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Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio: Un indagine critica sul concetto di rischio finanziario PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002.

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1 Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio: Un indagine critica sul concetto di rischio finanziario PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002

2 Schema della presentazione Definire una Misura di Rischio: Value at Risk (VaR) Expected Shortfall (ES) Misure Coerenti di Rischio Definizione Coerente di ES: alcune sottigliezze matematiche Misure Spettrali di Rischio Subjective Risk Aversion e Misure Coerenti. La Risk Aversion Function

3 Argomento: solo finanza (e un po di statistica) Le domande del Risk Manager FinanziarieStatisticheProbabilisticheComputazionali Che cosa misuro ? Come stimo la misura ? Che ipotesi devo fare ? Che computer mi serve ? La nostra indagine è dedicata solo a temi finanziari e statistici. I risultati saranno peraltro assolutamente generali

4 Parte 1: Definire una Misura di Rischio

5 Value at Risk (VaR): come funziona Per calcolare il VaR di un portafoglio si deve fissare: Un orizzonte temporale: ad esempio un giorno. Rappresenta il periodo futuro di osservazione. Un livello di confidenza: ad esempio una probabilità del 5%. Rappresenta la frazione scelta di casi peggiori per il portafoglio. Il VaR è definito da Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori O analogamente, Il VaR di un portafoglio è la perdita massima che esso può subire in un giorno nel 95% di casi migliori Per quanto sembri strana questa è la più frequente domanda nella gestione del rischio finanziario

6 Value at Risk (VaR): come funziona

7 LExpected Shortfall come evoluzione del VaR Definizione di Expected Shortfall: L ES di un portafoglio è la perdita media che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori Mentre Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori ES = la media dei casi peggiori VaR = il migliore dei casi peggiori

8 Expected Shortfall: come funziona... ma cambia poi così tanto ?

9 Rischi diversi ma stesso VaR Il VaR non si preoccupa di che cosa succeda oltre la soglia. Io invece mi preoccupo !

10 Protection Selling... Possiamo classificare gli strumenti o portafogli finanziari in due categorie: Protection Seller Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi molto elevati ma di probabilità molto bassa, con profitti relativamente modesti ma molto probabili. es: una compagnia di assicurazione che percepisce una polizza annua ma garantisce lindennizzo dei danni derivanti da una catastrofe. es: un investitore che compra un bond soggetto a rischio di default, scommettendo in interessi vantaggiosi ma incorrendo nel rischio che lemittente fallisca. es: una posizione corta in opzioni (Put o Call che siano). es: tutte le posizioni in derivati cosiddette corte di volatilità

11 ... e Protection Buying Il viceversa è costituito da... Protection Buying Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi limitati ma di probabilità relativamente alta, con profitti molto elevati o anche potenzialmente illimitati ma dalleventualità remota. es: il sottoscrittore della polizza assicurativa a protezione di un rischio da catastrofe es: un giocatore di totocalcio che compri una schedina a due colonne. es: un investitore che compri un Warrant (Call o Put che sia...) es: tutte le posizioni in derivati lunghe di volatilità

12 Un confronto tra VaR ed ES: rischi estremi Il Protection Seller rischia sempre più del Protection Buyer se hanno lo stesso VaR !!!!

13 1997: qualcuno comincia a sollevare pesanti critiche al VaR Can VaR be used to allocate capital? This question is much related to the non- subadditivity of VaR (…) VaR is more than questionable P. Embrechts, Extreme Value Theory: potential and limitations as an integrated Risk Management Tool, 1999, see (…) The basic reasons to reject the value at risk measure of risks are the following: (a) value at risk does not behave nicely with respect to addition of risks (…) creating severe aggregation problems. (b) the use of value at risk does not encourage and, indeed, sometimes prohibits diversification, because value at risk does not take into account the economic consequences of the events the probabilities of which it controls P. Artzner, F. Delbaen, et al, 1999, Coherent Measures of Risk, see

14 Il principio di diversificazione dei rischi L aggregazione di due portafogli ha sempre leffetto di ridurre o al più di lasciare inalterato il rischio complessivo. + = Portfolio A Portfolio B Portfolio A + B Il rischio di ( A + B ) è inferiore o uguale a rischio di (A) + rischio di (B)

15 Misure Coerenti di Rischio (Monotonicità) se allora (Omogeneità Positiva) seallora (Invarianza Translazionale) (Subadditività) In un celebre articolo Coherent measures of Risk (Artzner, Delbaen, Eber, Heath Mathematical Finance, Luglio 1999) venne proposto un insieme di assiomi per definire i requisiti fondamentali di una misura coerente di rischio. Il VaR vìola questo assioma Il principio di diversificazione finisce qui

16 Ma che cosa significa misura coerente di rischio ? Una misura è coerente se attribuisce sempre valori maggiori a rischi più elevati Una misura che non sia coerente può quindi aumentare al diminuire del rischio e viceversa. Quindi una misura non coerente non è una misura di rischio

17 Una violazione di subadditività del VaR Consideriamo un Bond A e supponiamo che, a maturità, ci siano tre possibilità: 1) No default: rimborsa il nominale (100 Euro) e la cedola (8 Euro) 2) Soft default: rimborsa solo il nominale (100 Euro) 3) Hard Default: non rimborsa nulla

18 Una violazione di subadditività del VaR Consideriamo un altro Bond B identico ad A, ma di diverso emittente Supponiamo inoltre che i rischi di default dei due bond siano mutuamente esclusivi e cioè che i due emittenti A e B non facciano mai default assieme. Caso tipico: RISCHI ANTICORRELATI = RIDUZIONE DEL RISCHIO IN CASO DI DIVERSIFICAZIONE

19 Misura del Rischio Il VaR sconsiglia la diversificazione ! LES suggerisce la diversificazione

20 Non-coerenza del VaR Lesempio precedente mette in luce i tipici problemi del VaR Il VaR può scoraggiare la diversificazione (non è subadditivo) Il VaR, fornisce un valore inferiore (44) per un portafoglio più rischioso (1000 Euro di bond A) e un valore maggiore (484) per un portafoglio meno rischioso (1000 Euro di A+B diversificati). Il VaR non è coerente

21 Un portafoglio prototipo Si consideri un portafoglio di n bonds rischiosi tutti con probabilità di default del 2% e si supponga per semplicità che tutte le probabilità di default siano tra loro indipendenti. Portfolio = { 100 Euro investiti in n Bonds indipendenti ugualmente rischiosi} Bond payoff = Nominale (o 0 con probabilità del 2%) Domanda: si scelga n in modo da minimizzare il rischio del portafoglio Proviamo a vedere come rispondono a questa domanda il VaR, lES e TCE con livello di confidenza al 5% e orizzonte temporale uguale alla maturità del bond.

22 Il rischio come funzione del numero di bonds del portafoglio VaR suggerisce di NON COMPRARE il 6 o, 36 o o 83 o bond perché aumenta il rischio del portafoglio.... (!!! ???) La superficie di rischio dellES ha un solo minimo globale a n= e nessun minimo locale. LES ti dice semplicemente: compra più bonds che puoi Forse le cose migliorano per n maggiore ???...

23 Portafogli grandi... il problema permane ! Su portafogli più grandi si riscontra lo stesso schema caotico... Si noti che il portafoglio con 320 bonds ha un VaR inferiore di quello con 400 bonds.

24 ...forse cè davvero qualche problema nel 36 o bond ?! Se usiamo un VaR al 3% invece che al 5% il bond pericoloso non è più il 36 o bensì il 28 o.... (!?... Nonsense !)

25 Subadditività e allocazione del capitale BANCA business unit: Fixed Income business unit: Equities business unit: Forex Lassenza di subadditività rende il VaR inadatto per allocare capitale. In una banca costituita da più centri di rischio, è comune (o inevitabile per ragioni pratiche) misurare i rischi in ciascuna entità separata, riportando i valori ad un ufficio centrale di gestione dei rischi VaR = 5VaR = 3 VaR = 2 Riserve come se VaR = 10 ?

26 Subadditività e vigilanza bancaria Disponendo dei singoli valori di VaR per le diverse Business Units, è consuetudine provvedere ad accantonamenti ai fini della Vigilanza bancaria per ciascuno di questi Valori di VaR. Ma questo equivale a credere che il VaR sia SUBADDITIVO ! VaR Equity = 5 VaR Forex = 3 VaR Bonds = 2 Riserve per un VaR = 10 ?... ma il VaR della banca può essere anche molto superiore a 10

27 E lExpected Shortfall è coerente ? La definizione originale di Expected Shortfall (anche nota come TCE, CVaR o Expected Loss) è Anche questa misura NON è SUBADDITIVA in generale e quindi NON è COERENTE. Si può mostrare che è subadditiva se la distribuzione delle perdite è continua. Nel caso di distribuzioni generali tuttavia essa non gode di subadditività.

28 2001: una definizione coerente di Expected Shortfall Febbraio 2001: nuova definizione di Expected Shortfall Dimostrazione generale di coerenza: C.Acerbi, C.Nordio and C.Sirtori, Expected Shortfall as a Tool of Financial Risk Management Nel caso di distribuzioni continue essa coincide con La dimostrazione di coerenza vale senza alcuna ipotesi sulla distribuzione.

29 Stimare lExpected Shortfall Si può dimostrare (Acerbi, Tasche 2001) che lES è effettivamente stimabile in modo consistente tramite il semplice stimatore Media dei 100 % casi peggiori. Ordered statistics (= dati ordinati dal peggiore al migliore)

30 Parte 2: Misure Spettrali di Rischio

31 Una domanda naturale L Expected Shortfall è un caso isolato o esiste una classe più ampia di misure coerenti di rischio ? E possibile costruire nuove misure coerenti a partire da misure coerenti note ? La risposta è semplice e consente di generare unintera CLASSE di misure coerenti. Date n misure di rischio coerenti 1, 2,... n qualsiasi combinazione lineare convessa = n n ( con k k = 1 e k >0 ) è una MISURA COERENTE

32 Interpretazione Geometrica Se ogni punto rappresenta una misura coerente nota Allora ogni altro punto nelpoligono convesso generato è una nuova misura coerente Date n misure coerenti note, la loro combinazione convessa più generale, è uno qualsiasi dei punti dello spazio di misure di rischio racchiuse nel poligono convesso generato.

33 La nostra strategia.... Insieme di Expected Shortfalls con (0,1] Poligono Convesso = Nuovo spazio di misure coerenti Ma noi conosciamo già infinite misure coerenti di rischio, date da tutte le possibili -Expected Shortfalls per ogni valore di compreso tra 0 e 1 Perciò possiamo generare un nuovo spazio di misure coerenti. Questa classe verrà definita Misure Spettrali di Rischio

34 Misure Spettrali: La classe di Misure Spettrali di Rischio può essere facilmente parametrizzata come imponendo opportune condizioni sullo Spettro di Rischio definito sullintervallo [0,1]. Si noti che questa parametrizzazione contiene sia il VaR che lES: ES: Funzione a Gradino di Heaviside VaR: Delta di Dirac

35 Misure Spettrali di Rischio Teorema: (Acerbi 2001) la Misura Spettrale di Rischio è coerente se e solo se il suo Spettro di Rischio soddisfa 1. è positivo 1. è decrescente 1.

36 La Risk Aversion Function (p) Ogni ammissibile (p) rappresenta un possibile legittimo atteggiamento razionale verso il rischio Un investitore razionale può esprimere la propria soggettiva avversione verso il rischio mediante la sua soggettiva (p) ottenendo la sua misura coerente spettrale M (p): Risk Aversion Function Casi miglioriCasi peggiori Può essere pensata come una funzione che pesa tutti i casi dal peggiore al migliore (p) decrescente spiega lessenza di coerenza:...una misura è coerente solo se assegna pesi maggiori ai casi via via peggiori

37 La Risk Aversion Function (p) per lES e il VaR Expected Shortfall: Funzione a Gradino positiva decrescente Value at Risk: Funzione a Picco positiva non decrescente

38 Stimare le Misure Spettrali di Rischio Si può dimostrare (Acerbi 2001) che ogni misura spettrale ha il seguente stimatore consistente: Funzione discretizzata Ordered statistics (= dati ordinati dal peggiore al migliore)

39 Ci vuole un quinto e un sesto assioma ? Si può mostrare che le misure spettrali M sono tutte e sole le misure coerenti che soddisfano due ulteriori assiomi: (Kusuoka 2001 e Acerbi, Tasche, working paper) La prima condizione può essere espressa in due modi equivalenti: La seconda condizione è data da: (Additività Comonotona) Se X e Y sono rischi comonotoni, allora (X+Y) = (X) + (Y) (First Stochastic Dominance) Se Prob(X a) Prob(Y a), a R allora (Y) (X) (Stimabilità da dati empirici o law invariance) Devessere possibile stimare (X) da estrazioni empiriche di X Se X e Y sono perfettamente correlati, allora il rischio della somma X+Y devessere esattamente pari alla somma dei rischi di X e Y. (X+Y) = (X) + (Y) Se in un certo senso X è peggiore di Y in probabilità, allora il suo rischio devessere più elevato. La misura di rischio dipende SOLO dalla distribuzione di probabilità di X e ciò consente di stimarla da dati empirici di X.

40 Conclusioni Lo spazio delle Misure Spettrali M fornisce la rappresentazione di tutte le misure coerenti di rischio che si prestano ad applicazioni concrete. Ogni misura coerente di questo spazio è in corrispondenza biunivoca con ogni forma razionale di avversione al rischio di un investitore. Per ogni misura spettrale M è disponibile uno stimatore empirico consistente. Lapplicazione concreta di qualsiasi misura spettrale è elementare. LES non gioca alcun ruolo privilegiato allinterno delle Misure Spettrali. Il Value at Risk da questo punto di vista risulta del tutto inadeguato per la descrizione e misurazione dei rischi di un portafoglio. E associabile ad un atteggiamento al rischio non razionale.

41 Riferimenti

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