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Circuiti e Componenti Ottici Marco Farina. Modalità esame: prova orale Testo di riferimento Componenti e Circuiti Ottici, Tullio Rozzi e Andrea di Donato.

Copie: 2
Tredicesima Lezione Relazioni energetiche e Condizioni al contorno per le Equazioni di Maxwell.

Incidenza Obliqua TM H E y x z TM rispetto y e z (E nel piano incidenza) (Vedere nel corso di microonde il perché di questa relazione)

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1 Circuiti e Componenti Ottici Marco Farina

2 Modalità esame: prova orale Testo di riferimento Componenti e Circuiti Ottici, Tullio Rozzi e Andrea di Donato

3 Leggi di Maxwell + Tutto sui campi EM ed i loro effetti!

4 Relazioni costitutive Nel caso particolare di mezzo omogeneo (proprietà indipendenti dalla posizione), isotropo (indipendenti dalla direzione), lineare (mezzo non modificato dal campo che lo attraversa) e senza memoria (proprietà indipendenti dal tempo), il vettore di Polarizzazione che riassume come reagisce il mezzo al campo è Invece per il campo magnetico introduciamo un vettore di magnetizzazione M Per cui

5 In generale Un campo elettrico è prodotto: n o da cariche elettriche n o da un campo magnetico che varia nel tempo Un campo magnetico è prodotto: n o da correnti elettriche n o da un campo elettrico che varia nel tempo Possiamo avere un campo elettrico dove non ci sono cariche ed un campo magnetico dove non ci sono correnti

6 Qualitativamente... Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo magnetico che varia nel tempo, che produce un campo elettrico che varia nel tempo…. Ma cosè c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in o ) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da determinare sperimentalmente (come o ) che appariva essere n Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto n Pari alla velocità con cui si propaga linterazione elettromagnetica (lo vedremo) ….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è la causa dei fenomeni elettrici e magnetici J.C. Maxwell

7 Implicazioni in equazioni n Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci sono né correnti né cariche, ma cè un campo elettromagnetico n Prendiamo il rotore della prima n Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la seconda a destra Non ci sono cariche

8 Equazione donda n Quindi, nel vuoto Equazione di Helmholtz o donda n Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z n Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno laspetto di Non avendo parlato di condizioni al contorno (ed iniziali) non possiamo dire nulla per ora sul dettaglio di f

9 Equazione donda n Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo: n Allaumentare del tempo, subisce una traslazione sullasse z: mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare a vedere la stessa forma Di quanto devo aumentare z? se passa t, devo spostarmi di z tale che n Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla velocità c in direzione di z

10 Equazione donda n Viceversa, dovremo viaggiare a -c nellaltra soluzione n Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde 'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through the electromagnetic field J.C. Maxwell n Immaginiamo che a dare il via a questonda, da qualche parte lontano" nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione, sia stata una corrente alternata (in realtà andando ad usare leq donda che è differenziale -eq. del punto!- basterà considerare punti di osservazione in cui la densità di corrente è nulla) n Ci aspettiamo campi anchessi sinusoidali: in effetti Soddisfa lequazione donda

11 Equazione donda n Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo dallequazione di Faraday n Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi nel piano xy: onda piana

12 Equazione donda n Notate E x ed H y sono in un rapporto costante: Impedenza donda Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia leffettiva direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)

13 Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché? n pensando allonda piana della lezione precedente pare una quantità interessante: è un vettore orientato nella direzione di propagazione. n Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, EH è in VA/m 2 cioè Watt/m 2 ) Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell, ipotizzando solo di avere mezzi senza memoria (, non dipendono dal tempo), isotropi e lineari n Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per esempio da un generatore alternato) J i e quelle indotte dal campo J

14 Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Le equazioni del rotore sono in questo caso Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting...Abbiamo usato unaltra identità Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell

15 Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un conduttore con conducibilità : la legge di Ohm n Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria densità di potenza fornita dal generatore densità di potenza dissipata per effetto termico densità di energia del campo elettromagnetico Esprime la conservazione dellenergia

16 Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting n Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale: applichiamo il teorema della divergenza n Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di tempo n Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dellenergia, leggiamo lequazione di sopra dicendo che lenergia che forniamo nellunità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di n Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori n Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione n Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della regione V dalle onde elettromagnetiche

17 teorema di Poynting: come viaggia lenergia? n In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo. Dove viaggia lenergia? n Immaginiamo un esperimento: n Il campo elettrico e la corrente nel filo sono orientati lungo z: legge di Ohm i superconduttore Conduttore reale z B n Il campo magnetico è dato dalla legge di Biot-Savart n Il vettore di Poynting n Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o nel vuoto) e penetra radialmente l

18 teorema di Poynting: come viaggia lenergia? n Tra laltro facendone il flusso attraverso un cilindro concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale contribuisce: n Pari alla potenza dissipata per effetto Joule

19 Condizioni al contorno n Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le condizioni al contorno? n Come si devono comportare i campi quando incontrano un materiale diverso? n Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni delle equazioni differenziali (valide nel punto)

20 Condizioni al contorno: continuità componente elettrica tangenziale Supponiamo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ), rispettivamente n Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (E t ) ed ortogonali (E n ) alla superficie di separazione n Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso rettangolare intorno allinterfaccia Riduciamo laltezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso B per cui n Quindi la componente tangenziale di E deve essere continua allinterfaccia

21 Condizioni al contorno: continuità componente magnetica tangenziale n Facciamo lo stesso ragionamento per H n Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un percorso rettangolare intorno allinterfaccia n Riduciamo laltezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di H n diventa nullo, come il flusso di D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...) n La componente tangenziale di H deve essere continua allinterfaccia Densità di corrente J

22 Condizioni al contorno: continuità componente elettrica D normale n Usiamo la legge di Gauss applicata ad un cilindretto Facciamo tendere a zero laltezza del cilindretto, così che si annulli qualunque contributo tangenziale. Se S è la superficie della base Quindi in assenza di cariche libere superficiali, la componente ortogonale di D è continua, cioè

23 Condizioni al contorno: continuità componente elettrica B normale n Per B possiamo fare lo stesso, con la semplificazione che non esistono cariche magnetiche n La componente ortogonale di B è continua, cioè

24 Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? n Il campo elettrico interno è nullo n Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore n La dimostrazione relativa alla continuità delle componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui n Cosa possiamo dire della componente normale? n Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore... n Ma vale sicuramente che n Quindi D n fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale

25 Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale?? Il campo magnetico? n La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze n Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile? Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto limportante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il flusso sarebbe rimasto finito anche per unarea che tende a zero; si definisce una corrente per unità di larghezza J s [A/m] che scorre su uno strato infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in superficie…. Densità di corrente J

26 Condizioni al contorno per un conduttore ideale n Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H tangenziale è pari alla corrente superficiale n Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di separazione) Campo elettrico tangenziale nullo Campo di induzione magnetica normale nullo Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente superficiale

27 Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione n Dobbiamo distinguere tra problemi interni (in una regione finita) ed esterni (tutto lo spazio: tipico delle antenne) n Concentriamoci per il momento sui problemi interni: immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di Maxwell E,H,J ed E o,H o,J o, in condizioni di linearità n Scriviamo il teorema di Poynting per il campo in un dato volume V contenuto in una superficie S, cioè n S

28 Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla sorgente del secondo Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono In pratica i due campi (E,H) ed (E 0,H 0 ) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la sorgente differenza è nulla sempre In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E 0,H 0 ) coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la componente tangenziale di E 1 o di H 1 diventa zero, ed il flusso del vettore di Poynting sparisce

29 Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione Che afferma che che lenergia elettromagnetica immagazzinata dal campo E 1 H 1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il secondo termine, essendo lintegrando positivo o nullo, è negativo o nullo Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=E o ed H=H o in tutto il volume V, lenergia immagazzinata da E 1,H 1 in quel momento è ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che lenergia (quantità positiva) può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non può che restare E=E o ed H=H o per ogni t Quindi rimaniamo con

30 Unicità della soluzione Quindi perché la soluzione delle equazioni di Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati occorre e basta Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume Assegnare o le componenti tangenziali di H o quelle di E su S per ogni istante Risultato notevole! Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le soluzioni, anchesse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!

31 Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j Lequazione di Helmholtz La quantità /c si definisce numero donda, e si indica con k; si definisce anche un vettore donda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…)

32 Onde piane in regime armonico permanente n Vediamo di nuovo il caso dellonda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z x z n Lequazione donda per il campo elettrico diventa semplicemente n La soluzione è una combinazione di esponenziali in k n Volendo recuperare lespressione nel tempo, per esempio della componente progressiva (assumiamo E + reale (E 0 ) per semplificare) n CVD

33 Polarizzazione onde piane n Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché loscillazione avvenga in un piano) n Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano unonda non polarizzata n Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un onda polarizzata ellitticamente

34 Polarizzazione onde piane n Infatti, se per esempio abbiamo n Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0) Che è lequazione parametrica di una ellisse. Se è /2 ed E 1 =E 2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

35 Polarizzazione onde piane n Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

36 Polarizzazione onde piane n In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica) n Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dellonda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con laccorgimento di usare la giusta velocità

37 Polarizzazione onde piane Polarizzazione Lineare Polarizzazione Circolare

38 Onde piane in direzione arbitraria n Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una propagazione lungo un asse (z) n Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori n Dove E 0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

39 Onde piane in direzione arbitraria n Lequazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari n Concentriamoci sulla prima e sostituiamo lespressione generale per londa piana n Cioè, il vettore donda k che ha modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a k x, k y, k z

40 Onde piane in direzione arbitraria n Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana che si propaga lungo una direzione generica:

41 Onde piane in direzione arbitraria n In generale quindi E ed H per unonda piana saranno n Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che n Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si algebrizzano Sia E che H ortogonali a k

42 Onde piane in direzione arbitraria n Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima n ovvero Dove è limpedenza donda del mezzo: generalizza lespressione già trovata! n E lequazione donda diventa

43 Onde piane e linee n Per unonda piana che si propaga lungo un asse z abbiamo visto che lequazione donda (fasori) produce le soluzioni n Mentre le equazioni del telegrafista (linee) producono n Quindi, possiamo analizzare il comportamento delle onde piane per mezzo di linee equivalenti E V, H I, Zo, k

44 Onde piane e linee n Cosa succede quando unonda piana passa da un materiale ad un altro, incidendo ortogonalmente alla superficie di separazione? n Per risolvere il problema dovremmo scrivere E ed H in ciascun mezzo, ed imporre le condizioni al contorno, ovvero continuità di E t ed H t allinterfaccia (in realtà vista la direzione di propagazione, E=E t ed H=H t ) n Ma nel risolvere il problema con le linee abbiamo imposto proprio che v ed i fossero continue tra le due linee n Quindi il metodo ci consente anche di vedere cosa avviene in mezzi stratificati Zo1, Zo2…. Hy Ex k Zo1 Zo2

45 Onde piane e linee Se per esempio londa viaggia in un mezzo con impedenza donda ed incide su un mezzo (semi-infinito) con impedenza donda, parte dellonda verrà riflessa e parte passerà, essendo Hy1 Ex1 k

46 Onde piane in mezzi stratificati e linee n Nel caso di unonda che viene da un mezzo ed incontra mezzi stratificati, possiamo usare tutto quanto visto per le linee! Sono vere anche le conclusioni Immaginiamo per esempio che il materiale in mezzo sia un multiplo di /2 n Questo sarebbe per esempio il caso se avessi un segnale a 1 GHz, e con il mezzo 2 aria, la lunghezza fosse d=c/(2f), cioè 15 cm n In tal caso tutta la regione 2 sarebbe trasparente allonda; e se i mezzi 1 e 3 fossero uguali, londa sarebbe completamente trasmessa

47 Incidenza Obliqua TM H E y x z TM rispetto y e z (E nel piano incidenza) (Vedere nel corso di microonde il perché di questa relazione)

48 Considerazioni Velocità di fase rispetto a z: Velocità di fase rispetto a y: Possono essere entrambi maggiori di c

49 Considerazioni La continuità delle componenti tangenti allinterfaccia ci impone che i r t y ky incidente e riflesso coincidano: Legge di riflessione dellottica Legge di Snell

50 Riflessione Totale Esiste solo n 1 >n 2

51 Riflessione Totale Zo1 Zl Quali sono le Condizioni di riflessione? Zl=0 Zl= Zl= jX TM: TE:

52 Conseguenze dellAnalogia con le Linee Modello Rigoroso ma semplice Zo1 Zo2 Zo3 Un esempio: vetro aria Zo1 jXo2 Zo3

53 Piano di Goos-Hänshen Coeff di riflessione: modulo unitario, ma la fase? f Piano di Goos Hänshen

54 Angolo Polarizzante o di Brewster Esiste un angolo per cui non avviene riflessione? Onda TM:

55 Angolo Polarizzante o di Brewster Onda TE: Non ammette soluzione! Se incide unonda a polarizzazione arbitraria, in corrispondenza allangolo di Brewster solo il TE viene riflesso

56 Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica: calcoliamoci i campi Caso TEz i r t y Def: Coefficiente di Fresnel

57 Incidenza obliqua: TEz

58 Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica Caso TMz i r t y

59 Incidenza obliqua: TMz


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