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Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali. SERIE TEMPORALI Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) Introduzione della.

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1 Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

2 SERIE TEMPORALI Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) Introduzione della variabile t Analisi nel dominio del tempo Analisi nel dominio della frequenza ES-1

3 ES-2 Serie temporali e computer I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x() di una variabile reale t (segnali analogici). Necessità di segnali campionati A/D converter segnale nTnT x(T) x(NT) sequenza T Teorema di Nyquist T = periodo di campionamento {x(nT)} = sequenza

4 ES-3 Dal segnale discreto al vettore Hp: x(t) ad energia finita {x(nT)} di lunghezza finita NT Proiezione lungo lasse i Punto dello spazio N-D Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale {x(n)} = x x(n)x(n) x(n-1) x(n-N+1)

5 ES-4 Loperatore ritardo delta di Dirac basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo Z -1 x(n)x(n) x(n-1) operatore ritardo Z -1 x(n)x(n) x(n)x(n) x(n-1) x(n-N+1) linea di ritardo

6 ES-5 Lo spazio del segnale Z -1 input linea di ritardo asse x asse y asse z x(n-3) x(n-4) x(n-5) x(n-3) x(n-2) x(n-3) x(n-4) x(n-2) x(n-1) x(n-2) x(n-3) x(n-1) x(n)x(n) x(n-2) x(n)x(n) Spazio di ricostruzione o Spazio del segnale La traiettoria dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso alloutput della linea di ritardo di estrarre il modello della serie. Un enorme numero di campioni enorme dimensione dello spazio Sottospazio del segnale x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n)x(n) Traiettoria del Segnale y x z

7 ES-6 Il sottospazio del segnale Segnale periodico (K campioni) Spazio K- dimensionale (K K ) K dipende dalla complessità della traiettoria t x x1x1 basta 1-DK = 1 x1x1 x2x2 x bastano 2-DK = 2 (2 << K ) Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1 Potrebbe servire K-D K=K ? ? ? ?

8 ES-7 Trovare la dimensione K dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale x(T) x(NT) 12K Finestra temporale sliding

9 ES-8 IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE) N T N i T i wwww nxnxnxnx wnxnxwinxwny z -1 y(n)y(n) x(n)x(n) x(n-1) x(n-N) w0w0 w1w1 w2w2 pesi Linea di ritardo FIR FINITE IMPULSE RESPONSE (risposta impulsiva finita) y(n) ha lespressione vista nelle reti Hebbiane

10 ES-9 y è la proiezione di x sul vettore peso w Il C.L. è un proiettore lineare dellinput nello spazio del segnale, secondo la direzione dei pesi La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo linformazione contenuta nellinput Idea base del filtraggio x x(n-1) x(n) x(n-N)

11 ES-10 Esempi di filtraggio

12 ES-11 ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO (SISTEMI LINEARI) La risposta impulsiva Risposta impulsiva [h(n)] Descrive completamente un sistema lineare per il combinatore lineare z -1 w0w0 w1w1 w2w2 (n) La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita FIR h(0)h(1)h(2)h3h3 w0w0 w1w1 w2w2 h(i) = w i

13 ES-12 La convoluzione y(n)risposta ad un generico input x(n) convoluzione sistema causale Per il combinatore lineare M + N campioni (notare la pesantezza del calcolo)

14 ES-13 Sistemi ricorrenti e stabilità IL FILTRO IIR Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback Esempio: Eq.ne alle differenze + y(n)y(n) z y(n-1) x(n)x(n) input output Coefficiente di feedback La h(n) ha estensione infinitaIIR Infinite Impulse Response (risposta impulsiva infinita)

15 ES-14 Analisi della stabilità 0 < < 1 stabile = 0 1 h(n)h(n) decrescente n 1 h(n)h(n) n marginalmente stabile < 0 1 h(n)h(n) n instabile Obiettivo dellelaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda allinput a risposta impulsiva di durata finita Importanza del coefficiente di feedback

16 ES-15 ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO x(t) {x(n)}T f = N T c n = 0, …, N-1 Intervallo di campionamento Numero di campioni t n = 0 TcTc x(n)generico campionen = 0, …, N-1 segnale campionato n=N-1

17 ES-16 La trasformata di Fourier t TcTc (N-1)T c x(t)x(t) fcfc fcfc f c /2 0 X( f ) Spettro continuo T f = N T c Trasformata di Fourier del segnale N numeri

18 ES-17 La trasformata di Fourier discreta (DFT) DFT IDFT TcTc t N-1 T f = NT c N CAMPIONI X (k) k Spettro di N righe f f c /2

19 ES-18 (n - N +1) x(N -1) (n - 1) x(1) x(0) (n) Dominio del tempo X(N -1) X(1) X(0) Dominio della frequenza X(k) C X(k) = k - esimo coeff. di Fourier {X(k)} = trasformata di Fourier discreta DFT o spettro {|X(k)|} = spettro delle ampiezze {/ X(k)} = spettro delle fasi x(k) R

20 ES-19 La Z-trasformata z C z -1 operatore ritardo Combinatore lineare

21 ES-20 La funzione di trasferimento Funzione di trasferimento Z-trasformata della risposta impulsiva (polinomio algebrico) Convoluzione in t Moltiplicazione in z

22 ES-21 La risposta in frequenza H(e j t ) = H( )risposta in frequenza H( )è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e j T | Im(z) z z =1 z =j z =-1 z =-j Re(z) H( )è periodica in con 2 /T (come e j T )

23 ES-22 DFT della risposta impulsiva Proprietà: Risposta a regime Calcolo veloce (FFT) H( ) C |H( H( )

24 ES-23 Poli e zeri della risposta in frequenza zeri:z = 0 poli:z = 1- Osservazioni qualitative: Stabilità polo zero 0< Polo nel cerchio unitario

25 ES-24 Filtri lineari TcTc y(1) y(N)y(N) x(1) x(N)x(N) H(k) k cut Segnale + Rumore ad alta frequenza Segnale filtrato T f = N T c k rumore |X(k)| 1N k cut |H(k)| k 1N |Y(k)| PASSA – BASSO

26 ES-25 fcfc f |H( )| fcfc f fcfc f Passa - bassoPassa - altoPassa - banda Per la scelta dei w i : Procedura di sintesi Procedure di ottimizzazione


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