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Differenziale di una funzione. x x y Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un suo incremento e valutiamo il conseguente incremento.

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Presentazione sul tema: "Differenziale di una funzione. x x y Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un suo incremento e valutiamo il conseguente incremento."— Transcript della presentazione:

1 Differenziale di una funzione

2 x x y Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un suo incremento e valutiamo il conseguente incremento della funzione Consideriamo una funzione continua e derivabile in un intervallo [a,b] f(x) f(x + x) Tale incremento e quindi:

3 (segnate in verde e in rosso rispettivamente) x x y Tale incremento si può scomporre in due parti:

4 Quando x diminuisce anche dy e diminuiscono. Infatti: Il termine tende a zero più rapidamente di x x Dalla figura ci si rende conto che dy tende a zero con la stessa rapidità di x mentre tende a zero più rapidamente di x (è un infinitesimo del secondordine).

5 Quindi la quantità y si può scrivere nella forma: x x

6 La quantità dy si può scrivere nella forma: x x Al tendere di x a zero è lecito trascurare laddendo

7 Quindi dy, che è la parte lineare dellincremento, è un infinitesimo dello stesso ordine di x. Detto in altre parole: lincremento di una funzione si può decomporre nella somma di due parti: luna è lineare nellincremento della variabile, e ha lo stesso ordine di infinitesimo dellincremento della variabile, laltra è non lineare e ha ordine di infinitesimo superiore allincremento della variabile (la parte che viene trascurata). dy si chiama differenziale della funzione nel punto x. Definizione: il differenziale di una funzione è la parte lineare del suo incremento.

8 Il differenziale di una funzione è quindi dato dal prodotto della derivata della funzione per lincremento della variabile. In particolare se la funzione è la variabile indipendente stessa, poiché la derivata di x è 1 si ha dx = 1 x si può scrivere Quindi la derivata, si può scrivere come il rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente. Pertanto la relazione

9 Limportanza del differenziale sta nel fatto che nella fisica e nella tecnica, spesso per calcolare le piccole variazioni di una funzione in corrispondenza a piccole variazioni della variabile conviene limitarsi al calcolo della parte lineare dellincremento della funzione. Ad esempio nella equazione di stato di un gas perfetto: se varia il volume varia anche la pressione. La relazione esatta tra le due variazioni è: Ma se ci limitiamo a piccole variazioni del volume, possiamo limitarci a calcolare la parte lineare dellincremento, ovvero il differenziale, ottenendo la relazione approssimata: Questa relazione, sebbene approssimata, è più semplice da calcolare in quanto basta moltiplicare la derivata della funzione per lincremento della variabile. che differisce di poco da quella esatta.

10 4 0, = 16 Calcolando dy si ottiene un valore approssimato, tanto migliore quanto più x è piccolo. Nel nostro caso x = 0,3781 Vogliamo calcolare F(x) = x 2 Esempio:

11 Lapprossimazione è conseguenza del fatto che invece di calcolare la variazione della funzione ci si limita a calcolare la parte lineare di tale variazione. In conclusione nella fisica il differenziale costituisce uno strumento molto semplice (basta fare una derivata) per valutare in modo approssimato le piccole variazioni che una funzione subisce in conseguenza di piccole variazioni date alla variabile. Esercizio: Di quanto varia il campo gravitazionale al variare della distanza dalla terra?


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