 |. (x) non ha massa: è il bosone di GOLDSTONE. (x) non ha massa: è il bosone di GOLDSTONE. lungo il cerchio il potenziale è un minimo; una eccitazione radiale spinge in sù il potenziale ed una massa è associata con la curvatura del potenziale. lungo il cerchio non cè resistenza al moto, e questo è il senso delleccitazione (particella) senza massa il termine in 2 è scomparso

17 E emerso un bosone senza massa, diverso dal fotone, che nessuno ha mai osservato ?

18 Applichiamo adesso questo metodo matematico alla lagrangiana della QED Local gauge Abelian symmetry Che cosa succede?

19 The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge Symmetry abbiamo considerato invarianze di gauge globali introduciamo ora una invarianza di gauge locale campo vettoriale privo di massa e derivata covariante trasforamazione del campo di gauge è invariante per è invariante per

20 The Abelian Higgs Mechanism Local Gauge Symmetry La Lagrangiana per 2 > 0 rappresenta linterazione di una particella di massa con il campo elettromagnetico A. è uno scalare carico con g=e. La Lagrangiana per 2 > 0 rappresenta linterazione di una particella di massa con il campo elettromagnetico A. è uno scalare carico con g=e. questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti: questa lagrangiana contiene 4 campi indipendenti: i due scalari reali 1 e 2 i due scalari reali 1 e 2 e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di gauge e i due stati di polarizzazione trasversa del bosone di gauge Vediamo cosa succede per 2 < 0 Vediamo cosa succede per 2 < 0 L termini di energia cinetica del campo e.m. che è privo di massa

21 sappiamo che è invariante per usando il formalismo già visto, sono reali possiamo scrivere,con h reale sapendo che possiamo sempre utilizzare questa trasformazione e ci sarà comunque un che rende possibile questa trsformazione sostituiamo nella Lagrangiana

22 termine di massa del bosone di Gauge il termine di massa del bosone di gauge è diverso da zero solo quando la simmetria è rotta spontaneamente dal bosone di Higgs che acquista il valore di aspettazione del vuoto la Lagrangiana è gauge-invariante, ma il vuoto non lo è; per minimizzare il potenziale abbiamo dovuto scegliere una particolare direzione nello spazio 1 2 termine di massa del bosone di Higgs lo spettro contiene solo h, il bosone di Higgs, che ha varie self- interactions h ha anche interazioni cubiche e quartiche con il bosone di gauge il bosone di goldstone della simmetria U(1) è diventato la polarizzazione longitudinale del bosone di gauge A il bosone di goldstone della simmetria U(1) è diventato la polarizzazione longitudinale del bosone di gauge A

23 Lo spettro è adesso un singolo bosone di Higgs h, con massa 2 v 2, con varie self-interactions, più interazioni cubiche e quartiche con il bosone di gauge A piu un bosone di gauge massivo A, con 3 stati di spin. Si hanno quindi sempre 4 stati indipendenti Questo è il meccanismo di Higgs

24 The Higgs mechanism and the STANDARD MODEL il bosone di Higgs deve essere assegnato ad un doppietto di SU(2)

25 il campo di Higgs deve essere un doppietto di SU(2) in uno spazio SU(2) i due campi di Higgs + 0 sono legati da una rotazione la Lagrangiana di la Lagrangiana di studiamo il potenziale è invariante per rotazione il potenziale V( ) ha un minimo per 2 < 0 si studia lo spettro di Higgs ( ), espandendo attorno al vuoto, scegliamo un punto di minimo, rompendo la simmetria molti punti soddisfano questa condizione Possiamo farlo, per linvarinza per rotazione possiamo fare una gauge -trasformation e ruotare nella forma 0 è il vuoto 0 è il vuoto la simmetria originale era scegliendo una direzione abbiamo 3 simmetrie globali rotte: abbiamo gauged way 3 campi ( 3 bosoni privi di massa) e si cercano le equazioni soddisfatte da H.

26 la simmetria originale era una simmetria O(4): scegliendo una direzione abbiamo tre simmetrie globali rotte abbiamo gauged way tre bosoni di gauge con massa 0 e tre campi abbiamo eliminato i bosoni di Goldstone

27 il bosone di Higgs ha due componenti, + (carica elettrica 1), e 0, (carica elettrica nulla) carica elettrica autovalore di isospin debole autovalore di isospin debole ipercarica di U(1) ipercarica di U(1) soltanto la componente neutra 0 può avere un valore di aspettazione del vuoto + non può, altrimenti non si conserverebbe la carica elettrica lassegnazione della carica elettrica al doppietto di Higgs equivale a porre il fotone questo rompe la si mmetria di SU(2) rompe U(1) Però, se operiamo sul vuoto con loperatore carica elettrica così il vuoto è invariante per il vuoto è invariante per un particolare U(1), i cui generatori sono una particolare combinazione lineare dei generatori originali di SU(2) e U(1) questo U(1) è lU(1) dellelettromagneti smo, ed il bosone che resta senza massa è il fotone. conseguenza necessaria della conservazione della carica elettrica che ci ha costretto a scegliere un vuoto neutro elettricamente

28 il meccanismo di Higgs allopera si trasformano come U(1) e SU(2 si trasformano come U(1) e SU(2 ) solita derivta covariante si studia V( ) termine di massa massa W massa Z massa massa

29 il mixing di B e W 3 garantisce che lo stato neutro non sia degenerato in massa con il carico, fino a che langolo di Weinberg è diverso da 0 misurare la quantità dovrebbe essere =1 qualsiasi deviazione è un segnale di un discostamento dal Modello Standard

30 le masse dei fermioni dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto in SU(2), possiamo scrivere uninterazione SU(2) invariante con i fermioni e Higgs boson dato che abbiamo il campo di Higgs come doppietto in SU(2), possiamo scrivere uninterazione SU(2) invariante con i fermioni e Higgs boson al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il valore di aspettazione del vuoto di Higgs v e la particella di Higgs neutra H al solito si definisce un doppietto,in cui ci sia il valore di aspettazione del vuoto di Higgs v e la particella di Higgs neutra H sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si osserva che resta un termine di massa per lelettrone ed un termine di vertice ( di interazione) elettrone-H, di cui si può calcolare laccoppiamento, che determina la probabilità di un elettrone o positrone di radiare un Higgs, o per un Higgs di decadere in e+e-. sostituendo nella Lagrangiana per i leptoni si osserva che resta un termine di massa per lelettrone ed un termine di vertice ( di interazione) elettrone-H, di cui si può calcolare laccoppiamento, che determina la probabilità di un elettrone o positrone di radiare un Higgs, o per un Higgs di decadere in e+e-. si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che implica che non interagiscono con il bosone di Higgs si è supposto che i neutrini abbiano massa=0, il che implica che non interagiscono con il bosone di Higgs é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione anche per quark é possibile scrivere una Lagrangiana di interazione anche per quark

31 Lagrangiana interazione leptoni,Higgs L g e è un termine arbitrario SU(2) invariante moltiplicare per il singoletto e R non cambia linvarianza questo termine è llHermitiano coniugato del primo valore di aspettazione del vuoto di Higgs particella neutra di Higgs (fisica) massa elettrone forza diaccoppi amento eH calcolo della probabilità di due elettroni di annichilitrsi in H o di un elettrone di emettere un H

32 Non cè un termine di massa per il neutrino massa = 0 Non cè un termine di massa per il neutrino massa = 0 Formalmente, non possiamo scrivere una L che contenga termini con il neutrino destrorso,che per ipotesi non esiste non interagisce con H. Formalmente, non possiamo scrivere una L che contenga termini con il neutrino destrorso,che per ipotesi non esiste non interagisce con H. R, se esiste, è difficile da trovare. Ha infatti T 3 =0,Q=0, e non si accoppia a W,Z 0 o R, se esiste, è difficile da trovare. Ha infatti T 3 =0,Q=0, e non si accoppia a W,Z 0 o Lagrangiana di interazione elettrone-bosone di Higgs L

33 masse dei quark Notare che se è un doppietto di SU(2), allora lo è anche c Notare che se è un doppietto di SU(2), allora lo è anche c Possiamo scrivere la L di interazione usando c Lipercarica di, Y=1 per c Y=-1 Q=T 3 +Y/2 L L


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