La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Calcolando derivate dentro una pompa Gianluca Argentini Research & Development Dept. Riello Burners - Legnago (Verona) Seminari divulgativi di Matematica.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Calcolando derivate dentro una pompa Gianluca Argentini Research & Development Dept. Riello Burners - Legnago (Verona) Seminari divulgativi di Matematica."— Transcript della presentazione:

1 Calcolando derivate dentro una pompa Gianluca Argentini Research & Development Dept. Riello Burners - Legnago (Verona) Seminari divulgativi di Matematica Dipartimento di Informatica 26 aprile 2006 Università degli Studi di Verona

2 1. Scopo di un bruciatore: trasformare energia potenziale e meccanica in energia termica tramite il fenomeno fisico-chimico della combustione 2. Metodi per raggiungere lo scopo: prelievo del combustibile tramite opportuni strumenti immissione forzata di comburente e combustibile in una apposita camera (testa di combustione) mantenimento e controllo della combustione ottimizzazione dei processi per efficienza e rispetto normative Introduzione

3 Il bruciatore come oggetto fisico

4 una pompa presenta problematiche di progettazione della geometria dei rotismi interni e aspetti fisici descrivibili con strumenti matematici avanzati la testa di combustione può offrire drastiche variazioni di efficienza a seconda delle sue caratteristiche geometriche e strutturali la fluidodinamica di comburente e combustibile allinterno dei singoli componenti è (al momento) affrontabile quasi esclusivamente con metodi numerici il controllo e regolazione di un bruciatore si basano su meccanismi di feedback descrivibili con strumenti matematici sofisticati Un bruciatore è (anche) un problema matematico

5 E il principale dei problemi: trovare i campi di temperatura, pressione, quantità e velocità dei singoli elementi chimici che partecipano al fenomeno della combustione Non esiste al momento una soluzione analitica (esprimibile mediante formule), si trovano solo soluzioni numeriche approssimate mediante luso di computers Una simulazione completa (caso metano-aria) richiederebbe luso di circa 250 specie chimiche, quindi più di 500 incognite: al momento, già una simulazione numerica con 3 specie chimiche (metano, ossigeno, anidride carbonica) risulta difficile Simulare la fiamma: un problema differenziale

6 Simulazione numerica di una fiamma premixata metano-aria in dominio bidimensionale rettangolare: trovare le isoterme e le velocità di flusso di metano e ossigeno confronto coi dati sperimentali (figura accanto) (accordo UniVR-Riello, prof. De Marchi e collaboratori, da marzo 2006) Una collaborazione con lUniversità di Verona

7 La testa di combustione determina qualità energetica e forma geometrica della fiamma Combustibile e comburente vengono incanalati in vie geometriche separate fino al loro incontro nella zona di sviluppo della fiamma (camera di combustione) Battere in testa - 1

8 Testa per gas con iniezione tramite canali convergenti su angolatura discretizzata Battere in testa - 2

9 Testa per combustibile liquido con iniezione tramite ugello centrale Battere in testa - 3

10 Testa con alette direzionali per un flusso daria a simmetria circolare Battere in testa - 4

11 Testa a geometria variabile, disco fiamma forato per lapporto daria Battere in testa - 5

12 La fiamma riscalda il disco-fiamma da cui si propaga, per cui sorgono (anche) problemi di deformazione da stress termico Lo studio di tale problematica comporta conoscenze di tipo tecnico- strutturale (resistenza dei materiali) e fisico (rapporto deformazione- temperatura), ma una comprensione completa del fenomeno richiede la soluzione di un problema matematico: lanalisi matematica è lo strumento strettamente necessario Un problema col disco fiamma

13 Lo stress termico induce comparsa di cricche nel disco-fiamma Prima di uno studio analitico del problema, conviene sempre eseguire una simulazione (informatizzata) per ottenere i dati numerici da sottoporre allanalisi simbolica Disco fiamma - 1

14 La simulazione riproduce la formazione della cricca ed evidenzia i valori numerici critici che legano temperatura e caratteristiche fisiche del materiale usato Viene formulata una ipotesi costruttiva per favorire una dilatazione non vincolata del disco (ing. De Luca, 2006) Disco fiamma - 2

15 Analisi matematica sulla bontà dellipotesi costruttiva: scelta di un opportuno dominio in cui eseguire lanalisi scelta dellopportuno sistema di riferimento (spesso le coordinate cartesiane non sono le migliori) uso di eventuali simmetrie (aiutano la formulazione delle condizioni al contorno) semplificazione realistica ma senza alterazione dei dati sperimentali o conosciuti Disco fiamma - 3

16 il dominio geometrico: considerazioni di simmetria inducono alla scelta di un settore circolare centrato nellasse mediano dellelemento progettuale sporgente dal bordo del disco per lo stesso motivo, il sistema di riferimento opportuno è quello delle coordinate polari (r, ) con r distanza dal centro geometrico del disco e sfasamento angolare rispetto allasse mediano Fisica del problema: equazione di diffusione della temperatura equazioni della deformazione termica Disco fiamma - 4

17 Temperatura: dipende dalle due coordinate polari e dal tempo, nellequazione si considerano derivate parziali per cui lequazione è dove il secondo membro è loperatore di Laplace o laplaciano Disco fiamma - 5

18 Deformazione: è un vettore (u, con le due componenti radiale e angolare il legame tra deformazione e temperatura è fornito dallo stress termico, dato dalla differenza tra valore corrente e valore iniziale di riferimento per T: T = T - T i si applica la Legge di Hooke, per cui le equazioni per le deformazioni sono Disco fiamma - 6

19 la risoluzione analitica esatta di un problema differenziale è (con gli strumenti matematici attuali) possibile solo in pochi casi il problema del disco-fiamma può essere risolto in modo esatto col metodo (classico) della separazione delle variabili che disaccoppia le variabili nella soluzione e trasforma lequazione a derivate parziali in tre equazioni differenziali ordinarie che si risolvono con metodi analitici classici, imponendo le condizioni al contorno Disco fiamma - 7

20 si perviene a soluzioni esprimibili in forma analitica: con successiva facile visualizzazione grafica di particolari aspetti fisici: vettore deformazione lungo il bordo del disco-fiamma deformazione fisica del bordo Disco fiamma - 8

21 Poi cè la ricaduta applicativa: lelemento aggiuntivo sul bordo si deforma praticamente solo in senso radiale la presenza di deformazione angolare a destra e a sinistra dellelemento consiglia di spostare verso il basso i due fori per le sonde fiamma Disco fiamma - 9

22 Insegnamenti ricavati dallo studio del modello: possibilità di conoscere come una grandezza di interesse applicativo (es. u ) dipenda analiticamente dai parametri fisico- geometrici (es. t, r, ) (cosa non facile da ottenere con software simulativo) limpostazione del modello matematico di un problema fisico- ingegneristico si basa in modo essenziale sulla conoscenza di concetti fisici e tecnici la sua eventuale risoluzione è competenza quasi esclusiva del matematico (applicativo), che si avvale di concetti e metodi propri della Matematica pura (es. un aspetto particolarmente delicato è la questione dellunicità di soluzione) Disco fiamma - 10

23 Pompa a lobi (tipo gerotor) per gasolio: determinare la pressione del liquido nei vani tra corona esterna e pignone interno Alcuni software di fluidodinamica computazionale (CFD) riescono a simularne il comportamento, ma in base a quali equazioni funziona una pompa? Derivate dentro una pompa

24 E un problema di stretta correlazione tra geometria delle curve piane parametrizzabili: un punto cartesiano del pignone o della corona è dato da algebra delle matrici: la rotazione indotta dal pignone sulla corona viene espressa da una matrice di rotazione di angolo Pompa - 1

25 analisi in serie di Taylor : i punti di contatto geometrico virtuale tra corona e pignone possono essere trovati tramite espansione locale dellequazione di intersezione tra le due curve elaborato un metodo che tramite espansioni fino al 6° grado permette di ottenere risultati molto accurati circa le coordinate del punto di contatto usuali software matematici si sono rivelati meno precisi nel calcolo dei contatti e presentano il rumore di fondo dato dalle soluzione complesse Pompa - 2

26 analisi di Gauss-Green: il calcolo del volume di un vano viene ricondotto da un integrale di superficie ad uno di linea, molto più facile da calcolare per via numerica D P0P0 P1P1 Le quantità del tipo x dt possono essere discretizzate come x k+1 - x k = x(t k +dt) - x(t k ) che è una espressione del Teorema di Lagrange e fornisce la derivata come differenza finita (in avanti) Pompa - 3

27 fisica dei fluidi reali: lolio in pompa viene compresso nella zona intermedia tra quella di aspirazione e quella di mandata, per cui la sua pressione aumenta in modo notevole (ing.i De Luca, Lovato, 2005) = velocità angolare pignone Q = portata istantanea nel vano K = coefficiente di comprimibilità olio Ma in certe situazioni, per una migliore modellazione, si usa la Legge di Van der Waals dei fluidi reali Pompa - 4

28 Simulazione computazionale: calcolo dei volumi istantanei dei vani con passo angolare di 1°, quindi calcolo della pressione istantanea su CPU Xeon 3.2 GHz: 360 configurazioni calcolate in circa 20 minuti con 1.5 GB di allocazione RAM (Mathematica 5.2) i risultati ottenuti concordano con quelli ottenuti con software fluidodinamico o con metodi sperimentali (Politecnico TORINO) Pompa - 5

29 Conclusioni dallo studio eseguito: la convergenza di conoscenze da più discipline permette la costruzione di un modello simbolico e computazionale che descrive in modo soddisfacente un complesso processo reale anche in questo caso laspetto computazionale si basa in modo essenziale nellapplicazione di strumenti e metodi della Matematica pura (Algebra, Analisi, Geometria) (software commerciali di fluidodinamica danno gli stessi risultati di software matematici molto meno costosi) Pompa - 6

30 Cavitazione: uno dei principali problemi nel funzionamento di macchine a fluido bolle daria possono formarsi allinterno dei vani di una pompa per problemi di tenuta, per anomalie di aspirazione, per geometria non ottimizzata tre principali conseguenze negative: minore efficienza danni fisici su superfici aumento rumorosità Un problema di bolle

31 Si vuole costruire un modello matematico che possa calcolare il tempo di collasso impiegato da una bolla di gas per implodere dentro un vano di una pompa possa stimare il massimo numero di giri del rotore interno per evitare che la bolla impedisca la lubrificazione tra corona e pignone, con loro contatto fisico Per avere attinenza col caso ingegneristico reale, si usa la geometria effettiva a 8 lobi ( ia - fm = 2 /9 ) con liquido a viscosità non nulla Collasso di una bolla - 1

32 tempo massimo di permanenza in pompa per una bolla: tempo teorico di collasso per una bolla: se tc = 0 sec, la bolla collassa subito se tc = 0 sec, la bolla collassa allultimo istante utile in prima approssimazione, si può usare come tempo teorico di collasso una media pesata dei due precedenti: (da confrontare con quello effettivo calcolato col modello, in modo da avere una stima massima per ) Collasso di una bolla - 2

33 La bolla viene modellata come una sfera, con raggio R = R(t) variabile nel tempo con velocità radiale v = v(R, t) Usando le equazioni di Navier- Stokes della fluidodinamica, trattando il problema con coordinate polari si perviene allequazione differenziale ordinaria = densità del fluido in pompa = viscosità del fluido a = coefficiente dipendente dalla pressione del fluido Collasso di una bolla - 3

34 la precedente equazione è non lineare e non esiste una soluzione esprimibile in forma simbolica la sua risoluzione numerica, usando differenze finite allindietro (backward differentiation, Mathematica 5.2), dà il seguente risultato per il tempo di collasso: ma si vuole ottenere una soluzione simbolica per vederne la dipendenza dai parametri fisico-geometrici: si usa il Teorema della Funzione Implicita di Dini (1883) (è un caso generale del metodo della linearizzazione) e lequazione diventa Collasso di una bolla - 4

35 la soluzione al problema può essere così calcolata con metodi analitici: il tempo di collasso calcolato mediante la formula R(t c ) = 0 è che quindi differisce da quello numerico per un termine dellordine del decimo di millisecondo Collasso di una bolla - 5

36 Considerazioni : il modello matematico permette di ottenere la dipendenza analitica del tempo di collasso dalla densità e dalla pressione del fluido in pompa il tempo effettivo di collasso, calcolato col metodo analitico da una equazione approssimata, è in ottimo accordo con quello calcolato col metodo numerico dallequazione originale il modello si basa solo sullapplicazione di metodi strettamente matematici e non dipende da metodi computazionali un classico teorema di Analisi matematica pura risulta fondamentale nel risolvere un problema concreto di Ingegneria strutturale Collasso di una bolla - 6

37 Data lequazione (non polinomiale) esiste una sua soluzione nellintervallo (-1,1) ? il primo membro è la derivata f (x) di f è continua in [-1,1] e derivabile in (-1,1), inoltre f(-1) = f(1) per il Teorema di Rolle, esiste un valore x 0 in (-1,1) tale che f (x 0 ) = 0, per cui lequazione di partenza ha soluzione Per finire: Monsieur Rolle ( )...

38 Data lequazione (non lineare) esiste una sua soluzione non nulla nello spazio C 2 ([0, tc ], ) delle funzioni con derivata seconda continua? In analogia con Rolle, il primo membro potrebbe essere la derivata (differenziale di Fréchet) di un funzionale F definito su C 2 ([0, tc ], ) esiste una funzione u 0 in C 2 ([0, tc ], ) tale che F(u 0 ) = 0 ? (è un esempio, in generale molto difficile da risolvere, di un problema di esistenza in Matematica pura) … e Monsieur Fréchet ( )

39 la Matematica applicata, quando usata in problemi concreti, è Matematica di cui si applicano metodi e concetti (v. studio e risoluzione di equazioni differenziali) lapplicazione deve prevedere in generale luso di metodi e concetti provenienti da altre discipline (v. in questo caso Fisica, Chimica, Ingegneria), per cui il matematico è tenuto a interagire con altre risorse e competenze spesso questioni apparentemente astratte (v. esistenza) hanno ricadute applicative molto significative (vale anche il viceversa, come ha insegnato Newton) Grazie per lattenzione Applicando la Matematica


Scaricare ppt "Calcolando derivate dentro una pompa Gianluca Argentini Research & Development Dept. Riello Burners - Legnago (Verona) Seminari divulgativi di Matematica."

Presentazioni simili


Annunci Google