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Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2007-2008 1 ottobre – 1 dicembre 2007.

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1 Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico ottobre – 1 dicembre 2007

2 Quante geometrie? Felix Klein, 1872, Programma di Erlangen S, insieme di punti G, gruppo di trasformazioni di S Ricerca delle proprietà che non variano

3 Figure equivalenti rispetto a G F, F sottoinsiemi di S, figure φ: S S bigettiva (trasformazione) φ Є G F equivalente a F rispetto a G F G F se F = φ(F) La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva

4 Il programma di Erlangen La geometria dello spazio S dotato del gruppo G è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G. Figure equivalenti rispetto a G hanno le stesse proprietà geometriche.

5 Trasformazioni in natura: ombre Raggi del sole a perpendicolo: figura e ombra hanno lati e angoli uguali (isometria, trasformazione euclidea) Lampada sulla verticale: figura e ombra sono simili Figure da M. Menghini

6 Altre ombre e trasformazioni Ombra prodotta dai raggi del sole: i quadrati diventano parallelogrammi, trasformazione affine Ombra da una lampada: i quadrati si proiettano in quadrilateri generici, proiettività Figura da M. Menghini Figura da M. Menghini

7 Perché la geometria proiettiva? modello matematico che spiega linsieme delle tecniche – la prospettiva - trovate dai pittori del Rinascimento Leon Battista Alberti, De pictura, 1435 Piero della Francesca, De prospectiva pingendi, 1482 Albrecht Dürer, Larte della misura, 1525

8 Pittura e geometria A. Dürer) poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere larte... (A. Dürer) Euclide, Ottica, stampata a Venezia nel 1505 Desargues, La prospettiva, and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html

9 Che cosa è la prospettiva? Per farcene unidea, cominciamo osservando alcuni quadri Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo Le geometrie della visione di Catastini- Ghione Per i disegni, è stato usato un software di geometria

10 Confrontate questo dipinto… Duccio da Boninsegna (ca ) Nozze di Canaan

11 …con questo dipinto Raffaello Sanzio ( ) Sposalizio della vergine

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14 Il modello della piramide visiva (figura da E.Danti, )

15 I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un piano

16 Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta

17 Se P descrive una retta del pavimento, P..... Nel piano definito dallocchio e dalla retta osservata, i raggi visivi stabiliscono una corrispondenza tra la retta osservata e la sua immagine sul quadro CabriII Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento?

18 Rette parallele sono viste incidenti Rette parallele sono viste incidenti

19 Il punto di fuga

20 Punti allinfinito Le immagini di due rette parallele si intersecano in un punto Il punto di fuga si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, il punto allinfinito La proiezione dallocchio è una corrispondenza quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine Con lintroduzione dei punti allinfinito diviene bijettiva

21 La proiezione, funzione dispettosa Ogni punto P dello spazio, diverso da O (occhio) ha una ben definita immagine sul piano del quadro se la retta OP è parallela al quadro, limmagine di P è un punto allinfinito se la retta OP è parallela al quadro, limmagine di P è un punto allinfinito Ogni punto P del quadro è immagine degli infiniti punti della retta OP Fissato un piano diverso dal quadro,ogni P del quadro è immagine di un solo P Fissato un piano diverso dal quadro,ogni P del quadro è immagine di un solo P

22 Pavimento e quadro La proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro Linea di terra: retta comune ai due piani I punti della linea di terra hanno come immagine se stessi

23 Il pittore disegna su un semipiano Studiamo la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadro Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmento

24 Lomologia di Piero della Francesca

25 Il pavimento e le alzate

26 Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi

27 Nello spazio ampliato Si estendono agli elementi impropri proprietà valide per quelli propri: Due punti allinfinito individuano una retta allinfinito che li contiene entrambi Due punti allinfinito individuano una retta allinfinito che li contiene entrambi Due rette allinfinito hanno in comune uno ed un solo punto allinfinito Due rette allinfinito hanno in comune uno ed un solo punto allinfinito

28 Senza distinguere propri, impropri Due punti individuano una retta a cui appartengono (retta congiungente) Due punti individuano una retta a cui appartengono (retta congiungente) Tre punti che non appartengono ad una stessa retta, individuano un piano a cui essi appartengono (piano congiungente) Due piani individuano una retta, che appartiene ad entrambi (loro intersezione) Tre piani, che non appartengano ad una stessa retta, individuano un punto, in cui si tagliano

29 Senza distinguere propri, impropri Un punto ed una retta che non si appartengono, individuano un piano (congiungente) a cui appartengono entrambi Se due punti di una retta appartengono a un piano, la retta appartiene al piano Due rette per uno stesso punto appartengono ad uno stesso piano Un piano ed una retta, che non si appartengano, individuano un punto (intersezione) che appartiene a entrambi Se due piani per una retta contengono un punto, la retta passa per il punto Due rette appartenenti ad uno stesso piano passano per uno stesso punto

30 La geometria proiettiva sintetica Le proposizioni precedenti vengono prese a fondamento della teoria Teoria assiomatica: nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione di appartenenza nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione di appartenenza assiomi grafici assiomi grafici Dualità: ogni assioma grafico si cambia in un altro se si scambiano le parole punto e piano

31 Geometria proiettiva algebrica analitica: punti, rette, piani sono determinati da coordinate o da equazioni omogenee Coordinate omogenee Quoziente di uno spazio vettoriale

32 Indice indicativo Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementare Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette Spazi proiettivi, dualità Proiettività del piano, omologia Affinità, isometrie Polarità, coniche e quadriche Classificazioni proiettive e affini Classificazioni proiettive e affini

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