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G.Barbaro1 RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA).

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Presentazione sul tema: "G.Barbaro1 RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA)."— Transcript della presentazione:

1 G.Barbaro1 RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA)

2 G.Barbaro2 Il termine RICERCA OPERATIVA sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma già precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali: Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti : Nel 1776 il matematico G. MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici. Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico. Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale.

3 G.Barbaro3 Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò lattacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna. Laiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava ladozione del radar nella strategia di difesa aerea. Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come Ricerca Operativa. Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dallindustria, dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali. Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO.

4 DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL ) La ricerca operativa è lapplicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali.

5 ESEMPLIFICAZIONE UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO DECISIONI IN MERITO A: QUANTITA DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE DA QUALE FORNITORE ACQUISTARE QUANDO ACQUISTARE

6 G.Barbaro6 Fasi di una ricerca operativa 1 – Formulazione del problema 2 – Raccolta dei dati 3 – Costruzione del modello matematico 4 – Ricerca di una soluzione 5 – Controllo del modello e della soluzione

7 G.Barbaro7 In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dellorganizzazione ecc… Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI

8 G.Barbaro8 Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari). Tale funzione dipenderà da una o più variabili dazione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni.

9 MODELLO MATEMATICO Funzione Obiettivo Y = f (x 1, x 2 …………..x n ) La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagn0 + Vincoli espressi da equazioni e\o disequazioni I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno(che esprimono la positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali p.es. capacità del magazzino) Le variabili x 1, x 2 …. x n si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili

10 G.Barbaro10 Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata.

11 ESEMPIO Unazienda che produce concime ha una capacità produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana. Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale. Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda dalla funzione: x = 250 – 0,5 * p Determinare la quantità da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno

12 P = 500 – 2*x Il guadagno è dato da : Y = (500 – 2*x)*x – –30*x Y = -2x – con vincoli: x>=0 x<=220 Il modello risolto con lanalisi ci conduce alla conclusione che sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime

13 CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R. O. R.O. CONDIZIONI CERTEZZA EFFETTI IMMEDIATI EFFETTI DIFFERITI CONDIZIONI INCERTEZZA EFFETTI IMMEDIATI EFFETTI DIFFERITI Investimenti Finanziari e Industriali Max.-min(continui-discreti) ad una o due variabili Scorte Scelte tra due o più alternative Programmazione Lineare

14 G.Barbaro14 Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni: Costo totale che verrà indicato con C(x) C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti. Lo indicheremo con R(x) = p·x cioè il prodotto del prezzo per la quantità venduta Guadagno o Utile. Verrà indicato con U(x) = R(x) –C(x)

15 G.Barbaro15 PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI. Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI.

16 G.Barbaro16 Problema Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2 euro al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di merce. Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile. E un problema di tipo continuo. x = quantità prodotti venduti (problema continuo) R(x) = 1,2·x C(x) = 6 + 0,7·x U(x) = R(x) - C(x) = 1,2·x – (6 + 0,7·x ) = 0,5·x - 6

17 G.Barbaro17 Riassumendo il modello matematico sarà il seguente: U(x) = 0,5·x - 6 Funzione Obiettivo Con vincoli x 0 Vincolo di segno e x 20 Vincoli tecnici P U In x =12 si il punto di equilibrio Break-even point Che divide la zona di perdita da quella di utile Per x=20 si ha il MAX utile

18 G.Barbaro18 Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la seguente relazione p= 50 – 0,1 x. Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 più un costo unitario variabile Cuv= 10 euro. Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno. X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo) R(x) = (50-0,1x) · x C = · x U(x) = R(x) – C(x) = (50-0,1x) · x - ( · x) Quindi U(x) = -0,1 · x · x Problema

19 G.Barbaro19 Quindi il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x · x Funzione obiettivo x 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici) In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola, pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice e intersezione con gli assi (in particolare con lasse delle x). Xv = -b/2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione) Intersezioni con lasse delle x risolvendo lequazione: -0,1 · x · x = 0 x1 = 26,8 x2 = 373,2

20 G.Barbaro20 I limiti di produttività(cioè le intersezioni della funzione con lasse delle x) sono dati dai valori di 26,8 373,2 litri Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra

21 G.Barbaro21 Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di 300 litri di birra al giorno ? Il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x · x Funzione obiettivo x 0 E x 300 vincolo di segno e tecnici Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra

22 G.Barbaro22 In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere allanalisi matematica Nel caso di funzione ad una variabile: Calcolo della derivata prima Porre la derivata prima uguale a zero ( C.N.M.N.S.) Studio del segno della derivata prima (primo metodo) o calcolo della derivata seconda (secondo metodo)

23 G.Barbaro23 Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero: Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dellHessiano semplice: Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili

24 G.Barbaro24 Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi. Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità venduta. In tal caso si aggira lostacolo utilizzando una tecnica differente

25 G.Barbaro25 Lanalisi di un problema discreto di questo tipo si può condurre anche utilizzando la cosiddetta ANALISI MARGINALE Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione: Δ f = f(x+1) – f(x) tale differenza è detta incremento marginale Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione è crescente, se sono negativi è decrescente. Quando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si è in presenza di un massimo Quando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale

26 G.Barbaro26 ESEMPIO Un prodotto è fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno. I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno, mentre il costo variabile è di 2,8 euro al pezzo. La produttività giornaliera massima è di 8 lotti. Il prezzo di vendita al lotto non è costante, ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella: n.r. lotti Prezzo unitario Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile

27 G.Barbaro27 Applichiamo questa tecnica allesempio precedente: n.ro lotticostiricavoguadagnoCosto marginale Ricavo marginale Max. Conviene espandere la produzione finchè il ricavo marginale supera il costo marginale Costo per lotto 2,8·50 =140 euro a cui aggiungere il costo fisso

28 G.Barbaro28 Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni: I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max. min. approssimando gli eventuali dati non interi Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nellesempio) utilizzando lanalisi marginale

29 G.Barbaro29 Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo. Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono, per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto, oppure tariffe diverse per il trasporto di merce. Per arrivare alla soluzione di questi problemi sarà necessario: rappresentare graficamente, su un unico piano cartesiano, le diverse alternative; determinarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP); determinare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o laltra alternativa PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIU ALTERNATIVE

30 G.Barbaro30 ESEMPIO Per il trasporto di una merce unimpresa può ricorrere a due differenti ditte per il trasporto. La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione più un costo di 0,5 euro per ogni chilometro del tragitto; La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro più un costo per chilometro pari a 1 euro. Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte?

31 G.Barbaro31 E un problema di costi. Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale. ALTERNATIVA A C(x) = ,5 · x ALTERNATIVA B C(x) = · x Dove x, che è la variabile di azione, rappresenta il numero di km x 0 Funzioni obiettivo vincolo

32 G.Barbaro32 Graficamente: X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP) Con x < 40 km conviene l offerta B Con x > 40 km conviene lofferta A

33 G.Barbaro33 Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le quali offrono i loro servizi alle seguenti condizioni : A) 10 euro a tonnellata B) 120 euro fissi, più 6 euro a tonnellata C) 200 euro fissi, più 5 a tonnellata Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese. ESEMPIO Questo è un esempio più complesso essendo tre le alternative

34 G.Barbaro34 Graficamente la situazione è la seguente Fina a 30 ton conviene lofferta A Fra 30 e 80 tonnellate conviene lofferta B Oltre 80 tonnellate conviene lofferta C

35 G.Barbaro35 ESEMPIO Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita è fissato in 10 euro;per la stampa deve decidere tra le seguenti alternative: LAVORAZIONE A Costo fisso = 4000 euro Costo variabile = 2 euro/unità Costo pubblicità = 0,1 % del quadrato del numero di libri LAVORAZIONE B Far eseguire il lavoro da terzi con un Costo totale = 8 euro/unità La massima tiratura consentita è di 6000 libri.

36 G.Barbaro36 CA(x) = x +0,001 x 2 CB(x) = 6x UA(x) = 10x – ( x +0,001 x 2 ) = -0,001x 2 +8x UB(x) = 10x -8x = 2 x Con x 0 e x 6000 Il modello matematico è il seguente:

37 G.Barbaro37 Graficamente: Per 0

38 G.Barbaro38 Il problema delle scorte riguarda la modalità con cui un'azienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure un'azienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela. Il problema delle scorte prevede: costi fissi per ogni ordinazione costi variabili di stoccaggio per ogni unità di merce costi di acquisto della merce. Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantità, questo però aumenterebbe i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantità immagazzinata. Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti. Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio. Di tale funzione si determina il minimo IL PROBLEMA DELLE SCORTE

39 G.Barbaro39 Il problema delle scorte in realtà è piuttosto complesso e per comprenderne la complessità si può rappresentare su un grafico landamento di un magazzino: tempo Quantità di merce in magazzino Tale andamento può assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi, cali di produzione,…)

40 G.Barbaro40 E necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema: -la quantità di merce da ordinare è fissa per ogni ordinazione e, inoltre, arriva in magazzino quando esso si è svuotato; -il consumo dello stock è uniforme nel tempo. L'andamento delle scorte assume, quindi, un andamento periodico e lineare

41 G.Barbaro41 Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati: Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere lanno) S = costo fisso per ogni ordinazione s = costo di magazzinaggio variabile x = quantità ottimale da ordinare ogni volta Quindi: Q/x = numero di ordinazioni Dal momento che la giacenza non è costante nel tempo, si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x; per cui giacenza media = (0+x)/2 =x/2 La funzione obiettivo è data dal costo : C = S Q/x + s x/2 con 0 x CM se ci sono vincoli tecnici dove CM è la capacità del magazzino

42 G.Barbaro42 Questa funzione obiettivo in matematica è molto conosciuta e viene chiamata funzione somma: Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni: y 1 = a x e y 2 = b/x in cui: y 1 rappresenta una retta passante per l'origine degli assi coordinati, y 2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati

43 G.Barbaro43 Grafico della funzione somma La funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante. Per i problemi di R.O. è però sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive) Relativamente al I quadrante si può notare che sussiste un punto di minimo Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina alliperbole, mente per valori alti della x si avvicina lal retta m

44 G.Barbaro44 Le coordinate del minimo sono :

45 G.Barbaro45 Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre allanalisi calcolando la derivata prima: Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene: P.C. si considera ovviamente solo il valore positivo. Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate: Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto:

46 G.Barbaro46 Esempio: Una ditta ha un fabbisogno annuo di kg di materia prima. Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 1,2 euro/kg Determinare la quantità ottimale da ordinare La funzione obiettivo è la seguente: C= S Q/x + s x/2 = /x + 1,2 x/2 = /x + 0,6 x con x 0 Calcolando la derivata prima si ottiene: C = /x 2 + 0,6 Ponendola uguale a zero: /x 2 + 0,6 = 0 si ottiene: x= ± 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800

47 G.Barbaro47 Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro. E possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno: n.ord. = / 800 = 30 f = 360 / 30 = 12 giorni m

48 G.Barbaro48 Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico; affrontiamo due situazioni: a)Capacità del magazzino pari a 600 kg; C = /x + 0,6 x con 0 x 600 b)Capacità del magazzino di 1200 kg; C = /x + 0,6 x con 0 x 1200 a)Il minimo si ha per x = 600 n.ord. = / 600 = 40 f=360 / 40 = 9 giorni b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici

49 G.Barbaro49 PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI E NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA

50 G.Barbaro50 Matematica finanziaria Scopo: Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi diversi. Ovvero spostamento di importi nel tempo. Operazioni finanziarie Capitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro CM 0t Spostamento in avanti M = C + I M = MONTANTE Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza VC 0t Spostamento all indietro V = C – S V = VALORE ATTUALE

51 G.Barbaro51 Regime di Capitalizzazione semplice Ipotesi: Interessi proporzionali al tasso ed al tempo Capitalizzazione composta Ipotesi: Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo Capitalizzazione mista Ipotesi: Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n, semplice per la restante frazionaria f LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

52 G.Barbaro52 Sconto razionale (o semplice) Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione semplice Sconto composto Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione composta (1+i) – t : fattore di sconto composto Tassi di interesse Equivalenza: due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale Formula per la conversione di tassi (legge composta): LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO

53 G.Barbaro53 Definizione: successione di importi (rate) nel tempo. Classificazioni delle rendite: Relativamente al periodo: annua: se fra due rate intercorre un anno frazionata: se fra due rate intercorre una frazione di anno poliennale: se fra due rate intercorre più di un anno Relativamente alla scadenza della rata: anticipate: le rate scadono all'inizio di ogni periodo posticipate: le rate scadono alla fine di ogni periodo Relativamente alla data di decorrenza immediate: iniziano dal momento della stipula del contratto differite: iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto Relativamente alla durata temporanee: le rate sono in numero finito perpetue: le rate sono in numero infinito RENDITE

54 G.Barbaro54 Montante: valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate: Rendite anticipate: Valore attuale: valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate : Rendite anticipate:

55 G.Barbaro55 PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Un problema di scelta può anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo Sono tipici esempi di tali problemi gli: Investimenti finanziari (capitale/i investiti con modalità differenti) Investimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature) Esempio di investimento finanziario: Tizio investe oggi euro e gli vengono prospettate due possibilità: Ipotesi a) Ricevere dopo cinque anni euro e dopo 12 anni altri euro: Ipotesi b) Ricevere dopo 4 anni euro e dopo 12 anni euro E chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta.

56 G.Barbaro56 CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE Si dice risultato economico (R.E.A.) attualizzato di una data operazione dinvestimento: la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi, entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso: R.E.A. = V a (R) – V a (C) Viene normalmente utilizzato il regime dellinteresse composto. Il criterio sarà così applicato: Prese due operazioni di investimento finanziario, calcoleremo per ciascuna di essere il R.E.A. e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il R.E.A. più elevato. E chiaro che il R.E.A. varia al variare del tasso di attualizzazione. Esso è funzione del tasso i perciò possiamo scrivere G (i). In particolare esso è funzione decrescente del tasso. Pertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti.

57 G.Barbaro57 Esempio Si vogliono investire di euro e si puo scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni euro b)ricevere tra 3 anni euro e fra 9 anni altri euro Valutare i due investimenti al tasso dell 8 % annuo Svolgimento Criterio attualizzazione IPOTESI A) R.E.A. = (1 + i) =1.579 euro IPOTESI B) R.E.A.= (1 + i) (1 + i) =1.852 euro Asse dei tempi Soluzione: e piu conveniente B)

58 G.Barbaro58 Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del R.E.A. con una variante: si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto. Un industriale deve decidere lacquisto tra due diversi tipi di macchinari: A)Macchinario A che costa euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di euro; B)Macchinario B che costa euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di euro. Valutare i due investimenti al tasso del 7 % annuo.

59 G.Barbaro59 Ipotesi A) Ipotesi B) : Quindi risulta più conveniente lipotesi A)

60 G.Barbaro60 Il limite del criterio dell attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione può essere soggettiva. Daltra parte il R.E.A. è funzione del tasso di interesse scelto: tasso R.E.A. Tasso di rendimento interno

61 G.Barbaro61 Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione, quel tasso in base al quale, il r.e.a. della distribuzione di costi e ricavi delloperazione considerata risulta uguale a zero. Cioè il tasso soluzione dellequazione: R.E.A.(i)=0. CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) t.i.r.

62 G.Barbaro62 Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si può affermare che esso fornisce un indice di redditività delloperazione. Ad esempio, affermando che il t i.r. è 10% si vuole indicare che loperazione considerata è finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10%. Il criterio viene applicato nel seguente modo: Tra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno più alto. Per la determinazione del tasso di volta in volta occorrerà risolvere unequazione che a seconda del tipo richiederà tecniche diverse: (eq. di secondo grado o riconducibili ad essa, interpolazione lineare ecc.). Al contrario di quanto accade per il criterio dellattualizzazione, che fa dipendere la scelta dalloperatore, per quanto riguarda ladozione del tasso di attualizzazione, il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo

63 G.Barbaro63 Si deve scegliere tra Un investimento comporta un costo iniziale di euro e ricavo di euro alla fine di ogni anno per 4 anni, Un investimento che comporta un costo iniziale di ricavi di euro alla fine del secondo e quarto anno. Determinare linvestimento più conveniente col metodo del tir. X = Si sceglie quindi la prima alternativa N.B.: questo metodo è utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata X = ESEMPIO

64 G.Barbaro64 PROGRAMMAZIONE LINEARE Un problema di Programmazione Lineare (P.L.) presenta un modello matematico costituito da: Una funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile, da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione Un sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negatività delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema.

65 G.Barbaro65 Nel caso di due variabili di azione il modello assumerà la seguente struttura: Funzione obiettivo Vincoli di segno Vincoli tecnici ESEMPIO

66 G.Barbaro66 RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO Il metodo prevede la ricerca dellAREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli. Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli, si otterrà un poligono che costituisce larea ammissibile. Tale area contiene tutte le coppie (x1,x2) che soddisfano le disequazioni/equazioni del sistema; tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili. Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base; tra queste va cercata la soluzione ottimale. Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due.

67 G.Barbaro67 Quindi: In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo, se esistono, si trovano sui vertici dellArea Ammissibile. O A B C Esempio Vertici: O(0,0) Z=0 (min) A(0,2400) Z= B(1800,1200) Z= C(2400,0) Z= (MAX)


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