La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Automi Cellulari Parte III Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro Esempi.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Automi Cellulari Parte III Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro Esempi."— Transcript della presentazione:

1 Automi Cellulari Parte III Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro Esempi

2 La configurazione s t di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti) Def. di AC unidimensionale Se N è un numero finito bisogna specificare il comportamento ai margini dellarray. Nel seguito considereremo condizioni periodiche al bordo Al tempo t, ogni cella si trova nello stato s t i A={0,1,…,k-1}per i=0,1,…,N-1 cosicché s t A N t i = s t i-r,…, s t i,… s t i+r è il vicinato dell i-esima cella

3 Ancora sulla def. di AC unidimensionale è la funzione di transizione (aggiornamento) locale: S t+1 i = ( t i ) La lista di tutti i possibili vicinati con i corrispondenti nuovi stati per la cella centrale è chiamata tabella di aggiornamento dellAC Loperatore di aggiornamento globale : A N ->A N applica in parallelo a tutti i vicinati dellarray unidimensionale

4 Notazioni Nella definizione precedente, tra gli altri, compaiono i simboli k ed r r è i numero di celle alla sinistra (o alla destra) della cella centrale che fanno parte del vicinato; è chiamato raggio del vicinato k è il numero di stati in cui si può trovare una cella dellAC (per ora consideriamo k=2) da r si ricava la dimensione del vicinato: d = 2r+1

5 Esempi: AC 1D con r variabile stisti S t i+1 S t i-1 Intorno r=2 (d=5) S t i+2 S t i stisti S t i+1 S t i-1 Intorno r=3 (d=7) S t i+2 S t i-2 S t i-3 S t i+3

6 Lo spazio delle regole In un AC unidimensionale con k stati e raggio r (d=2r+1) esistono: k d intorni distinti Se k=2 ed r=2 (d=5) regole Se k=2 ed r=3 (d=7) …un numero esagerato! regole di transizione

7 Classificazione di Wolfram Wolfram ha classificato gli AC unidimensionali in base al loro comportamento dinamico Classe 1 Levoluzione porta ad uno stato omogeneo Classe 2 Levoluzione genera strutture stabili semplici e separate o strutture periodiche Classe 3 Levoluzione genera configurazioni caotiche Classe 4 Levoluzione genera strutture complesse localizzate, spesso durevoli nel tempo Reference: S. Wolfram, Universality And Complexity in Cellular Automata, Physica D, 10 (January 1984) 135, reperibile allindirizzo

8 Una regola semplice, la 4 (k=2, r=1) 010 va in 1, altrimenti in 0. La regola 4 conduce il sistema verso uno stato stabile (Classe I di Wolfram)

9 Una regola caotica, la 22 (k=2, r=1) 001,100,010 vanno in 1, altrimenti in 0. La regola 22 è una regola caotica (Class III di Wolfram)

10 Unaltra regola caotica, la 30 (k=2, r=1) 001, 100, 010, 011 vanno in 1, altrimenti in 0. La regola 30 è una regola caotica (Class III di Wolfram) Cioè, la regola 30 genera configurazioni con alto grado di casualità temporale e spaziale

11 Una regola complessa, la 54 (k=2, r=1) 001,100, 010,101 vanno in 1, altrimenti 0. La regola 54 è una regola complessa (Class IV di Wolfram)

12 Unaltra regola complessa, la 110 (k=2, r=1) 001,010,011,101,110 vanno in 1, altrimenti 0. La regola 110 è una regola complessa (Classe IV di Wolfram)

13 Lo stato quiescente Def. Lo stato s t i A ={0,1,…,k-1} si dice quiescente se S t+1 i = ( t i ) = s t i con t i = s t i-r,…, s t i,… s t i+r = s t i,…, s t i,… s t i Cioè, uno stato si dice quiescente se, trovandosi circondato da stati quiescenti, non cambia di stato Negli AC unidimensionali a stati discreti si suole considerare 0 come stato quiescente

14 Ancora sullo stato quiescente La regola =54 rispetta lo stato quiescente poiché lintorno 0 va in 0 (tramite ) La regola =1 non rispetta lo stato quiescente poiché lintorno 0 va in 1 (tramite ) Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno Intorno 0

15 Regole legali e non legali Def. Una regola di transizione si dice legale se rispetta lo stato quiescente (S. Wolfram, Statistical Mechanics of Cellular Automata, 1983 – –)www.stephenwolfram.com La regola =54 è, dunque, una regola legale La regola =1 è, invece, una regola non legale

16 Il parametro di Langton Il parametro, introdotto da C. Langton nel 1990, misura la percentuale di transizioni non quiescenti nella funzione di transizione dellAC dove: Nq = Numero di transizioni verso lo stato quiescente N = Numero di transizioni totali può essere visto come una funzione :R->[0,1] dove R rappresenta lo spazio delle regole di una data classe di AC (ad es. k=2, r=2)

17 Alcune considerazioni su Il parametro è un numero compreso tra 0 e 1, cioè: 0 1 vale 0 in corrispondenza della regola 000…0 vale 1 in corrispondenza della regola 111…1 non è una funzione iniettiva, infatti: ( ) = ( ) = 1-(4/8) = 0.5 Se è piccolo, la maggior parte delle transizioni saranno verso lo stato quiescente la dinamica del sistema convergerà rapidamente verso uno stato stabile

18 Il Margine del Caos Se è grande, vi saranno poche transizioni verso lo stato quiescente la dinamica del sistema sarà caotica Dunque, al crescere di si passa da dinamiche semplici, attraverso dinamiche molto complesse, a dinamiche del tutto casuali e imprevedibili Così attraversiamo le 4 clsassi di Wolfram nellordine: Class I -> Class II -> Class IV -> Class III Il valore di relativo alla transizione dalla Classe IV alla Classe III viene chiamato Margine del Caos

19 =0.1 (K=2, r=2) Regola

20 =0.2 (K=2, r=2) Regola

21 =0.27 (K=2, r=2) Regola

22 =0.4 (K=2, r=2) Regola

23 =0.402 (K=2, r=2) Regola

24 La non assoluta precisione di Landamento del parametro descrive qualitativamente il comportamento delle regole di evoluzione degli AC unidimensionali a stati discreti ripercorrendo le 4 classi di Wolfram Tuttavia non è un indicatore estremamente preciso del comportamento delle regole di evoluzione degli AC Questo vuol dire che in una zona di in cui le corrispondenti regole dovrebbero avere un comportamento dinamico ben preciso (ad es. complesso), cadono regole con comportamenti differenti (ad es. caotico)

25 Un interessante riferimento sulla Rete In conclusione segnalo il sito: dove, oltre ad alcuni argomenti trattati in questo seminario, si può giocare con un simulatore di AC unidimensionali


Scaricare ppt "Automi Cellulari Parte III Automi Cellulari Binari Unidimensionali con r>1 La classificazione di Wolfram Il margine del caos ed il parametro Esempi."

Presentazioni simili


Annunci Google