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26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda1 Reti combinatorie (parte seconda) Sintesi minima Sintesi con NAND, NOR, EX-OR.

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2 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda1 Reti combinatorie (parte seconda) Sintesi minima Sintesi con NAND, NOR, EX-OR

3 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda2 Espressioni minime

4 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda3 Complessità e velocità Indicatori :N gate = numero di gate, N conn = numero di connessioni N casc = numero di gate disposti in cascata sul più lungo percorso di elaborazione Complessità funzione crescente di N gate, N conn Velocità di elaborazione funzione decrescente di N casc x y z x y z Le due reti sono equivalenti (T6). Hanno la stessa velocità di elaborazione. La rete di sinistra è meno complessa. Esempio:

5 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda4 Schemi logici di costo minimo (forme normali) Rete combinatoria di tipo SP e di costo minimo - Schema logico che realizza una funzione connettendo ad un OR di uscita il minimo numero di AND con il minimo numero di ingressi. N.B. - Lo schema di costo minimo viene ricercato fra quelli aventi la massima velocità di elaborazione (al più 2 gate in cascata). Il numero di gate e/o di connessioni della rete di costo minimo di tipo SP è in generale diverso da quello della rete di costo minimo di tipo PS che realizza la stessa funzione. Rete combinatoria di tipo PS e di costo minimo - Schema logico che realizza una funzione connettendo ad un AND di uscita il minimo numero di OR con il minimo numero di ingressi.

6 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda5 Espressioni minime Espressione minima (SP/PS) - Descrizione algebrica di una rete di costo minimo: espressione normale (SP/PS) formata dal minimo numero possibile di termini (prodotti/somme) aventi ciascuno il minimo numero possibile di letterali (variabili in forma vera o complementata). N.B - E possibile che più espressioni normali dello stesso tipo siano minime (abbiano cioè eguali valori di N gate e N conn ).

7 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda6 Raggruppamenti rettangolari di uni e condizioni di indifferenza RR ed implicanti -Un RR di ordine p costituito da celle contenenti valore 1, ed eventualmente condizioni di indifferenza, individua un termine prodotto che copre la funzione e si chiama implicante della funzione. Nel prodotto compaiono le sole (n-p) variabili che rimangono costanti nel RR, in forma vera se valgono 1, in forma complementata se valgono 0. RR ed implicati -Un RR di ordine p costituito da celle contenenti valore 0, ed eventualmente condizioni di indifferenza, individua un implicato della funzione. Nella somma compaiono le sole (n-p) variabili che rimangono costanti nel RR, in forma vera se valgono 0, in forma complementata se valgono 1.

8 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda7 Ricerca della I forma normale minima Individuazione di termini prodotto minimi (implicanti primi) su una mappa (1 di 2) RR di uni di dimensione massima ed implicanti primi - Un RR di uni di ordine massimo individua un termine prodotto con un numero minimo di letterali che copre la funzione data. Questo termine prodotto si chiama implicante primo cd ab X 11X X 11X 011X X11X bd non è un implicante primo ! è un implicante primo ! d Esempio: Un R-R di ordine p formato da celle contenenti i valori 1 o - ma non 0, e non contenuto in nessun altro R-R di ordine maggiore (anchesso contenente i valori 1 o - ma non 0, si chiama R-R di uni di ordine massimo

9 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda8 Ricerca dellespressione minima SP (2 di 2) Lespressione minima SP è una somma di implicanti primi; questi infatti coprono gli uni su R-R di ordine massimo, quindi coprono il massimo numero di uni contemporaneamente e inoltre sono termini prodotto con il minimo numero di operandi E importante trovare il numero minimo di implicanti primi che coprono lintera funzione. A tal fino conviene partire dagli implicanti primi essenziali, cioè da quegli implicanti primi in assenza dei quali la funzione non verrebbe completamente coperta Lo studente deve acquisire dimestichezza con questo procedimento manuale di ricerca dellespressione SP minima

10 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda9 Ricerca dellespressione minima PS Lespressione minima PS è un prodotto di implicati primi; questi infatti coprono gli zeri su R-R di ordine massimo, quindi coprono il massimo numero di zeri contemporaneamente e inoltre sono termini somma con il minimo numero di operandi E importante trovare il numero minimo di implicati primi che coprono lintera funzione. A tal fino conviene partire dagli implicati primi essenziali, cioè da quegli implicanti primi in assenza dei quali gli zeri della funzione non verrebbero tutti coperti Lo studente deve acquisire dimestichezza con questo procedimento manuale di ricerca dellespressione PS minima

11 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda10 Esempio di implicati cd ab 0 xx0 0 xx0 0x10 0xx c + d è un implicato primo ! c + d non è un implicato primo ! non è un implicato primo ! d

12 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda11 Esercizio ab cd Tracciare i RR che individuano tutti gli implicanti primi e gli implicati primi della seguente funzione: e scrivere le corrispondenti espressioni SP e PS.

13 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda12 Esempi di ricerca delle espressioni minime con il metodo grafico

14 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda13 Coperture ed espressioni (1) ab cd c + acd Uno dei due RR non è di dimensione massima (acd non è un implicante primo): lespressione non è minima ab cd c + ad Lespressione è minima !

15 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda14 Coperture ed espressioni (2) acd+ abc ab cd bcd+ ac acd+ abd ab cd ac Somma irridondante di implicanti primi (non possiamo togliere nessun termine prodotto senza lasciare almeno un uno scoperto), ma non espressione minima Espressione minima

16 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda15 Coperture ed espressioni (3) (b+c+d) ab cd (a+c+d)... (b+c+d) ab cd (a+b+c). (a+b+d).. Due espressioni minime di tipo PS

17 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda16 Individuazione grafica dellespressione minima (1) A partire dalla mappa che descrive la funzione occorre determinare la copertura minima e da questa la corrispondente espressione minima. Il procedimento è per sua natura non sistematico e presuppone labilità di chi lo esegue. 1) Si decide se cercare lespressione di tipo SP o PS e ci si predispone di conseguenza a coprire gli uni o gli zeri. cd ab ) scegliamo SP È tuttavia possibile delineare una sequenza di passi che consentono di individuare con facilità la copertura minima:

18 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda17 Individuazione grafica dellespressione minima (2) 2) Si cerca di individuare tra le celle da coprire una cella che possa essere racchiusa in un solo RR e lo si traccia di dimensione massima, annotando il termine corrispondente. Se la funzione è incompleta il RR può contenere anche condizioni di indifferenza. cd ab ) scegliamo SP 2) acd

19 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda18 Individuazione grafica dellespressione minima (3) 3) Si ripete fino a quando è possibile il passo 2, tenendo conto della possibilità di coprire anche celle incluse in RR già tracciati. cd ab ) scegliamo SP 2) acd 3) ac

20 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda19 Individuazione grafica dellespressione minima (4) 5) Si ripete il passo 4 fino a soddisfare la condizione di copertura. Si scrive infine lespressione minima. cd ab ) scegliamo SP 2) acd 3) ac abd 4) acd + ac + abd 5) 4) Si prendono in considerazione le cella ancora da coprire e se ne sceglie a colpo docchio la copertura migliore, tenendo conto come al solito della possibilità di coprire celle già coperte e condizioni di indifferenza.

21 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda20 Altri esempi di applicazione del procedimento grafico 1) scegliamo PS 2) a+b 3) b+d 4) a+ c 5) cd ab (a+b) (b+d) (a+c) a bc PS: a bc+ abc cd ab Lespressione minima SP è lespressione canonica SP: Le coperture minime PS ed SP portano alla stessa espressione b + d b+ d

22 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda21 Mappa del mux a due vie e due possibili coperture con implicanti primi di cui una è minima AI 0 In rosso i RR essenziali, in blu un RR ridondante A I 1 I U =+ I 1 I 0 + AI 1 Questo lucido dimostra il teorema del consenso!! Somma degli implicanti primi Implicante primo eliminabile AI 0 + AI 1 U = U

23 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda22 Sintesi minima di un encoder x0x0 x 1 x x0x0 x 1 x z 1 = x 1 + x 2 z 0 = x 0 + x 2 z0z0 z1z1 x 2 x 1 x 0 z 1 z

24 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda23 Sintesi di un trascodificatore da BCD a 7 segmenti D C B A a b c d e f g DABC Trascodifica da BCD a 7 segmenti g f e d c b a g a f b ec d

25 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda24 BA DC a a = DCBA + CA BA DC b BA DC c b = CBA + CBAc = CBA Progetto della rete di costo minimo (1)

26 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda25 BA DC d f = DCA + BA + CB BA DC e BA DC f BA DC g g = DCB + CBA d = CBA + CBA + CBA e = A + CB Progetto della rete di costo minimo (2)

27 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda DCBA a b c d e f g Risposta della rete di costo minimo a configurazioni non previste dal codice BCD la rete di costo minimo non consente la rilevazione di alcuna configurazione di ingresso illecita

28 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda27 Alle configurazioni illecite devono corrispondere sul display simboli diversi da quelli previsti per le configurazioni lecite; in particolare il display deve essere spento per la configurazione DCBA = Questultima specifica richiede di ri-sintetizzare solo le funzioni a, b, c. BA DC a a = DCBA + CA BA DC b BA DC c b = CBA + CBA c = CBA Progetto della rete in grado di rilevare le configurazioni di ingresso illecite (1) a 1 = a + DC a 2 = a + DB b 1 = b + DC b 2 = b + DB c 1 = c + DC c 2 = c + DB

29 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda28 La soluzione integrata (1)

30 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda29 La soluzione integrata (2) BI (Blanking Input) I gate aggiuntivi previsti nella soluzione integrata servono per conseguire ulteriori funzionalità, derivabili da specifici segnali di ingresso-uscita (tutti attivi a livello logico 0) ed elencate in ordine di priorità decrescente: LT (Lamp Test) display spento e attivazione del segnale di uscita RBO (Ripple Blanking Output) solo se il dato in ingresso è zero ( DCBA = 0000 ) display spento display acceso RBI (Ripple Blanking Input)

31 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda30 Sintesi con NAND, NOR, EX-OR

32 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda31 Quali altre algebre si possono utilizzare oltre allalgebra di commutazione? Ora conosciamo lalgebra di commutazione Esistono altre algebre binarie che utilizzano altri operatori elementari, cioè altre funzioni di due variabili al posto delland e dellor? Nei prossimi lucidi elenchiamo le funzioni di una e due variabili, quindi citiamo le altre principali algebre sviluppate Infine vedremo che senza bisogno di approfondire le altre algebre possiamo però trovare facilmente le regole per passare da espressioni dellalgebra di commutazione a espressioni di altre algebre e viceversa. Così riusciamo a svincolarci dalla necessità di utilizzare nelle realizzazioni circuitali gli operatori dellalgebra di commutazione se questi dovessero non essere convenienti. Nel contempo possiamo continuare a impiegare lalgebra di commutazione, di gran lunga più semplice delle altre nella maggior parte dei problemi di analisi e sintesi

33 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda32 Numero di funzioni di n variabli Numero di funzioni - Il numero di distinte funzioni binarie è finito. Le funzioni di n variabili sono: 2 n (n) = 2 4 funzioni di 1 variabile, 16 funzioni di 2 variabili, 256 funzioni di 3 variabili, funzioni di 4 variabili, ecc.

34 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda33 f 13 f 2 f 11 f f10001f10001 f f70111f70111 f81000f81000 f91001f91001 f60110f60110 f 3 f f 12 f Elenco delle funzioni di una e due variabili 4 funzioni di una variabile x01x01 f000f000 f101f101 f210f210 f311f funzioni di due variabili x 0 x f00000f00000 f 15 1 f 0, f 3 : costanti 0 e 1 f 1 : identità o buffer f 2 : not f 0, f 15 : costanti 0 e 1 f 3, f 5 : identità o buffer f 12, f 10 : not f 1 : and f 14 : nand f 7 : or f 8 : nor f 9 : equivalence f 6 : ex-or In rosso le funzioni che degli operatori dellalgebra di commutazione

35 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda34 Algebre binarie G. Boole (1854) Calcolo delle proposizioni vero, falso e, o, non tre operatori Algebra del nand 0, 1 un operatore Algebra del nor 0, 1 un operatore Algebra lineare 0, 1,. due operatori Algebra di commutazione 0, 1 +,., tre operatori C. Shannon (1938) Algebra binaria - Sistema matematico formato da un insieme di operatori definiti assiomaticamente ed atti a descrivere con una espressione ogni funzione di variabili binarie

36 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda35 Sintesi con NAND La sintesi a NAND può essere effettuata trasformando unespressione normale SP che descrive la funzione assegnata in una nuova espressione contenente esclusivamente operatori : F = a b + c d + e f + g... F = (a b) + (c d) + (e f) + g definizione delloperatore F = (a b) (c d) (e f) g T13 (II a legge di De Morgan) F = ( (a b) (c d) (e f) g )... definizione delloperatore

37 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda36 Algoritmo per la sintesi a NAND N.B. - La trasformazione dellespressione minima SP individua lespressione minima a NAND. 1) Si parte da unespressione SP, SPS, SPSP... e si introducono gli operatori. e le parentesi non indicati esplicitamente. 2) Si sostituisce il simbolo ad ogni simbolo. 3) Si sostituisce il simbolo ad ogni simbolo + e si complementano le variabili e le costanti affiancate a tale simbolo senza linterposizione di una parentesi. 4) Si disegna lo schema logico corrispondente allespressione trovata. Se lespressione di partenza è a più di due livelli si cerca leventuale presenza di NAND con ingressi identici e li si sostituisce con uno solo (sfruttando il fan-out >1 del gate corrispondente).

38 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda37 Esempio: sintesi a NAND di un EX-OR U = a b + ab passi 2 e 3 U = a b + ab + aa + bb U = a (a + b) + b (a + b)SPS !. U = ( a (a + b) ) + ( b (a + b) ). U = ( a (a b) ) ( b (a b) ) a b U passo 1 passo 4

39 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda38 Sintesi con componenti SSI di un selettore a due vie N.B. - La disponibilità di gate diversi da AND, OR, NOT consente spesso di minimizzare il numero di parti impiegate SN SN7432 U = A. I 0 + A. I SN7404 A I0I0 A I1I1 U SN7400 A I1I1 I0I0 U A U = (A I 0 ) (A I 1 )

40 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda39 Sintesi con NOR La sintesi a NOR può essere effettuata trasformando unespressione normale PS che descrive la funzione assegnata in una nuova espressione contenente esclusivamente operatori : F = (a + b + c) (d + e) f g... definizione delloperatore T13 (I a legge di De Morgan) F = (a b c) (d e) f g... F = ( (a b c) + (d e) + f + g ) definizione delloperatore F = (a b c) (d e) f g

41 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda40 Algoritmo per la sintesi a NOR N.B. - La trasformazione dellespressione minima PS individua lespressione minima a NOR. 1) Si parte da unespressione PS, PSP, PSPS... e si introducono gli operatori. e le parentesi non indicati esplicitamente. 2) Si sostituisce il simbolo ad ogni simbolo + 3) Si sostituisce il simbolo ad ogni simbolo. e si complementano le variabili e le costanti affiancate a tale simbolo senza linterposizione di una parentesi. 4) Si disegna lo schema logico corrispondente allespressione trovata. Se lespressione di partenza è a più di due livelli si cerca leventuale presenza di NOR con ingressi identici e li si sostituisce con uno solo (sfruttando il fan-out >1 del gate corrispondente).

42 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda41 Esempio: sintesi a NOR di un equivalence passi 2 e 3. U = ( a + (a b) ) + ( b + (a b) ). U = ( a (a b) ) ( b (a b) ) passo 1 passo 4 U = (a + b) ( a + b). U = (a + b) (a + b) (a + a) (b + b)... PSP ! U = (a + ab) (b + ab). a b U

43 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda42 Full Adder con AND, OR e EX-OR S = r. a. b + r. a. b + r. a. b + r. a. b R = r. a. b + r. a. b + r. a. b + r. a. b manipolazione algebrica: S = r. (a. b + a. b) + r. (a. b + a. b) S = r. (a b) + r. (a b) S = r (a b) R = (r + r). a. b + r. (a. b + a. b) R = a. b + r. (a b) HA FA rabrab SRSR

44 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda43 Composizione modulare di addizionatori 0a0b00a0b0 FA s0r1s0r1 r n-1 a n-1 b n-1 s n-1 r n = s n FA r1a1b1r1a1b1 s1r2s1r2 CI 4 Bit a 0 Full a 1 Adder a 2 a 3 s 0 s 1 s 2 s 3 b 0 b 1 b 2 b 3 CO

45 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda44 Esercizi Assumendo p come ritardo di propagazione di un gate, si determini quale è il ritardo massimo di un 4 bit Full-Adder realizzato connettendo in cascata 4 moduli FA. E possibile realizzare a due livelli un addizionatore a 4 bit ? Quali sono i vantaggi e gli svantaggi di questa soluzione rispetto alladdizionatore realizzato connettendo in cascata 4 moduli FA?

46 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda45 Parità con EX-OR (1) N.B. Loperazione di somma modulo due è associativa P = b 0 b 1 b 2 b 3.. b 7 P = ((b 0 b 1 ) (b 2 b 3 )) ((.. b 7 )) E = P (((b 0 b 1 ) (b 2 b 3 )) ((.. b 7 ))) SN SN7498 0/P b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 b6b6 b7b7 P/E

47 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda46 Parità con EX-OR (2) Generazione parità e rilevazione errori singoli su dati da due byte: P E 280 TrasmettitoreRicevitore SN74280 (MSI) b0b1b0b1 b2b3b2b3 b4b5b4b5 b6b7b6b7 0/P P/E

48 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda47 Confronto con EX-OR a0b0a0b0 a1b1a1b1 a n-2 b n-2 a n-1 b n-1 z a0b0a0b0 a1b1a1b1 a n-2 b n-2 a n-1 b n-1 z

49 26 ottobre 2000Reti combinatorie - parte seconda48 Esercizio Quale è la funzione svolta dalla rete in figura ? SN74138 U 0 U 1 U 2 U 3 EN U 4 U 5 U 6 A B C U 7 I 0 SN74151 I 1 I 2 I 3 Z I 4 I 5 I 6 I 7 A B C a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 1 ?


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