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Laboratorio Matematica dellincerto Anno scolastico 2010/11 Liceo Scientifico LICEO SCIENTIFICO con opzione SCIENZE APPLICATE Liceo Classico Federico Quercia.

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Presentazione sul tema: "Laboratorio Matematica dellincerto Anno scolastico 2010/11 Liceo Scientifico LICEO SCIENTIFICO con opzione SCIENZE APPLICATE Liceo Classico Federico Quercia."— Transcript della presentazione:

1 Laboratorio Matematica dellincerto Anno scolastico 2010/11 Liceo Scientifico LICEO SCIENTIFICO con opzione SCIENZE APPLICATE Liceo Classico Federico Quercia Marcianise

2 La Matematica dellIncerto Nel mondo in cui viviamo gli eventi incerti sono molto più frequenti di quelli certi o impossibili. È in situazioni di incertezza che si devono fare scelte e prendere decisioni. Quindi è importante familiarizzare con lidea che un avvenimento può essere possibile, senza per questo essere certo. Da qui nasce la necessità di sviluppare uno strumento per misurare questa incertezza che chiamiamo Teoria della Probabilità. Dove per probabilità si intende la misura del grado di fiducia in un evento.

3 Il laboratorio Lobiettivo del nostro laboratorio è stato quello di avvicinare gli alunni al concetto di incertezza matematica e, quindi, al concetto di probabilità stimolando la loro curiosità e chiedendo la soluzione di problemi, legati alla realtà, il cui esito non può essere previsto in anticipo. Gli alunni divisi in gruppi hanno realizzato esperimenti, raccogliendo dati, su cui si sono poi basate le discussioni per linterpretazione dei risultati ottenuti. Per meglio comprendere landamento di alcune situazioni si sono anche realizzati simulazioni al computer. Infine, si sono anche studiate e discusse alcune problematiche che più volte sono state affrontate nella storia della matematica come il calcolo di aree e la determinazione di.

4 Il laboratorio Le attività del laboratorio sono state divise in 5 fasi nel seguente modo: Fase 2: Studio di un caso pratico (Lancio di dadi) e simulazioni al computer (4h) Fase 3: Ricerca sulla Storia della Probabilità (4h) Fase 1: Test sullintuizione probabilistica (2h) Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede con il Metodo di Montecarlo (2h) Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon (2h)

5 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Lobiettivo di questa fase è stato quello di arrivare alle varie definizioni di probabilità, rispondendo in maniera intuitiva a quesiti e problemi su cui poi si è discusso tutti insieme. Questo modo di lavorare ci ha permesso di guardare la matematica da un punto di vista più pratico e meno teorico e di acquisire un metodo di lavoro di gruppo, aumentando inoltre le nostre conoscenze.

6 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Alla fine dopo la discussione tra di noi e sotto la guida del professore siamo arrivati alla distinzione tra le tre definizioni di probabilità. Definizione classica Probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero n degli eventi possibili cioè: P(E)= f/n 0 < P(E) <1 Gli eventi devono avere tutti la stessa probabilità di accadere, cioè essere equiprobabili.

7 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione frequentistica Relativamente ad un esperimento A, che può essere osservato molte volte, la probabilità di un evento E è il valore a cui tende il rapporto tra il numero di prove che hanno avuto esito favorevole ad E ed il numero totale di prove fatte. Anche in questo caso 0 < P(E) <1

8 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione soggettiva Né il modello classico né il modello statistico sono in grado di dare valutazioni di probabilità su eventi che ci coinvolgono direttamente o che non possono essere ripetuti nelle stesse condizioni. Ad esempio non è possibile stabilire chi vincerà fra quattro giocatori di una partita di poker, perché ogni partita è diversa dallaltra e anche la fortuna gioca un ruolo importante. Inoltre non ha senso parlare di rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, perché questo significherebbe dire che ogni giocatore ha esattamente le stesse possibilità di vincere. La probabilità diventa in questo caso una misura della fiducia che noi riponiamo nel fatto che si verifichi o meno un certo evento; tale fiducia si può misurare in termini di somma di denaro che il soggetto che sta valutando la probabilità è disposto a versare in anticipo per poter ricevere una quota maggiore se levento si verifica.

9 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione soggettiva La probabilità di un evento E è rappresentata dal rapporto fra il prezzo P che un individuo ritiene giusto di pagare e la somma S che ha diritto di avere in cambio se levento si verifica. P(E)= P/S Esempio: Enrico è disposto a pagare 40 Euro per ricevere 100 Euro se Mario vince la gara di sci P(E)= 40/100 = 2/5 = 0,4 40% Anche questo modo di concepire la probabilità dà origine ad un numero compreso tra 0 e 1, perché si suppone che la somma che si è disposti ad anticipare sia, in caso di esito favorevole, inferiore o tuttal più uguale a quella che si vincerà.

10 Fase 1: intuizione del concetto di probabilità "... non ha senso parlare della probabilità di un evento se non in relazione all'insieme di conoscenze di cui una persona dispone.... La probabilità soggettiva è quindi un aiuto per dare un'attendibile misura di ciò che non si può misurare oggettivamente" Bruno De Finetti ( ), Filosofia della Probabilità.

11 Fase 2: Studio del Lancio di Dadi In questa fase del laboratorio si sono formati due gruppi. Ogni gruppo ha portato avanti due esperienze diverse, tutte relative agli eventi legati al lancio di dadi. In un primo tempo, ciascun gruppo ha effettuato le esperienze ripetendo 30 volte il lancio dei dadi e riportato i risultati ottenuti in una tabella, da cui si sono ricavate le frequenze relative di ogni evento. Si sono poi individuati gli spazi degli eventi per ciascun caso in esame, stabilendo così il numero di casi favorevoli e la probabilità dellevento. Per completare le esperienze si sono realizzate delle simulazioni al computer utilizzando Excel. Per simulare il lancio dei dati nei fogli Excel si è utilizzata la funzione CASUALE.TRA(1;6) che restituisce un numero intero compreso nellintervallo specificato. Si è simulato il lancio dei dadi per circa 400 volte e si sono calcolate poi le frequenze assolute e relative per ciascun evento.

12 Fase 2: Studio del Lancio di Dadi I GRUPPO Qual è la probabilità che esca almeno un sei lanciando due dadi contemporaneamente? Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 11 Probabilità delluscita del 6 = 11/36 Per tutti i numeri la probabilità è la stessa (1;1)(1;2)(1;3)(1;4)(1;5)(1;6) 2(2;1)(2;2)(2;3)(2;4)(2;5)(2;6) 3(3;1)(3;2)(3;3)(3;4)(3;5)(3;6) 4(4;1)(4;2)(4;3)(4;4)(4;5)(4;6) 5(5;1)(5;2)(5;3)(5;4)(5;5)(5;6) 6(6;1)(6;2)(6;3)(6;4)(6;5)(6;6)

13 Fase 2: Studio del Lancio di Dadi II GRUPPO Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente su entrambe le facce non compaia il numero sei? Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 25 Probabilità del evento = 25/36 Per tutti i numeri la probabilità è la stessa (1;1)(1;2)(1;3)(1;4)(1;5)(1;6) 2(2;1)(2;2)(2;3)(2;4)(2;5)(2;6) 3(3;1)(3;2)(3;3)(3;4)(3;5)(3;6) 4(4;1)(4;2)(4;3)(4;4)(4;5)(4;6) 5(5;1)(5;2)(5;3)(5;4)(5;5)(5;6) 6(6;1)(6;2)(6;3)(6;4)(6;5)(6;6)

14 Fase 2: Studio del Lancio di Dadi Frequenze assolute – Lancio di due dadi

15 Qual è la probabilità che nel lancio dei due dadi la somma dei numeri sia 6? Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 5 Probabilità dellevento P(6) = 5/36 Levento con probabilità maggiore è che la somma sia 7 P(7)=6/36 I Gruppo

16 Qual è la probabilità che nel lancio di tre dadi la somma dei numeri sia 6? Eventi possibili = 246 Eventi favorevoli = 42 Probabilità dellevento P(6) = 42/246 = 7/41 II Gruppo

17 Fase 3: Ricerca Storica Questa fase è stata dedicata allo sviluppo storico della Teoria della Probabilità. Si è partiti nellanalizzare le motivazioni e le questioni che hanno portato allo sviluppo di questa parte della matematica, concentrando poi la nostra attenzione sulle figure dei matematici che hanno contributo allo sviluppo della matematica dellincerto. Lo sviluppo del Calcolo delle Probabilità si fa generalmente risalire alle corrispondenze epistolari tra Pascal e Fermat della metà del 1600, ma alcuni problemi riguardanti giochi dazzardo erano già stati studiati precedentemente. Ad esempio, Luca Pacioli aveva trattato un problema di probabilità nel suo libro Summa de arithmetica, stampato a Venezia nel 1494, anche se trovò una soluzione errata.

18 Fase 3: Ricerca Storica Alla fine del 1500, inizi del 600, Gerolamo Cardano e Galileo Galilei si cimentarono nella soluzione di alcuni problemi di calcolo delle probabilità legati al gioco dei dadi. Il concetto di fenomeno casuale è però molto antico; esso risale agli antichi filosofi materialisti greci, ad es., è trattato nel De rerum natura di Lucrezio. La casualità è ripresa anche nella Fisica da Aristotele. Nel corso dell800 si ebbe lapporto di tanti altri matematici come Simeon-Denis Poisson ( ) e Karl Friedrich Gauss ( ). Nel 900, infine, il Calcolo delle Probabilità ha avuto uno sviluppo travolgente e costituisce una delle parti trainanti della Matematica moderna. I risultati della ricerca storica effettuata sono stati inseriti in una ulteriore presentazione PowerPoint.PowerPoint

19 Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede AB CD V Teorema di Archimede Larea del segmento parabolico ABVA è uguale ai 2/3 dellarea del rettangolo ABCD

20 Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Larea da determinare può essere espressa mediante un sistema di disequazioni. Si racchiude larea da calcolare in un quadrato di lato unitario (cosa sempre possibile con una opportuna scelta delle unità di misura). Metodo di Montecarlo In molti casi pratici il calcolo dellarea di una regione di piano non è facile (ad esempio larea di una macchia). Il metodo Monte Carlo, che sfrutta le capacità di calcolo iterativo di un elaboratore, può fornire almeno un valore approssimativo della misura cercata.

21 Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Supponiamo ora di disporre di due sequenze di numeri casuali distribuiti nellintervallo (0;1) e consideriamo il punto P di coordinate (x;y) con x e y appartenenti rispettivamente alle due sequenze casuali e guardiamo se la coppia (x;y) soddisfa le disequazioni che definiscono larea interessata. Ripetendo loperazione un numero molto grande di volte (legge dei grandi numeri) il rapporto fra il numero di punti che cadono internamente allarea (casi favorevoli) e il numero totale di tentativi (casi possibili) approssima larea considerata.

22 Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Per la verifica del teorema si è realizzato un foglio Excel. Una parte del foglio è dedicata alla costruzione del grafico di una parabola con vertice nellorigine, di equazione y=ax 2. Unaltra parte invece genera delle coppie di numeri casuali che vengono interpretati come coordinate in un piano cartesiano. Le ordinate di questi punti casuali vengono confrontate con quelle ottenute dallequazione della parabola nel seguente modo se y < ax 2 il punto è esterno alla parabola se y ax 2 il punto è interno alla parabola

23 Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Il rapporto tra il numero di punti che cadono allinterno dellarco di parabola e il numero totale di punti totali approssima sempre meglio il valore 2/3 al crescere dei punti generati.

24 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon E noto che il numero = 3.14… rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro. Con il metodo dellago di Buffon è possibile determinare sperimentalmente il valore di.

25 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L d) si getta a caso sul piano.

26 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

27 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

28 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

29 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

30 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

31 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Si può dimostrare che la probabilità, che un ago intersechi una linea orizzontale, è p = 2L/d Se si tira lago n volte e si conta il numero m delle volte che esso finisce su una delle linee, si ha approssimativamente che il rapporto m/n non varia apprezzabilmente per n sufficientemente grande. Il valore di m/n può essere assunto come la probabilità che lago intersechi la linea. Dunque, si ha m/n 2L/d, da cui si ottiene 2Ln/md ; questa relazione fornisce una valutazione sperimentale del valore di.

32 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Per realizzare la simulazione con il foglio Excel bisogna individuare un criterio per stabilire se un ago incontra o no una linea orizzontale. Poniamo: Con M punto medio di AB Un ago interseca una delle rette solo se risulta soddisfatta la condizione y < AC, cioè se

33 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon Quindi levento E: lago interseca una delle rette, ammette come casi favorevoli quelli dati dalla relazione y < (L/2)sin x mentre linsieme dei casi possibili è definito dalle condizioni 0 x e 0 y (d/2) Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le precedenti considerazioni, la probabilità dellevento E, risulta dal rapporto fra larea sottesa dalla curva di equazione y = (L/2)sin x e larea del rettangolo di dimensioni e d/2

34 Fase 5: Calcolo di con il metodo dellAgo di Buffon

35 Realizzato da Bizzarro Giuseppe – 4^C Capuano Girolamo – 4^F Laurenza Pasquale – 4^C Lieto Raffaele – 3^C Marino Pietro – 4^C Piccolo Antonio – 3^C Piccolo Luigi – 4^C Russo Gaspare – 4^C Vitale Fabio – 4^C Vitale Pasquale – 4^C Referente : Prof. Vincenzo Serafino


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