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La crisi della Fisica Classica Alcune situazioni sperimentali in cui la Fisica Classica" fallisce Effetto fotoelettrico Radiazione di corpo nero Linee.

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Presentazione sul tema: "La crisi della Fisica Classica Alcune situazioni sperimentali in cui la Fisica Classica" fallisce Effetto fotoelettrico Radiazione di corpo nero Linee."— Transcript della presentazione:

1 La crisi della Fisica Classica Alcune situazioni sperimentali in cui la Fisica Classica" fallisce Effetto fotoelettrico Radiazione di corpo nero Linee spettrali atomiche Proprietà ondulatorie degli elettroni Energia del fotoneImpulso del fotone Lunghezza donda di una particella Principio di indeterminazione Funzione dondaEquazione di Schrödinger Le cure arrivano da idee intrinsicamente quantistiche:

2 La Radiazione di Corpo Nero o di "cavità si riferisce ad un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente su di esso e ri-irraggia energia che è caratteristica del suo solo sistema irraggiante, e non dipende dal tipo di radiazione incidente. Lenergia irradiata può essere considerata come prodotta da onde stazionarie, o modi risonanti, della cavità che irraggia. La radiazione di Corpo Nero La quantità di radiazione emessa in una certa banda di frequenze dovrebbe essere proporzionale al numero di modi in quella banda. Secondo la Fisica Classica tutti i modi hanno la stessa probabilità di essere prodotti, ed il numero di modi possibili nella cavità cresce con il quadrato della frequenza. Tuttavia, la continua crescita di energia emessa con la frequenza (denominata "ultraviolet catastrophe") non avviene. La Natura è più saggia. modi di radiazione

3 Lespressione quantistica della energia media per modo si ottiene partendo dalla ipotesi di Planck: tutta la radiazione elettromagnetica è quantizzata e lemissione avviene per quanti di energia, che chiamiamo fotoni. Il quanto di energia di un fotone è dato dal prodotto della costante di Planck h per la frequenza. La nascita della Meccanica Quantistica Questa quantizzazione implica che un fotone di luce, di data frequenza e lunghezza donda, ha una energia quantistica fissata. Per esempio, un fotone di luce blu, che ha una lunghezza donda di 450 nm, avrà sempre una energia di 2.76 eV. Tutta la luce blu è formata da fotoni di questa energia, e trasporta energia in multipli di 2.76 eV. Non si può avere un mezzo fotone blu.

4 La frequenza disponibile è continua, senza limiti superiori o inferiori; quindi non vi alcuna restrizione circa la possibile energia di un fotone. Per quanto riguarda le energie alte, un limite pratico è semplicemente dovuto alla difficoltà di trovare meccanismi per la creazione di fotoni ad altissima energia. I fotoni di bassa energia invece abbondano; tuttavia, quando si scende sotto il limite delle frequenze radio, le energie dei fotoni sono così piccole, confrontate con le energie termiche a temperatura ambiente, che non si potranno mai isolare come singole entità quantizzate. Si perdono semplicemente nella energia di fondo presente. In altre parole, nel limite di basse frequenze la trattazione della radiazione elettromagnetica si fonde con la descrizione classica ed una trattazione quantistica non è più necessaria. Energia massima e minima, Meccanica Quantistica e Meccanica Classica

5 Densità di energia del Corpo Nero in funzione della frequenza Energia per unità di volume e di frequenza k = costante di Boltzman

6 Confronto tra la legge classica di Rayleigh-Jeans e la formula della radiazione quantistica di Planck. L esperimento conferma la relazione di Planck. Rayleigh-Jeans vs Planck

7 Curve di Radiazione

8 Leffetto fotoelettrico Gli aspetti incomprensibili delleffetto fotoelettrico quando si incominciò ad osservarlo erano: 1. Gli elettroni venivano emessi immediatamente - nessun ritardo! 2. Un aumento della intensità della luce causava un aumento del numero di fotoelettroni, ma non della loro energia cinetica! 3. La luce rossa non provoca emissione di elettroni, qualunque sia la sua intensità! 4. Una debola luce violetta causa lemissione di pochi elettroni, ma la loro energia cinetica è maggiore di quella ottenuta con luce più intensa di frequenza minore! Le caratteristiche delleffetto fotoelttrico erano in netta contraddizione con le predizioni della Fisica Classica. La spiegazione delleffetto segnò uno dei passi fondamentali verso la Teoria dei Quanti.

9 Lanalisi dei dati delleffetto fotoelettrico mostrò che lenergia degli elettroni emessi era proporzionale alla frequenza della luce incidente. Ciò mostrava che qualunque cosa estraesse gli elettroni dal metallo aveva unenergia proporzionale alla frequenza della luce. Il fatto sorprendente che lenergia dei singoli elettroni fosse indipendente dalla energia totale della luce incidente (cioè lintensità), mostrava che linterazione della luce con il metallo deve essere come quella di una singola particella che cede la sua energia allelettrone. Ciò è consistente con lipotesi di Planck, da lui applicata al problema della radiazione del Corpo Nero, secondo cui la luce è formata da quanti discreti (fotoni), ciascuno con energia: Leffetto fotoelettrico

10 I fenomeni luminosi più comuni possono essere spiegati e descritti mediante la natura ondulatoria della luce. Invece, leffetto fotoelettrico suggerisce una natura corpuscolare della luce.

11 Negli anni alla fine del 1900, si osservò che la luce emessa da gas luminosi non mostrava una distribuzione continua di lunghezze donda, ma formava un insieme discreto di colori, diversi per i vari gas. Queste "linee spettrali" si disponevano in una serie regolare e si giungerà ad interpretarle come transizioni tra livelli atomici di energia. Allora, rappresentavano un grosso problema per la Fisica Classica. Si sapeva che particelle cariche accelerate emettono onde elettromagnetiche, e ci si aspettava che orbite di elettroni intorno ai nuclei fossero instabili, in quanto, a causa della perdita di energia elettromagnetica emessa, sarebbero stati attratti dal nucleo. Non si poteva trovare alcun modello classico che portasse ad orbite stabili degli elettroni. Il modello atomico di Bohr segnò il passo fondamentale verso una moderna teoria atomica. Il punto fondamentale fu il postulato che il momento angolare è quantizzato, permettendo di ottenere solo specifici livelli di energia. In seguito, lo sviluppo della Meccanica Quantistica e lequazione di Schrödinger permisero di comprendere i postulati ed I risultati del modello allinterno di una teoria completa e consistente. Il problema degli spettri atomici R H, costante di Rydberg = –7 m –1 Helium spectrum Hydrogen spectrum i nteri

12 Nel modello di Bohr, questo risultato classico fu combinato con la quantizzazione del momento angolare, per ottenere unespressione dei livelli quantizzati di energia. Il modello atomico di Boh – Orbita classica dellelettrone

13 Nel modello di Bohr la lunghezza donda associata allelettrone è data dalla relazione di de Broglie (si vedano le trasparenze successive) a cui si unisce la condizione di stazionarietà: lunghezza della circonferenza = numero intero di lunghezze donda Queste due condizioni si combinano per dare lespressione quantizzata del momento angolare per lelettrone in orbita: Quindi L non solo è conservato (non dipende dal tempo), ma è costretto ad assumere valori discreti, multipli di h/2π secondo il numero quantico n. Questa quantizzazione del momento angolare è un risultato fondamentale e può essere usato per determinare I raggi e le energie delle orbite di Bohr. La quantizzazione del momento angolare

14 Combinando il procedimento seguito nel caso classico con la quantizzazione del momento angolare, lapproccio di Bohr fornisce le espressioni per i raggi e le energie delle orbite degli elettroni: da queste espressioni si ricava: energia cinetica dellelettrone espressa in funzione del momento angolare uso della condizione di quantizzazione energia cinetica orbitale classica vale per atomi idrogenoidi: Z protoni e 1 elettrone a 0 = –10 m = raggio di Bohr n = 1,2,3,…

15 I livelli di energia dellatomo di idrogeno sono in accordo con quelli del modello di Bohr. La descrizione pittorica usuale è quella di una struttura ad orbite (o gusci), con ogni orbita associata ad uno dei valori del numero quantico principale n. La descrizione dellatomo tramite le orbite del modello di Bohr è una utile visualizzazione; non bisogna tuttavia dimenticare che, come risulterà dalla Meccanica Quantistica, i concetti di orbita e raggio orbitale saranno sostituiti da concetti quali la distribuzione di probabilità di posizione. Livelli di energia dellatomo di idrogeno

16 Il modello di Bohr prevede che gli elettroni occupino una delle possibili orbite quantizzate, senza emissione di onde elettromagnetiche. Lemissione avviene quando lelettrone passa da unorbita allaltra; in questa transizione avviene lemissione di un fotone di energia pari alla differenza di energia tra le due orbite. Questa relazione può essere scritta come con Dallespressione dei livelli quantizzati di energia si ha

17

18 Anche se il modello di Bohr rappresentò un passo avanti fondamentale verso la costruzione della teoria quantistica degli atomi, non rappresenta in realtà la corretta descrizione teorica della natura delle orbite elettroniche. Le sue principali manchevolezze sono: 1. Non permette di capire perché certe linee spettrali sono più luminose di altre. Non vi è alcun meccanismo che permetta di calcolare la probabilità di transizione tra livelli atomici. 2. Il modello di Bohr considera gli elettroni come pianeti in miniatura, in rotazione intorno al nucleo con un ben preciso raggio ed impulso. Questo viola il principio di indeterminazione, secondo cui posizione ed impulso non possono essere esattamente determinati contemporaneamente. Il modello di Bohr ci fornisce un modello concettualmente semplice e fondamentale delle orbite e delle energie degli elettroni atomici. I dettagli dello spettro e della distribuzione di cariche sono ottenibili solo dai calcoli della Meccanica Quantistica e dellequazione di Schrödinger. Molti dei risultati del modello di Bohr (compresa la sua ipotesi di quantizzazione ) saranno ritrovati allinterno di una teoria completa e consistente. Le debolezze del modello di Bohr

19 Compton osservò la deflessione di raggi X da parte di elettroni, trovando che i raggi X deflessi avevano una lunghezza donda più grande di quella dei raggi incideni. La variazione della lunghezza donda aumentava con langolo di deflessione, secondo la formula (di Compton): Compton spiegò i dati assumendo una natura particellare della luce (fotoni) ed applicando la coservazione dellenergia e dellimpulso alla collisione tra un fotone e lelettrone. Il fotone deflesso ha unenergia minore e quindi una maggiore lunghezza donda, secondo la relazione di Planck. La natura particellare della luce – Lo scattering Compton

20 Lespressione precedente per Δλ può essere ottenuta imponendo la conservazione dellenergia e dellimpulso: conservazione dellenergia conservazione dellimpulso

21 Giovane studente a Parigi, Louis DeBroglie aveva appreso la relatività e leffetto fotoelettrico. Questultimo evidenziava la natura corpuscolare della luce, da sempre considerata un fenomeno ondulatorio. Egli si chiese se gli elettroni ed altre "particelle" potessero a loro volta esibire proprietà ondulatorie. Questo condurrà ad una nuova teoria. La conferma dellipotesi di DeBroglie arrivò grazie allesperimento di Davisson- Germer. Esso mostrò figure di interferenza – in accordo con la lunghezza donda di DeBroglie – per lurto di elettroni su cristalli di nickel. La natura ondulatoria dellelettrone

22 Quando i raggi X sono deflessi dal reticolo cristallino, si osservano picchi di intensità finale corrispondenti alla condizione di Bragg, secondo cui si hanno massimi quando la differenza di cammino di due raggi è uguale ad un multiplo intero della lunghezza donda. Tale formula può essere usata in più modi: conoscendo d e misurando theta, si ricava lambda, oppure conoscendo lambda si ricava d. Simili figure di interferenza furono osservate con elettroni. Lenergia degli elettroni, e quindi la loro lunghezza donda, può essere variata, variando il potenziale di accelerazione. Lesperimento di Davisson- Germer dimostrò che anche gli elettroni presentano fenomeni ondulatori, in accordo con la lunghezza donda di DeBroglie: lunghezza donda di un elettrone di impulso p

23 La lunghezza donda di DeBroglie

24 La luce consiste di particelle o di onde? La risposta dipende dai tipi di fenomeni che si osservano: Fenomeno Può essere spiegato in termini di onde Può essere spiegato in termini di particelle I più comuni fenomeni luminosi osservati possono essere spiegati come fenomeni ondulatori. Tuttavia leffetto fotoelettrico e lo scattering Compton suggerirono una natura particellare per la luce. Lo stesso dualismo onda-particella fu osservato anche per gli elettroni. La dualità Onda-Particella per la luce Refessione Rifrazione Interferenza Diffrazione Polarizzazione Effetto fotoelettrico Compton scattering

25 La funzione donda Ogni particella è rappresentata da una funzione donda Ψ (x,t) tale che Ψ* Ψ è la probabilità di trovare la particella nel punto x al tempo t. La funzione donda è soluzione dellequazione di Schrödinger. Questa equazione gioca lo stesso ruolo della legge di Newton e della conservazione dellenergia nella Meccanica Classica, cioè predice il comportamento futuro di un sistema dinamico. Predice analiticamente e precisamente le probabilità di eventi e risultati futuri. I dettagli dei risultati dipendono dal caso, ma, per un grande numero di eventi, lequazione di Schrödinger, predirrà la loro distribuzione statistica.

26 Le proprietà della funzione donda contiene tutte le informazioni fisiche (misurabili) sulla particella se la particella esiste, la probabilità totale di trovarla è 1 è continua (insieme alla sua derivata) permette il calcolo del valore medio (valore di aspettazione) di qualunque grandezza fisica Per una particella libera è unonda piana; ciò implica un preciso valore p dellimpulso e p 2 /2m dellenergia, ed una totale incertezza nella posizione

27 Lenergia cinetica e potenziale sono trasformate nelloperatore Hamiltoniano, che agisce sulla funzione donda per generarne levoluzione nello spazio e nel tempo. Lequazione di Schrödinger dà lenergia quantizzata del sistema (i possibili valori di E) e la forma della funzione donda, a partire dalla quale altre proprietà fisiche possono essere calcolate. Lequazione di Schrödinger

28 Per un potenziale generico U lequazione di Schrödinger unidimensionale ed indipendente dal tempo è In 3 dimensioni assume la forma per coordinate cartesiane. Può essere scritta in modo più compatto, introducendo loperatore Laplaciano Lequazione di Schrodinger può quindi essere scritta come: Lequazione di Schrödinger indipendente dal tempo

29 Lequazione di Schrödinger dipendente dal tempo, in una dimensione spaziale, ha la forma Per una particella libera, per la quale U(x) =0, la funzione donda, soluzione dellequazione, può essere scritta come unonda piana Per altri problemi, cioè per particelle soggette ad una forza, il potenziale non nullo rende la soluzione più difficile. La dipendenza spaziale della funzione donda è fissata dallequazione di Schrödinger indipendente dal tempo mentre levoluzione temporale da quella dipendente dal tempo Lequazione di Schrödinger dipendente dal tempo

30 I postulati della Meccanica Quantistica Associata ad ogni particella che si muove in un campo di forze conservative vi è una funzione donda, la quale determina tutte le informazioni ottenibili sul sistema. Ad ogni sistema fisico formato da una particella è associata una funzione donda. Questa funzione donda permette di ottenere tutte le informazioni possibili sul sistema. La funzione donda può anche essere complessa; è il prodotto con la funzione complessa coniugata che specifica la vera probabilità fisica di trovare la particella in un certo stato. 1. Il postulato della Funzione dOnda: ampiezza di probabilità, calcolata in x,t probabilità di trovare la particella in x,t

31 La funzione donda rappresenta lampiezza di probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio, ad un certo istante. La vera probabilità di trovare la particella è data dal prodotto della funzione donda (che può essere un numero complesso) con il suo complesso coniugato; il risultato è sempre un numero reale (lanalogo del quadrato, per una funzione complessa). Poiché la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte deve essere = 1, la funzione donda deve essere normalizzata. Cioè la somma delle probabilità, estesa a tutto lo spazio, deve essere 1. Ciò si esprime tramite lintegrale: La richiesta di avere funzioni donda normalizzabili svolge un ruolo molto importante nella ricerca delle soluzioni dellequazione di Schrödinger. Ad esempio, si può trovare che solo certi valori dellenergia permettono di ottenere soluzioni normalizzabili. Probabilità in Meccanica Quantistica Volume infinitesimo

32 Per ogni osservabile fisica q esiste un operatore associato Q, il quale, quando opera su una funzione donda associata ad un valore definito di quella osservabile, dà come risultato la stessa funzione donda moltiplicata per quel valore dellosservabile. 2. Il postulato degli operatori associati a grandezze fisiche Per ogni osservabile fisica si introduce un operatore matematico associato che agisce sulla funzione donda, dando come risultato, in generale, unaltra funzione. Supponiamo che la funzione donda Ψ n (autofunzione) sia associata ad un particolare valore q n (autovalore) della osservabile e che loperatore sia indicato con Q. Lazione delloperatore è data da: Loperatore matematico Q estrae il valore q n dellosservabile, operando sulla funzione donda che rappresenta quel particolare stato del sistema. Questo processo è collegato alla teoria della misura in Meccanica Quantistica. Ogni funzione donda di un sistema quantistico può essere rappresentata come una combinazione lineare delle autofunzioni Ψ n (si veda il postulato del sistema completo). Quindi loperatore Q può essere usato per estrarre una combinazione lineare di autovalori, ciascuno moltiplicato per un coefficiente; questo è legato alla probabilità di ottenere come risultato della misura proprio lautovalore corrispondente (si veda il postulato del valore di aspettazione).

33 Associato ad ogni grandezza misurabile di un sistema fisico vi è un operatore quantistico. In Meccanica Quantistica si descrivono i sistemi fisici mediante onde (la funzione donda), piuttosto che tramite particelle il cui moto e la cui dinamica possono essere descritti con precisione dalle equazioni deterministiche della Fisica di Newton. Questi operatori possono essere rappresentati in vari modi. Alcuni sono elencati qui di sotto:. In questa rappresentazione (detta di Schrödinger) degli operatori, le posizioni e le loro funzioni non cambiano, mente gli impulsi diventano derivate rispetto alla posizione. Loperatore dellenergia (Hamiltoniano) contiene derivate rispetto allo spazio ed al tempo. Operatori in Meccanica Quantistica

34 Ogni operatore Q associato ad una grandezza fisica osservabile è Hermitiano 3. Il postulato e le proprietà delloperatore Hermitiano Ogni operatore quantistico Q, associato ad una grandezza fisica reale e misurabile, deve essere Hermitiano, cioè soddisfare la seguente proprietà: dove Ψ a e Ψ b sono funzioni arbitrarie normalizzabili, e lintegrazione è su tutto lo spazio. La richiesta è fisicamente necessaria, in quanto assicura che i valori misurati (cioè gli autovalori) siano numeri reali. Teorema: se Q è Hermitiano, allora tutti i q i sono numeri reali Inoltre, se Q è hermitiano, per ogni i j si ha:

35 Linsieme delle autofunzioni di un operatore Hermitiano Q forma un insieme completo (una base) di funzioni linearmente indipendenti 4. Il teorema dellinsieme completo Linsieme delle funzioni Ψ j, che sono autofunzioni dellequazione agli autovalori forma un insieme completo di funzioni linearmente indipendenti. Esse formano una base: vale a dire che qualunque funzione donda che rappresenti il sistema può essere scritta come combinazione lineare delle funzioni della base: Ciò implica che qualunque funzione donda Ψ che descrive il sistema fisico può essere scritta come combinazione lineare delle autofunzioni di qualunque osservabile fisica del sistema.

36 Per un sistema descritto da una data funzione donda Ψ, si può calcolare il valore di aspettazione di qualunque grandezza fisica q, alla quale è associato loperatore Q. 5. Il postulato del valore di aspettazione Per un sistema fisico descritto da una funzione donda Ψ, il valore di aspettazione di una qualunque osservabile fisica q può essere espresso in termini del corrispondente operatore hermitiano Q e della funzione donda, nel modo seguente: La funzione donda deve essere normalizzata e lintegrale è esteso a tutto lo spazio. Questo postulato diviene intuitivo se si considera il postulato delloperatore Hermitiano e il teorema dellinsieme completo. La funzione donda può essere rappresentata come una combinazione lineare delle autofunzioni di Q, ed il risultato dellintegrale dà la somma di tutti i possibili valori fisici (gli autovalori di Q), ciascuno moltiplicato per un coefficiente (una probabilità). Lintegrale dà quindi la media pesata di tutti i possibili valori dellosservabile.

37 Un sistema fisico è descritto dalla funzione donda Ψ, la quale può sempre essere scritta come una combinazione lineare delle autofunzioni delloperatore Hermitiano Q: con la seguente interpretazione: una misura di Q per lo stato Ψ darà come risultato uno qualunque dei suoi autovalori q n, ciascuno con una probabilità |c n | 2. La condizione di normalizzazione della funzione donda implica: Una misura di Q forza il sistema a diventare uno dei possibili autostati (autofunzioni) di Q, Ψn: ogni eventuale misura successiva di Q darà sempre come risultato q n Se uno inserisce questa espressione nellintegrale del valore di aspettazione, trova

38 Levoluzione temporale della funzione donda è data dalla equazione di Schrödinger dipendente dal tempo. 6. L evoluzione temporale Se Ψ(x,y,z; t) è la funzione donda di un sistema fisico ad un tempo t ed il sistema è libero da interazioni esterne al sistema, allora levoluzione nel tempo della funzione donda è data dove H è loperatore Hamiltoniano formato a partire dallespressione dellHamiltoniana classica e sostituendo le osservabili classiche con i corrispondenti operatori quantistici. Il ruolo dellHamiltoniano nella dipendenza spaziale e temporale della funzione donda è espresso dalle equazioni di Schrödinger.

39 1. Associata ad ogni particella che si muove in un campo di forze conservative esiste una funzione donda, la quale contiene tutte le informazioni che si possono ottenere sul sistema. 2. Ad ogni osservabile fisica q corrisponde un operatore associato Q, il quale, quando opera sulla funzione donda associata ad un particolare valore di quella osservabile, dà come risultato la stessa funzione donda moltiplicata per quel valore dellosservabile. 3. Ogni operatore Q associato ad una proprietà fisica misurabile, è un operatore Hermitiano 4. Linsieme di autofunzioni di ogni operatore Hermitiano Q forma un insieme completo (o base) di funzioni linearmente independenti. 5. Per un sistema fisico descritto da una data funzione donda, il valore di aspettazione (o valor medio) di qualunque grandezza fisica q si trova calcolando lintegrale del valore di aspettazione rispetto a quella funzione donda. 6. Levoluzione temporale della funzione donda è dato dalla equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

40 Lequazione di Schrödinger non può essere dedotta; la sua validità viene dal confronto con i dati sperimentali. La naura ondulatoria di un elettrone è chiaramente confermata da esperimenti come quello di Davisson-Germer. Ciò fa sorgere la domanda: Cosa è questa natura ondulatoria?". La risposta, a posteriori, è che questa natura ondulatoria si manifesta attraverso la funzione donda dellelettrone. La soluzione dellequazione di Schrödinger per una particella libera è unonda piana, la quale contiene la relazione di deBroglie per limpulso e di Planck per lenergia. Una particella libera e lequazione di Schrödinger

41 E più facile mostrare la relazione con lequazione di Schrödinger scrivendo londa piana in forma esponenziale usando la relazione di Eulero. Questa è lespressione usuale per la funzione donda di una particella libera. Si può verificare che Ψ è autofunzione degli operatori impulso ed energia Il collegamento con lequazione di Schrödinger si può fare esaminando lespressione per lenergia per particelle e per onde (fotoni) Assumendo lequivalenza di queste due espressioni and inserendo I loro corrispondenti operatori quantistici, ci porta allequazione di Shrödinger

42 La posizione e limpulso di una particella non possono essere misurati simultaneamente con precisione arbitraria. Il prodotto delle incertezze delle due misure ha un minimo. Lo stesso principio vale per la misura contemporanea di energia e tempo. Questo principio non riguarda il limite proprio degli strumenti di misura, o limiti derivanti dalla accuratezza dei metodi sperimentali. Deriva dalle proprietà ondulatorie intrinseche alla descrizione quantistica della natura. Anche con strumenti e tecniche perfetti, questa incertezza rimane, intrinseca alla natura delle cose. Il principio di indeterminazione

43 La dualità onda-particella e la relazione di DeBroglie aiutano a comprendere tale principio. Man mano che si scende verso dimensioni atomiche, non è più valido considerare una particella come una sfera rigida, perché più piccole sono le dimensioni e più ondosa essa diviene. Non ha più senso dire che si conoscono precisamente la posizione e limpulso di tale particella.

44 La definizione esatta di Δx e Δp è

45 Il confinamento di particelle

46 Calcolo della energia di confinamento

47 La soluzione dellequazione di Schrödinger per latomo di idrogeno si ottiene più facilmente usando coordinate polari sferiche e separando le variabili, così che la funzione donda è rappresentata dal prodotto: La separazione conduce a tre equazioni separate per le tre variabili spaziali, e le loro soluzioni portano ai tre numeri quantici associati con i livelli di energia dellatomo di idrogeno. Latomo di idrogeno

48 La soluzione dellequazione di Schrödinger per latomo di idrogeno richiede di imporre la condizione che le funzioni donda siano normalizzabili. Queste soluzioni, per le tre funzioni separate delle tre variabili, possono esistere soltanto se certe costanti che appaiono nelle equazioni assumono valori interi. Ciò porta ai numeri quantici dellatomo di idrogeno: I numeri quantici per latomo di idrogeno n = principal quantum number l = orbital quantum number m l = magnetic quantum number

49 Il modello vettoriale per il momento angolare orbitale Il momento angolare orbitale per un elettrone atomico può essere visualizzato mediante un modello vettoriale, nel quale il vettore momento angolare effettua un moto di precessione intorno ad una direzione fissa nello spazio. Mentre la lunghezza del vettore ha il valore indicato, solamente un massimo di l unità of ħ può essere misurato lungo una certa direzione, dove l è il numero quantico orbitale. Anche se lo si definisce "vettore", il momento angolare orbitale in Meccanica Quantistica è un tipo speciale di vettore; infatti la sua proiezione lungo una direzione nello spazio è quantizzata, con valori che differiscono di una unità ħ. Il diagramma mostra che i possibili valori del numero quantico magnetico" m l (for l =2), sono

50 Lo spin di un elettrone, s = 1/2, è una proprietà intrinseca degli elettroni. In aggiunta al momento angolare orbitale gli elettroni posseggono un momento angolare intrinseco, caratterizzato dal numero quantico 1/2. In analogia al momento angolare orbitale, si ha: Lo spin dellelettrone m s = ½ spin su m s = – ½ spin giù I due stati di spin, su" e giù, permettono di avere due elettroni per ogni insieme degli altri numeri quantici

51 Due elettroni in un atomo non possono avere gli stessi numeri quantici. Questo è un esempio di un principio generale che si applica non solo agli elettroni, ma anche a tutte le altre particelle di spin semi-intero (fermioni). Non si applica alle particelle di spin intero (bosoni). Il Principio di Esclusione di Pauli La natura del principio di esclusione di Pauli può essere illustrata supponendo che gli elettroni 1 e 2 siano negli stati a e b rispettivamente. La funzione donda per il sistema dei due elettroni sarebbe Ma questa funzione donda è inaccettabile perché gli elettroni sono identici e non distinguibili. Ogni stato può essere occupato da uno qualunque dei due elettroni, e, per tener conto di ciò, dobbiamo usare una combinazione lineare delle due possibilità..

52 La funzione donda per il sistema in cui entrambi gli stati "a" e "b" sono occupati dagli elettroni può essere scritta come: Il principio di esclusione di Pauli è parte di una delle nostre più fondamentali osservazioni della natura: particelle identiche di spin semi-intero debbono avere una funzione donda antisimmetrica, mentre particelle identiche di spin intero debbono avere una funzione donda simmetrica. Il segno meno relativo tra i due termini costringe la funzione donda dei fermioni ad annullarsi identicamente se i due stati "a" e "b sono identici; ciò implica che è impossibile che entrambi gli elettroni occupino lo stesso stato.

53 Applicazioni del principio di esclusione di Pauli

54 I numeri quantici associati agli elettroni atomici, insieme al principio di esclusione di Pauli, forniscono le proprietà fondamentali per la costruzione delle strutture atomiche e la comprensione della Tabella Periodica degli Elementi. Lordine di occupazione dei livelli di energia atomici da parte degli elettroni avviene a partire da quelli di energia pù bassa, e prosegue consistentemente con il principio di Pauli. Lindicazione dei livelli segue lo schema della notazione spettroscopica. La Tabella Periodica degli Elementi Per un dato numero quantico principale n, vi sono 2n 2 diversi stati possibili (con la stessa energia).

55 Prima che la natura degli stati atomici degli elettroni fosse chiarificata dalla Meccanica Quantistica, lo studio degli spettri di radiazione emessi dagli atomi (spettroscopia) fece osservare lesistenza di serie tipiche, alle quali furono assegnate lettere. In funzione dei numeri quantici degli stati elettronici, la notazione è la seguente: La notazione spettroscopica

56 Man mano che la tabella periodica degli elementi è costruita, aggiungendo elettroni fino a raggiungere il numero atomico, sono occupati gli stati di energia più bassa, permessi dal principio di esclusione di Pauli. La massima occupazione di ciascun livello è determinata dai numeri quantici, ed il diagramma a sinistra illustra lordine di riempimento dei livelli energetici. Per un singolo elettrone lenergia è determinata dal numero quantico principale n, e quel numero quantico è usato per indicare la "shell (guscio)" in cui si sistemano gli elettroni. Per una data shell in atomi multi-elettronici, gli elettroni con un numero quantico orbitale l inferiore avranno energia più bassa, se si tiene conto della loro energia di interazione con gli altri elettroni. Questi livelli di energia sono specificati dai numeri quantici principali ed orbitali, usando le notazioni spettroscopiche. Quando si raggiunge il livello 4s, la dipendenza dal numero quantico orbitale è così forte che lenergia del livello 4s è inferiore a quella del livello 3d. A parte qualche piccola eccezione, lordine di riempimento segue lo schema indicato nel diagramma, con la freccia che indica i punti nei quali si procede verso shell successiva, piuttosto che verso il livello con un maggiore numero quantico orbitale nella stessa shell. Lordine di riempimento degli stati elettronici

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58 La divisione in gusci (shells) può suggerire lidea di un "modello planetario" per gli elettroni; anche se non è del tutto accurata, questa descrizione ha un valore mnemonico ed intuitivo per aiutare a comprendere la struttura degli elementi più pesanti.

59 La configurazione orbitale degli elettroni fornisce una schema utile per capire le reazioni chimiche, che sono guidate dal principio di trovare le configurazioni degli elettroni con energia più bassa (le più stabili). Si dice che il sodio ha una valenza di +1 poiché tende a perdere un elettrone, e il cloro ha una valenza di -1 poiché ha la tendenza ad acquistare un elettrone. Entrambi questi atomi sono molto attivi chimicamente, e la loro combinazione (cloruro di sodio) è il classico caso di un legame ionico.

60 Nel1924 Einstein notò che i bosoni possono "condensare" in numero illimitato in un singolo stato fondamentale, in quanto obbediscono alla statistica di Bose-Einstein e non hanno le restrizioni derivanti dal principio di esclusione di Pauli. Ciò fu poco notato, fino a quando il comportamento anomalo dellelio liquido a basse temperature fu studiato attentamente. Quando lelio è raffreddato alla temperatura critica di 2.17 K, avviene una impressionante cambio nel valore della capacità termica, la densità del liquido precipita e una parte di esso diventa "superfluido, a zero viscosità. La superfluidità è originata dalla frazione di atomi di elio che sono condensati alla più bassa energia possibile. Un effetto di condensazione è anche ritenuto responsabile per il fenomeno della superconduttività. Nella teoria BCS, coppie di elettroni si uniscono per formare le cosiddette coppie di Cooper, le quali si comportano come bosoni e possono condensare in uno stato di resistenza elettrica nulla. La condensazione di Bose-Einstein


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