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Strumentazione per bioimmagini Operazioni elementari, Trasformata di Fourier e Trasformata Radon.

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Presentazione sul tema: "Strumentazione per bioimmagini Operazioni elementari, Trasformata di Fourier e Trasformata Radon."— Transcript della presentazione:

1 Strumentazione per bioimmagini Operazioni elementari, Trasformata di Fourier e Trasformata Radon

2 Proiezioni f(x,y) p θ (x) x x y θ y fascio proiettante Ogni linea ortogonale a e distante t k dallorigine ha espressione parametrica:

3 Trasformata di Radon La notazione evidenzia che langolo e un parametro, piu che una variabile indipendente f(x,y) p θ (x) x y θ y fascio proiettante x

4 Trasformata Radon: esempio f(x,y)

5 Trasformata di Radon: sinogramma

6 Trasformata Radon RT θ x sinogramma Esempi:

7 Teorema della sezione centrale La trasformata di Fourier della proiezione p (trasformata di Radon) di f(x,y) dato θ, è pari alla trasformata di Fourier 2D di f(x,y) valutata su una retta passante per lorigine delle frequenze con angolo θ. v θ u F( u, v ) FT 1D P θ (w) f(x,y) p θ (x) x y θ y

8 Teorema della sezione centrale Si dimostra a partire dalla F(u,v) valutata lungo la retta w di direzione θ nel piano delle frequenze: cambio di variabili: x,y x,y (matrice di rotazione)

9 Teorema della sezione centrale Attraverso la RT e possibile stimare la F(u,v). La FT della trasformata Radon campiona lo spazio delle frequenze con un reticolo polare. Linversione della RT attraverso linversione della FT richiede la ricostruzione del reticolo ortogonale v u interpolazione le alte frequenze vengono interpolate male con conseguente bassa resa dei dettagli u v

10 Lidea più semplice è che data una frequenza w, ad essa venga associato un peso proporzionale alla distanza dai campioni più vicini con lo stesso modulo |w|. Lidea della ricostruzione filtrata u v Date K proiezioni, il peso per un campione w è 2 |w|/K


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