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Il calcolo combinatorio prof. Fabio Bonoli www.fabiobonoli.it 16 dicembre 2011Liceo scientifico A. Righi - Cesena Quanti sono?

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1 Il calcolo combinatorio prof. Fabio Bonoli 16 dicembre 2011Liceo scientifico A. Righi - Cesena Quanti sono?

2 Sommario 1 - INTRODUZIONE Esempi e regole generali 2 – COMBINATORIA IN FORMULE Le disposizioni Le combinazioni Disposizioni con ripetizione Permutazioni e permutazioni cicliche Il coefficiente binomiale Il binomio di Newton 3– PROBLEMI VARI DI COMBINATORIA

3 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? In quanti modi può accadere un evento? Quanti … Il calcolo combinatorio si occupa di determinare (contare) quanti sono i raggruppamenti che si possono fare con n oggetti di un insieme finito, secondo determinate regole.

4 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Problema: In quanti modi una associazione composta da 9 membri può nominare un presidente, un vice e un segretario cassiere? Schematizzando: Quante sono le possibili configurazioni (terne) ordinate e senza ripetizioni? Soluzione: 9 scelte possibili per il presidente, a questo punto restano 8 scelte possibili per il vice presidente e infine 7 scelte per il segretario.

5 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? PRIMA REGOLA Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t... modi diversi

6 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Problema: Quattro squadre partecipano ad un torneo, quante sono le possibili classifiche finali? Schematizzando: Quante sono le possibili configurazioni (quaterne) ordinate e senza ripetizioni? (Tutti gli elementi vengono considerati) Soluzione: 4 scelte possibili per il vincitore, a questo punto restano 3 scelte possibili per il secondo, 2 scelte possibili per il terzo e infine 1 scelta obbligata per lultimo classificato.

7 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? SECONDA REGOLA (conseguenza della prima) Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o mettere in colonna) in n! modi diversi, dove il simbolo n! = n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1. Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità; a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila; ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila;... ; in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati in n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n! modi diversi.

8 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Problema: In quanti modi un insegnante può scegliere 4 studenti in una classe di 25 alunni per unora di interrogazioni? Testo equivalente: Quante sono le possibili quaterne di alunni interrogati? Schematizzando: Quante sono le possibili configurazioni (quaterne) NON ordinate e senza ripetizioni? Soluzione: Ragionando come prima, calcoliamo le quaterne ordinate: 25 scelte possibili per il primo, a questo punto restano 24 scelte possibili per il secondo, ora 23 scelte possibili per il terzo e infine 22 scelte per lultimo.

9 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Noi però vogliamo "raggruppare" tutte le quaterne "equivalenti" (cioè, contenenti gli stessi ragazzi, sia pure in ordine diverso) per "farne una sola", MA DATA UNA QUATERNA ORDINATA, QUANTE SONO LE QUATERNE ORDINATE AD ESSA EQUIVALENTI (COMPRESA QUELLA DI PARTENZA)? SONO TANTE QUANTI I MODI CON CUI, DATI 4 OGGETTI, ESSI POSSONO ESSERE ORDINATI (= MESSI IN FILA) Pertanto, fissata una quaterna ordinata, essa fa parte di un gruppo di 4! quaterne equivalenti. Il numero delle quaterne non ordinate di ragazzi interrogati sarà (25·24·23·22)/ 4!= 12650

10 IntroduzioneIl calcolo combinatorio - Quanti sono? TERZA REGOLA (conseguenza delle precedenti) Se in un dato problema ci interessano le n-uple NON ordinate, dobbiamo pensare il nostro elenco di n-uple ordinate ripartito in tanti gruppi, in ciascuno dei quali vi sono le n-ple che contengono gli stessi elementi, anche se in ordine diverso. Abbiamo così tanti gruppi, ciascuno formato da n! n-uple, e ciascun gruppo va contato "come se si trattasse di una sola n-upla". Allora

11 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le disposizioni Supponiamo di avere n oggetti distinti (ad es: n palline numerate progressivamente da 1 a n, oppure n lettere dell'alfabeto,... ). Sia ora k un intero, k n. Le k-uple (configurazioni con k elementi) ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti dati sono anche dette "le DISPOSIZIONI degli n elementi di classe k. Esempio: Ci sono 10 ragazzi, in quanti modi posso scegliere: un portiere, un arbitro e un raccattapalle?

12 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le combinazioni Le k-uple NON ORDINATE che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra n gli oggetti dati sono anche dette "le COMBINAZIONI degli n oggetti dati di classe k". tale passaggio è possibile anche per k = n ricordando che 0! =1 DA RICORDARE Disposizioni: configurazioni ordinate Combinazioni: configurazioni non ordinate Esempio: Giocando a briscola, quante sono le possibili mani allinizio del gioco per un giocatore?

13 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le disposizioni con ripetizione Si parla di "DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE" quando uno stesso oggetto, nella k-upla ordinata, può essere ripetuto più di una volta. In questo caso, non deve essere necessariamente k n. Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti, presi a k a k, si indica col simbolo Esempio: Se si lanciano 10 monete (o anche: se si lancia una moneta 10 volte) quanti sono gli esiti possibili?

14 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le permutazioni Le "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI" sono tutte le n-uple ordinate costruibili utilizzando, senza ripetizione, quegli oggetti; Esempio: Quanti sono gli anagrammi della parola PARCO La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

15 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le permutazioni Permutazioni di n oggetti non tutti diversi Possiamo pensare alle "PERMUTAZIONI DI n OGGETTI NON TUTTI DIVERSI. Presi n oggetti, dei quali m

16 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Le permutazioni Esistono anche le "PERMUTAZIONI CICLICHE DI n OGGETTI". Una "permutazione ciclica di n oggetti"è "uno dei modi in cui tali oggetti possono essere disposti intorno ad un tavolo circolare, come se fossero giocatori di carte". E' evidente che la situazione a d bcbc coincide, in questo contesto, con ciascuna delle seguenti: d c c b b a a b d a c d Esempio: In quanti modi si possono disporre 5 giocatori di carte intorno a un tavolo? 4! = 24

17 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Il coefficiente binomiale I numeri vengono anche detti coefficienti binomiali Il coefficiente binomiale risponde alla domanda: "dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k?" Proprietà

18 Combinatoria in formuleIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Il binomio di Newton Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima potenza di un binomio. La formula è:

19 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Giochi di Archimede [22 novembre 2011] Quanti sono i numeri palindromi di 5 cifre tali che la somma delle cifre sia pari? Il numero deve essere del tipo "abcba": 9 scelte per a x 10 scelte per b x 5 scelte per c = 450. La prima cifra non può essere 0, altrimenti il numero sarebbe di 4 cifre, nessuna limitazione per b. La somma delle cifre, esclusa la centrale è pari, qualunque sia la parità delle prime due; infatti è pari sia la somma di due pari, sia la somma di due dispari. Dunque è la cifra c che assegna la parità al numero e quindi si hanno solo 5 scelte.

20 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Giochi di Archimede - biennio [18 novembre 2009] Carla sì è dimenticata la password di accensione del suo nuovissimo computer. Si ricorda però che è una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono minuscole. Quante password diverse deve provare Carla, al massimo, per accendere il computer? (A) (B) 5 5 (C) (D) 5 6 (E) Supponiamo che la pwd sia MMmm. 5 scelte per ciascuno vocale, quindi 5 4 ; oppure le disposizioni con ripetizione n k. Ora si deve anagrammare la parola MMmm, perché maiuscole e minuscole possono essere in qualsiasi posizione e quindi, per la formula delle permutazioni con ripetizione si ha

21 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Giochi di Archimede [22 novembre 2011] Alla Grande Cena … lanno scorso cerano 60 modi di scegliere un pasto (primo + secondo). Questanno verranno aggiunti dei primi e ci saranno 68 modi di scegliere un pasto. Quanti primi cerano, come minimo lo scorso anno? anno scorso: p scelte per il primo x s scelte per il secondo p x s=60 questanno: (p+p) x s = 68 Quindi (p+p)/ p = 17/15 e quindi p/p = 2/15. Ovvero p = (15p)/2 Il primo intero si ha per p=2 ed è p=15.

22 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Gara di febbraio 2009 Nell'ultimo Capodanno, andavano molto di moda degli occhiali con la forma del numero "2009" e le lenti al posto dei due zeri. Per fabbricare occhiali simili, è necessario che nel numero che rappresenta l'anno vi siano due o più zeri consecutivi (per esempio 3500 va bene, 2010 no). Quanti anni compresi tra l'anno 999 e l'anno 9999 contengono due o più zeri consecutivi nella loro scrittura? (A) 171 (B) 180 (C) 190 (D) 191 (E) 200. Contiamo quanti sono gli anni che contengono due o più cifre zero consecutive; per fare questo, consideriamo inizialmente in quali posizioni possono essere le cifre zero e non-zero. Le possibilità sono 3: XOOO, XXOO, XOOX (dove O rappresenta una cifra zero e X rappresenta un non-zero)..

23 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Gara di febbraio 2009 XOOO, XXOO, XOOX (dove O rappresenta una cifra zero e X rappresenta un non-zero). Infatti in prima posizione non ci può essere uno zero a causa dell'intervallo di anni scelto. Ora, al posto di ogni X possiamo sostituire una cifra tra 1 e 9, e ogni possibile, scelta "genera" un anno valido. Quindi per la prima possibilità abbiamo 9 scelte, invece per il secondo e per il terzo 9 9 = 81. In totale allora abbiamo =171 ( anni validi). Si noti che se invece avessimo contato il numero di modi in cui si può sostituire una i cifra da 1 a 9 a X e una cifra da O a 9 a Y nei due pattern XOOY e XYOO, avremmo ottenuto un risultato errato perché avremmo contato due volte gli anni della forma XOOO.

24 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Gara di febbraio 2010 Antonio, Beppe, Carlo e Duccio si distribuiscono casualmente le 40 carte di un mazzo, 10 a testa, Antonio ha l'asso, il due e il tre di denari. Beppe ha l'asso di spade e l'asso di bastoni. Carlo ha l'asso di coppe. Chi è più probabile che abbia il 7 di denari? (A) Antonio (B) Beppe (C) Carlo (D) Duccio (E) due o più giocatori hanno la stessa probabilità di averlo.

25 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Gara di febbraio 2010 Intuitivamente, le posizioni delle carte rimanenti sono equiprobabili, quindi è più probabile che il 7 di denari finisca a Duccio "perché ha più spazio libero". Più formalmente: contiamo i modi di distribuire 34 carte tra 4 persone, in modo che uno ne riceva 10, uno 9, uno 8 e uno 7; possiamo distribuire ordinatamente 34 carte in 34! modi diversi, ma questo viene diviso per 10!9!8!7! (la formula è la stessa degli anagrammi con ripetizione). Quindi abbiamo P = 34! /(10!9!8!7!) casi possibili. Quante sono le configurazioni in cui Antonio ha il 7 di denari? Per un conto analogo sono PA = 33! /(10!9!8!6!) PA/P = 7/34 ; PB/P = 8/34; PC/P = 9/34 ; PD/P = 10/34

26 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Gara di febbraio 2011 Quanti sono i numeri interi positivi di 10 cifre abcdefghij, con tutte le cifre diverse e che verificano le condizioni a+j=b+i=c+h=d+g=e+f=9 Nota: un numero non può iniziare con 0. (A) 3456 (B) 3528 (C) 3645 (D) 3840 (E) Chiamiamo, come nel testo, abcdefghij le 10 cifre del numero. Per i numeri della forma richiesta, fissare le prime 5 cifre a, b, c, d, e determina univocamente tutto il numero per la condizione imposta (dato che possiamo ricavare f=9-e, a=9-d,...). Dimenticandoci per ora del fatto che un numero non deve iniziare per 0, vediamo che a può essere scelta in 10 modi, b in 8 modi (tutte le cifre, tranne a, già usata, e 9-a), c in 6, d in 4 ed e in 2 modi possibili

27 Problemi vari di combinatoria Il calcolo combinatorio - Quanti sono? Problemi vari di combinatoria Da questi dobbiamo però togliere i numeri che iniziano con la cifra zero. Essi sono per lo stesso ragionamento di prima (8 scelte per la cifra b, 6 per e, 4 per d e 2 per e). La risposta al problema è quindi = (10-1)* = 3456.

28 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Principio della cassettiera o della piccionaia Il principio della piccionaia Il principio della piccionaia afferma che se p piccioni devono trovare posto in c caselle e ci sono più piccioni che caselle (p>c) allora in qualche casella entreranno almeno due piccioni. Tale principio può essere descritto anche nel modo seguente. Il principio della cassettiera Se n oggetti sono collocati in k cassetti, e se n>k, allora almeno un cassetto deve contenere almeno due oggetti.

29 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Principio della cassettiera o della piccionaia Esempio. Se ci sono 8 piccioni in 7 caselle, allora, poiché 8 > 7, almeno una casella contiene almeno 2 piccioni. Questo è un principio semplice ma di grande utilità. Estensione del principio della piccionaia Se p (piccioni) > n*c (caselle) per qualche intero n, allora almeno una casella contiene n + 1 piccioni. Esempio. Se ci sono 27 piccioni in 8 caselle, allora, poiché 27 > 3*8, almeno una casella contiene = 4 piccioni.

30 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? La peggiore delle ipotesi (worst case) Calzini in una stanza buia In un cassetto ci sono 10 paia di calzini marroni e 10 paia blu. Quanti calzini devi prendere per essere sicuro di avere un paio di calzini dello stesso colore? E sufficiente pescare 3 calzini Palline nere, rosse e bianche In un cassetto ci sono 12 palline nere, 8 rosse e 6 bianche. Pescando a caso, quante se ne devono prendere per essere sicuri di averne 3 dello stesso colore? Nella peggiore delle ipotesi, 6 palline non sono sufficienti. Infatti potrebbero essere B-B-N-N-R-R. Supponiamo di essere arrivati a 6 palline senza averne 3 dello stesso colore. Visto che i colori sono 3, alla settima estrazione si avranno almeno 3 dello stesso colore. In conclusione bisogna pescarne almeno 7.

31 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Partizioni di un intero e colorazioni Problema: In quanti modi si possono scegliere tre numeri a, b, c (non negativi) tali che a+b+c=14 (da notare che è diverso da 2+5+7) Soluzione: Lidea è che ad ogni modo di colorare 2 caselle su 16 corrisponde univocamente un modo di scegliere 3 numeri che sommati formano 14.

32 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Partizioni di un intero e colorazioni In generale: E se fra gli addendi non ci può essere lo zero?

33 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Partizioni di un intero e colorazioni Problema: Dato un intero positivo, in quanti modi può essere espresso come somma di k interi maggiori o uguali di 1? (Lordine conta!) Ad esempio: In quanti modi 8 è somma di quattro addendi? Diventa: in quanti modi disporre 3 segmenti colorati su 7? Risposta: In generale

34 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Principio di inclusione - esclusione Problema: In una classe con 30 studenti. Tutti suonano almeno uno strumento. 20 alunni suonano il piano e 16 la chitarra. Quanti entrambi? Soluzione: 30 = – x x = 6 Ritroviamo Problema Olimpiadi 1998 (biennio): In una classe di 20 persone, 15 giocano a calcio, 14 a basket e 13 a pallavolo. Quanti sono, al minimo, che praticano tutti e 3 gli sport? Soluzione: 5 persone non giocano a calcio, 6 non giocano a basket, 7 non giocano a pallavolo. Al massimo sono =18. Quindi almeno 2 ragazzi devono praticare tutti e tre gli sport.

35 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Divisori di un intero positivo Problema: Quanti sono i divisori di 2012? Soluzione: Fattorizzo 2 2 x 503 Come è un divisore di 2012? 2 a x 503 b Con a = 0, 1, 2 b= 0, 1 Pertanto si avranno 3 scelte per a e 2 scelte per b. In totale In generale: Se I divisori di n sono

36 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Invarianti Per risolvere alcuni problemi di combinatoria può essere utile ricorrere agli invarianti, cioè una quantità che non cambia durante un procedimento. Ad esempio: su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge 1 ad un numero e si toglie 1 da un altro. Invariante è la somma dei numeri. Oppure su una lavagna sono scritti 10 numeri. Ad ogni turno si aggiunge o si toglie 1 da 2 numeri. Invariante è la parità della somma dei numeri.

37 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? Invarianti Problema: Ci sono tre sacchetti: A con 2000 palline, B con 3000 palline e C con 4000 palline. Posso fare 2 mosse: prendere due palline da un sacchetto e metterle una in ciascuno dei restanti sacchetti oppure prendere due palline da due sacchetti distinti e metterle nel terzo. Si può giungere ad avere 3000 palline in ogni sacchetto? Considero la differenza fra le palline di due sacchetti. Essa resta costante o aumenta di 3. Pertanto partendo da 1000 o 2000 non può arrivare a 0.

38 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? E… il senso comune? Quesito n.7 (EdS 2010): Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche laltro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta. Anna ha esattamente due figli di cui almeno una femmina. Le possibili coppie ordinate (per il primo e secondo figlio) sono: M F - F M - F F La probabilità che entrambi i figli siano femmine è 1/3.

39 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? E… il senso comune? Il paradosso di Monty Hall Il problema di Monty Hall è un famoso problema legato al gioco a premi americano Lets make a deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova unautomobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non lha ancora aperta, il conduttore dello show (che sa cosa si trova dietro ogni porta) apre una delle altre due mostrando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la scelta iniziale passando allunica porta chiusa. Si tratta di capire se al concorrente conviene cambiare la scelta. Ce lo spiega Kevin Spacey dal film 21 Il Problema di Monty Halldal film 21

40 Problemi vari di combinatoriaIl calcolo combinatorio - Quanti sono? E… il senso comune? Il paradosso di Monty Hall Contiamo le tre situazioni possibili, ciascuna avente probabilità 1/3: 1. Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto. 2. Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto. 3. Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.


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