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Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato.

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Presentazione sul tema: "Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato."— Transcript della presentazione:

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2 Un triangolo e' la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune Il triangolo, come si evince dal nome, è un poligono formato da tre vertici, tre angoli, e tre lati. Esso rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa; oltre a questo il triangolo è anche importante per molte sue altre proprietà e caratteristiche geometriche, su cui si fondano le basi della geometria. Inoltre è una figura indeformabile ed è l'unico poligono a cui è sempre circoscrivibile e in cui è sempre inscrivibile una circonferenza. A C B

3 In un triangolo chiameremo angolo opposto ad un lato l'angolo che sta di fronte al lato. Esempio : di fronte al lato AB sta l'angolo BCA Si definisce angolo esterno ognuno dei due angoli adiacenti a un suo angolo interno rispetto ai prolungamenti dei lati dell'angolo, ogni angolo interno ha quindi due angoli esterni che poiché opposti al vertice risultano congruenti. Si definisce angolo interno langolo formato da due lati consecutivi

4 Fra le caratteristiche salienti può essere menzionato il fatto che la somma dei suoi angoli interni è pari a 180° (un angolo piatto).

5 In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente Ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti In ogni triangolo a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore

6 In ogni triangolo La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato c a b a + b > c a + c > b b + c > a

7 In ogni triangolo La differenza delle lunghezze di due lati è sempre minore del terzo lato c a b a - b < c a - c < b b - c < a

8 In ogni triangolo La somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore del terzo lato 5 u3 u7 u > > > 5 5 u 3 u7 u Vero

9 ALTRIMENTI 2 u3 u7 u > > > 2 2 u 3 u7 u Falso Vero

10 Rispetto ai lati si dividono in Rispetto agli angoli si dividono in Hanno ognuno

11 ISOSCELI EQUILATERI SCALENI ottusangolo acutangolo rettangolo acutangolo rettangolo acutangolo ottusangolo In base ai LATI 3 LATI CONGRUENTI 2 LATI CONGRUENTI 3 LATI NON CONGRUENTI

12 ll l

13 ll b

14 c a b

15 In base agli ANGOLI ACUTANGOLI OTTUSANGOLI RETTANGOLI isoscele equilatero scaleno isoscele scaleno isoscele scaleno 3 ANGOLI ACUTI La somma dei tre angoli è 180° 1 ANGOLO OTTUSO La somma degli altri due è minore di 90° 1 ANGOLO RETTO La somma degli altri due è di 90°

16 C IPOTENUSA CATETO MAGGIORE CATETO MINORE 2 1 i C Nel TRIANGOLO RETTANGOLO i lati hanno un proprio nome: CATETI e IPOTENUSA CATETI sono i lati del triangolo che formano langolo retto IPOTENUSA è il lato opposto allangolo retto. ANGOLO RETTO

17 In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre. In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri In matematica per teorema si intende un enunciato che viene dimostrato nell'ambito

18 Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso Trasporto l'angolo B sopra l'angolo B' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o facendo scivolare l'angolo o ribaltandolo; devo dire che lo porto sopra senza ribaltarlo) in modo che il lato AB vada sopra il lato A'B' ed il lato BC vada sopra B'C'; in questo modo i due triangoli hanno A su A', B su B' e C su C' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto C.V.D. (Come Volevamo Dimostrare) Ipotesi Tesi Dimostrazione Vedi il VIDEO Vedi il VIDEO

19 Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato compreso Trasporto il lato BC sopra il lato B'C' (posso farlo perche' sono congruenti per ipotesi e potrei farlo in due modi diversi: o traslando il lato o ruotandolo; devo dire che lo porto sopra senza ruotarlo) in modo che l'angolo ABC vada sopra l'angolo A'B'C' e l'angolo BCA vada sopra B'C'A'; in questo modo i due triangoli hanno AB su A'B', BC su B'C' e CA su C'A' quindi sono sovrapposti e coincidono punto per punto come volevamo dimostrare Ipotesi Tesi Dimostrazione Vedi il VIDEO Vedi il VIDEO

20 Due triangoli sono congruenti se hanno tutti e tre i lati congruenti Trasporto il triangolo ABC da banda opposta rispetto al triangolo A'B'C' in modo che il lato BC vada sopra il lato B'C'; allora il punto A va in A''. Considero il triangolo A'B'A'': esso ha due lati uguali (A'B'=A''B') quindi ha anche due angoli uguali cioe' B'A'H=B'A''H (quelli indicati in azzurro) Considero ora il triangolo A'C'A'': esso ha due lati uguali (A'C'=A''C') quindi ha anche due angoli uguali cioe' C'A'H=C'A''H(quelli indicati in viola) Considero ora i triangoli A'B'C' ed A''B'C' essi hanno: A'B' = A''B' per ipotesi (ho fatto fare un movimento rigido a due lati uguali per ipotesi) A'C' = A''C' sempre per ipotesi (come sopra) Gli angoli B'A'C'=B'A''C' sono uguali perche' somme di angoli uguali (quelli colorati) Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio come volevamo dimostrare. Ipotesi Tesi Dimostrazione Vedi il VIDEO Vedi il VIDEO

21 L'altezza del triangolo, relativa ad un lato, è il segmento perpendicolare al lato uscente dal vertice opposto. Ogni triangolo ha tre altezze, ognuna relativa ad ogni lato, il punto di incontro di esse si chiama ORTOCENTRO Altezze nel triangolo acutangolo Altezze nel triangolo ottusangolo Altezze nel triangolo rettangolo L'altezza del triangolo è la distanza, misurata da uno dei vertici al lato opposto (o del suo prolungamento).

22 La mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto, dividendo il triangolo in due parti di area uguale. Le tre mediane di un triangolo si intersecano nel suo BARICENTRO o centro di massa. Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto. Mediane nel triangolo acutangolo Mediane nel triangolo ottusangolo Mediane nel triangolo rettangolo

23 Nel triangolo, per bisettrice, relativa ad un angolo, si intende il tratto di semiretta che lo divide in due angoli congruenti e congiunge il vertice col lato opposto. Bisettrici nel triangolo acutangolo Bisettrici nel triangolo ottusangolo Bisettrici nel triangolo rettangolo In qualsiasi triangolo, le bisettrici interne si congiungono tutte e tre in un unico punto, INCENTRO, interno al poligono e equidistante dai lati del triangolo.

24 COSTRUZIONE DI BISETTRICI

25 Gli assi di un triangolo sono rette ortogonali ai lati passanti per il punto medio. Il punto di incontro delle assi si chiama CIRCOCENTRO ed è il centro della circonferenza circoscritta Assi nel triangolo acutangolo Bisettrici nel triangolo rettangolo

26 costruzione

27 b ll l l l b l1l1 l2l2 isoscele scaleno equilatero P = 2 x l + b P = 3 x l P = l 1 +l2l2 + b Somma delle lunghezze dei lati

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29 l primo triangolo è effettivamente un triangolo rettangolo di base 13, altezza 5. Il secondo non è invece un triangolo rettangolo, come si può notare nel punto cerchiato.

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31 ALTRO h?v=4jc5oWWMr8k&feature= player_embedded ALTRO h?v=4jc5oWWMr8k&feature= player_embedded

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