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1 DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE Lo strato limite è lo strato di fluido in prossimità di una parete solida dove lazione della viscosità mantiene la velocità

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Presentazione sul tema: "1 DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE Lo strato limite è lo strato di fluido in prossimità di una parete solida dove lazione della viscosità mantiene la velocità"— Transcript della presentazione:

1 1 DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE Lo strato limite è lo strato di fluido in prossimità di una parete solida dove lazione della viscosità mantiene la velocità prossima a quella della parete. Se la parete è ferma, allora la velocità normale e tangenziale alla parete sono nulle, mentre vicino alla parete sono piccole rispetto a quelle del moto non viscoso ( a potenziale) che si instaura lontano dalla parete. Si consideri il moto a potenziale attorno al corpo riportato sotto. Le linee di corrente sono rettilinee molto lontano dalloggetto. Il moto a potenziale è soggetto ad una accelerazione attorno al corpo. Inoltre esso soddisfa la condizione di velocità normale nulla alla parete ma non la condizione di non-slittamento alla parete.

2 2 Moto a potenziale attorno un oggetto Il moto a potenziale subisce un accelerazione attorno al corpo. Così u( u/ s) > 0 lungo le linee di corrente vicino loggetto dal punto di stagnazione fino alla sezione A – A.

3 3 Moto effettivo attorno un oggetto Se il corpo è fermo, vi è una regione (per quanto piccola) dove la velocità decade a zero. Tale regione è lo strato limite. Esso è descritto dal numero di Reynolds: lo spessore dello strato limite diminuisce allaumentare del numero di Reynolds. Consideriamo il caso di numeri di Reynolds alti (ma non tanto da avere moto turbolento) Strato limite

4 4 Coordinate locali e spessore dello strato limite Si definisca x la coordinata locale longitidinale ed y quella locale normale alla parete. Sia inoltre (x) una misura dello spessore dello strato limite.

5 5 Equazioni di Navier-Stokes e di Continuità per il caso 2D Poichè x-y è un sistema di coordinate locali, esse definiscono un sistema di riferimento curvilineo. Se la curvatura non è troppo alta, le equazioni del moto bidimensionale stazionario (permanente) possono essere approssimate a quelle valide per il sistema cartesiano: N.B: è usata qui solo la pressione dinamica p d. Infatti la pressione totale può essere decomposta come p = p h + p d,, dove la pressione statica p h si elide con il termine gravitazionale.

6 6 SCALING La scala caratteristica della velocità nella direzione x è la velocità del moto libero U lontano da parete. La scala spaziale caratteristica nella direzione x è la lunghezza del corpo L. L U

7 7 Analisi dimensionale dellequazione di continuità dentro lo strato limite Lequazione di continuità è Il termine u/ x è di ordine Consideriamo ora lequazione dentro lo strato limite. Se la scala spaziale nella direzione normale (y) è assunta pari a (cioè lo spessore dello strato limite) e la velocità normale è di ordine V, segue dalla stima v/ y ~ V/ e dalla relazione che Ne consegue che se /L << 1 allora V/U << 1. L U

8 8 Lequazione della quantità di moto longitudinale è Ricordando dal teorema di Bernoulli che p d è di ordine U 2 e dalla slide precedente che V ~ ( /L) U, i termini dellequazione sono di ordine: Moltiplichiamo ora le sopradette stime per L/U 2 in modo da ottenere le scale adimensionate per ogni temine relativamente alla scala U 2 /L: Ricordate: 2 u/ x 2 è di ordine U/L 2, e non U 2 /L 2. Analisi dimensionale dellequazione della quantità di moto longitudinale allinterno dello lo strato limite

9 9 Dalla slide precedente, la nostra stima dei termini nel bilancio della quantità di moto nello strato limite risulta dove è il numero di Reynolds. Il caso che vogliamo studiare è per alti numeri di Reynolds, così che 1/Re << 1.

10 10 I termini viscosi nelle equazioni di Navier-Stokes sono generalmente più piccoli degli altri termini quando il numero di Reynolds è alto. Tuttavia questo non è vero ovunque. Deve infatti esistere una piccola regione dove leffetto della viscosità diventa importante, tanto da portare la velocità tangenziale a zero in prossimità sulla parete. Tale regione è lo strato limite. Così questo termine può essere trascurato (Re <<, 1), Ma questo termine deve essere mantenuto, indipendentemente dal valore di Re. Così nello strato limite vale la stima

11 11 Cosa implica tale stima ? La relazione di scala implica che lo strato limite diminuisce se il numero di Reynolds Re = (UL)/ aumenta, ma non si annulla mai fintanto che Re rimane finito! Fuori dallo strato limite leffetto della viscosità può essere completamente trascurato nel bilancio di quantità di moto longitudinale, e dentro lo strato limite lequazione diventa: L U Questo termine è fondamentale per portare a zero la velocità alla parete

12 12 Lequazione per la quantità di moto in direzione normale è Ricordando da Bernoulli che p d scala secondo U 2, i termini scalano come: Inoltre ricordando che V ~ ( /L)U e moltiplicando ogni termine per ( /U 2 ), si ottengono le seguenti scale adimensionate: Analisi dimensionale dellequazione della quantità di moto normale allinterno dello lo strato limite

13 13 SCALING OF THE NORMAL EQUATION OF MOMENTUM BALANCE contd. Dalla slide precedente Ma dalla Slide 14, ( /L) ~ (Re) -1/2, quindi la stima diventa Implicando che per alti valori di Re si ottiene,

14 14 WHAT DOES THIS ESTIMATE OF PRESSURE SAY? Per valori alti di Reynolds lequazione di bilancio per la quantità di moto nella direzione normale si riduce: Significa che la pressione dinamica p d (x,y) può essere considerata una costante allinterno dello strato limite. Chiamiamo p pd (x,y) la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione del moto a potenziale. Segue allora che p d (x) allinterno dello strato limite può essere ricavato da p pd (x,0): L U Quindi la soluzione di ogni problema di strato limite richiede anche la soluzione per il moto non viscoso (moto a potenziale).

15 15 Lapprossimazione per lo strato limite delle equazioni di Navier Stokes Le equazioni per lo strato limite sono: dove p pdp (x) denota la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione di moto a potenziale estrapolata sulla superficie del corpo. Le condizioni al contorno sono L U Così che le componenti tangenziali e normali sono nulle alla parete. Inoltre u deve tendere alla soluzione di moto a potenziale per alti valori di y.


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