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Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici Un laboratorio per scoprire la matematica. Sassari Novembre 2012 Prof. Sandro Deplano Centro.

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1 Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici Un laboratorio per scoprire la matematica. Sassari Novembre 2012 Prof. Sandro Deplano Centro Ricerca e Sperimentazione dell Educazione Matematica Cagliari Maggio 2012

2 Target docenti: Insegnanti scuola primaria Insegnanti scuola media Insegnanti primo biennio superiori Abstract Il seminario 1.Presentazione di PicK, come uomo; della famiglia e degli amici; come scienziato e i suoi lavori; dei suoi collaboratori e dei colleghi con cui ha lavorato e che hanno condiviso i suoi stessi interessi; 2.Riflessione sulla presentazione di alcuni brani dellarticolo di Pick, in cui sono esposte le considerazioni fondamentali di geometria reticolare Geometriches zur Zahlenlehre (La geometria per la teoria dei numeri), e sullesperienza fatta in 4° liceo scientifico da G.T. Bagni. (tratta da Bagni, Il piano di Pick e i numeri primi e pubblicata in: Periodico di Matematiche, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990). 3.Proposta di un laboratorio che permette una rivisitazione dei geopiani ed una estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore. Si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari; si lavora: 1.su un gruppo di poligoni reticolari equivalenti; 2.su poligoni equivalenti e contemporaneamente isoperimetrici, riuniti in famiglie ; 3.sulla visualizzazione nel geopiano e la costruzione di pavimentazioni poligoni reticolari 4.sulla classificazione delle famiglie e il loro ordinamento senza far uso dei calcoli

3 Vita di Georg Alexander Pickso Georg Alexander Pick matematico austriaco (Vienna 10 agosto luglio 1942).

4 Georg viene educato a casa da suo padre fino all'età di undici anni, entra poi nella quarta classe del Ginnasio Comunale Leopoldstaedter, e sostiene la maturità nel 1875 che lo qualifica per l'ammissione all'università. Si iscrive all'Università di Vienna nel 1875 e l'anno successivo, a soli diciassette anni, pubblica un articolo di matematica. Si laurea in matematica e fisica, nel 1879 Georg Pick nasce in una famiglia ebrea. Sua madre era Schleisinger Josefa e suo padre Adolf Josef Pick, capo di un istituto privato.

5 Pick studia presso lUniversità di Vienna e difende il suo Ph.D. nel 1880 sotto Leone Königsberger e Emil Weyr.Leone KönigsbergerEmil Weyr Dopo aver ricevuto il dottorato è nominato assistente di Ernest Mach presso la Charles-Ferdinand dellUniversità di Praga. Ed è a capo del comitato della stessa università che nomina Albert Einstein alla cattedra di fisica matematica nel 1911.Albert Einstein Pick introduce al calcolo differenziale assoluto i matematici italiani Gregorio Ricci-Curbasto e Tullio Levi-Civita e più tardi nel 1915 collabora con Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale.calcolo differenziale assolutodella relatività generale Fatta eccezione per l'anno accademico passati a studiare sotto Klein all'Università di Lipsia, rimane a Praga per il resto della sua carriera.

6 Nel marzo del 1939 i nazisti invadono la Cecoslovacchia e Pick viene inviato al campo di concentramento di Theresienstadt 13 luglio Muore due settimane dopo. Viene eletto membro dell'Accademia Ceca delle scienze e delle arti, ma quando i nazisti prendono Praga, ne viene escluso.dell'Accademia Ceca delle scienze e delle arti Nel 1927, torna a Vienna, ma quando nel 1938 i nazisti marciano sull Austria rientra a Praga.

7 E ricordato, tuttavia, per il teorema di Pick, che appare nel suo articolo, del Il suo lavoro matematico è estremamente ampio e le sue pubblicazioni (67) riguardano molti argomenti quali algebra lineare, teoria degli invarianti, calcolo integrale, teoria del potenziale, analisi funzionale, geometria ecc. Tutto il lavoro di Pick passa sotto silenzio fino a quando nel 1969 Steinhaus non lo include nel suo libro Steinhaus Mathematical SnapshotsMathematical Snapshots ( Istantanee di matematici ). Da quel momento il teorema di Pick attira molta attenzione e ammirazione per la sua semplicità ed eleganza.

8 Larticolo di Pick in cui sono esposte le considerazioni fondamentali di geometria reticolare si intitola Geometriches zur Zahlenlehre (La geometria per la teoria dei numeri); è il resoconto di una conferenza tenuta dallAutore presso la Società Matematica Tedesca di Praga e venne pubblicato a Praga nel 1899.

9 Così esordisce Pick in tale articolo: A partire da Gauss ( ), i reticoli a forma di parallelogramma nel piano... sono stati più volte utilizzati... come metodo euristico nella teoria dei numeri. A confronto di tutte queste applicazioni, le prossime righe perseguono uno scopo molto più modesto:

10 sarà fatto il tentativo di porre le basi della teoria dei numeri in modo nuovo e, fin dal principio, su basi geometriche. Per questo scopo è necessaria una formula per calcolare larea dei poligoni tracciati in un reticolo, rimasta fino ad oggi inosservata a dispetto, come si potrà vedere, della sua semplicità [Pick, 1899, p. 311].

11 Pick introduce il reticolo come due sistemi di rette parallele equidistanti nel piano, dette rette reticolari principali; Tutte le rette passanti per più di un punto reticolare sono dette rette reticolari. le intersezioni di tali rette sono denominate punti reticolari [Pick, 1899, p. 311];

12 Egli suggerisce inoltre di utilizzare come unità di misura di superficie la metà di ogni singola maglia parallelogramma del reticolo [Pick, 1899, p. 312]. Un poligono avente tutti i vertici coincidenti con punti reticolari si dice poligono reticolare. Per quanto sopra definito, tutti i lati di un poligono reticolare appartengono a rette reticolari [Pick, 1899, p. 312].

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14 Pick suggerisce di scomporre un poligono reticolare in due poligoni mediante una retta reticolare passante per due punti reticolari appartenenti al perimetro.

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16 si indichi inoltre con d il numero dei punti reticolari appartenenti al segmento di retta reticolare che divide il poligono originale nelle due parti. e con i 1, u 1, i 2, u 2 i numeri dei punti reticolari corrispondenti dei due nuovi poligoni ottenuti; Si indichi con i il numero dei punti reticolari allinterno del poligono inizialmente considerato, con u il numero dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro,

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18 Risulta allora: i = i 1 +i 2 + d u = u 1 +u 2 -2d-2 Da ciò segue: 2 i+u-2 = (2i 1 +u 1 -2) + (2i 2 +u 2 -2) Pick indica lespressione (2 i + u - 2) come numero di punti del poligono Considerato ( Area del poligono ). [Pick, 1899, pp ]

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20 Il numero di punti di un poligono reticolare ha unimportante interpretazione geometrica: Pick afferma che per ogni poligono reticolare larea è uguale al suo numero di punti [Pick, 1899, p. 314] Da quanto sopra esposto, emerge che il numero di punti di un poligono costituito da due parti è uguale alla somma dei numeri di punti delle singole parti. Una ripetuta applicazione di questo risultato mostra che esso è accettabile anche per un numero qualsivoglia di parti Proprietà di composizione [Pick, 1899, p. 313].

21 Per dimostrare ciò, Pick nota innanzitutto che il risultato in esame vale nel caso di un poligono costituito da una sola maglia: i = 0 e u = 4 da cui il numero di punti: 2i+u-2 = 2

22 Anche per un poligono limitato esclusivamente da segmenti appartenenti a rette reticolari principali il risultato precedente vale in base alla citata proprietà di composizione [Pick, 1899, p. 313].

23 Inoltre, se suddividiamo un parallelogramma avente il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali in due triangoli congruenti aventi in comune una diagonale (e la congruenza di tali triangoli implica anche la congruenza dei rispettivi insiemi di punti reticolari ad essi appartenenti), il numero di punti di ciascuno di essi viene ad essere la metà di quello del parallelogramma; dunque, anche in questo caso il numero di punti ha il valore dellarea.

24 Osserva infine Pick che un qualsiasi poligono reticolare può essere scomposto in parallelogrammi con il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali ed in triangoli ottenuti dimezzando un parallelogramma di questo genere mediante una diagonale. Da ciò segue che per ogni poligono reticolare larea risulta uguale al numero di punti [Pick, 1899, p. 314].

25 Nelle diapositive seguenti si trovano tre esperienze basate tutte sulla ricerca della superficie relativa alla medesima figura

26 Con Pick si contano i = 27 e u = 8 Area = 2x = 60 Area = 60 mezzi quadretti Oppure 30 quadretti

27 Formula dell'area di Gauss La formula dell'area di Gauss, è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane.Gaussalgoritmoareapoligonocoordinate cartesiane Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti e seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa. La formula può essere rappresentata dall'espressione: dove A è l'area del poligono, n il numero di lati (x i, y i ), i = 1,,..., n sono i vertici del poligono. Oppure, servendosi delle sommatorie:sommatorie

28 A = [ 4x5 + 11x12 +8x9 + 5x x3 - 11x3 – 8x5 – 5x12 + – 6x9 – 4x5 ] / 2 = = 60/2 = 30 L'area del poligono vale:

29 Disegnare e calcolare superfici Con il computer

30 Disegnare e calcolare superfici Con il computer

31 Determinare una formula per calcolare larea di un poligono reticolare non intrecciato non degenere (calcolata rispetto allarea di una maglia del reticolo) sulla base della valutazione del numero i dei punti reticolari allinterno del poligono e del numero u dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro. Lesperienza in una classe di IV liceo dall articolo di G.T. Bagni 1990 Il tempo per la risoluzione 30 minuti METODOLOGIA DELLA RICERCA

32 Sintesi dei risultati Gli altri hanno consegnato il foglio con alcuni tentativi, ovvero con la rappresentazione di casi particolari lapproccio al problema è stato quasi sempre basato sullesame di singoli casi, dai quali, mediante osservazioni e supposizioni, è stata ricavata la formula. Solo 4 allievi su 24 (Andrea, Guido, Martino e Nicoletta) hanno ricavato la formula corretta per determinare larea di un poligono reticolare non intrecciato e non degenere.

33 Gli allievi che hanno determinato la formula richiesta sono stati invitati a giustificare le loro affermazioni e ad indicare i procedimenti seguiti. La netta maggioranza degli altri allievi, ovvero di quelli che non hanno ottenuto la soluzione, ha ammesso di avere esaminato molti casi particolari senza tuttavia giungere ad intuire la formula generale cercata.

34 Il colloquio con Andrea è stato certamente interessante; riteniamo opportuno riportarne ampi brani: Andrea: Ho pensato che la formula da trovare fosse di primo grado. Intervistatore: Perché proprio di primo grado?

35 Andrea: Mi è sembrato logico cominciare dal caso più semplice. e poi se associamo ad ogni punto un quadratino, ad esempio quello che si trova in alto a sinistra, si vede che più crescono i punti più cresce larea. Naturalmente con le opportune correzioni, perché si vede subito che la formula A = u + i non va bene. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando le maglie ed i punti reticolari sul perimetro).

36 Andrea : Quando ho capito che la formula A = u + i non era quella giusta, ho pensato di cercare una formula un po più complicata, ma sempre di primo grado. Ho pensato ad una formula del tipo: A = a x U + b·x I + c con a, b, c numeri opportuni. Ho pensato di ricavare a, b, c con un sistema. Ho preso tre figure semplici. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando i punti reticolari sul perimetro ed i punti reticolari interni).

37 Intervistatore: Perché hai scelto proprio quelle tre figure? Andrea: Ho cercato di considerare figure abbastanza semplici che abbiano però anche dei punti interni. Sostituendo i numeri dei punti sul perimetro, dei punti interni e le aree nellequazione, ho trovato: Ho risolto il sistema ed ho trovato: a = 1/2 ; b = 1; c = –1 { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4 Dunque la formula è : Area = 1/2u + i - 1 Il quadratino [costituito da una sola maglia del reticolo] per esempio non ha punti interni e non so se vada bene.

38 { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4 Noi concludiamo che Andrea passa da uno strumento grafico ad uno strumento algebrico

39 Proposta di laboratorio rivisitazione dei geopiani ed estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari

40 Un procedimento empirico Scegliamo un reticolo a maglia rombica e tale che la sua metà, da usare come unità di misura, sia un triangolo equilatero. Area = 1, come dice Pick, tre punti sul perimetro quindi in questo caso A = 3 – 2 Area = 2, Area = 4 - 2

41 Ora A = 5 – 2 Se si prosegue aggiungendo triangoli la formula funziona ancora ……….

42 Nella figura a sinistra A = 7 – 2 = 5 ed aggiungendo un triangolo come nella figura a destra A = 8 – 2 = 6 Mentre nella figura in basso non solo il numero dei punti sul perimetro non aumenta ma addirittura diminuisce da 7 a 6, quindi poiché compare un punto interno questo deve valere il doppio e larea diventa A = 6 + ( 2 ) – 2 = 6 A = u + 2i - 2

43 Poligoni Non Validi Verificate che larea in questi poligoni degeneri non corrisponde a quella calcolabile con Pick

44 Esperienza Laboratoriale Cercare larea di figure in un reticolo

45 Ordinate i poligoni dalla superficie minore alla maggiore

46 i = 3; u = 4; i = 2; u = 6; i=2; u=6 u = 9 i = 1; u = 6 i=1; u=7 A = 7 A = 8 A = 6 A = 7 A = 8

47 i=1; u=8 u=10 i=2 ; u=6 Poligoni con Area = 8 e il Perimetro ?

48 Dimostrazione grafica che il perimetro della figura gialla è maggiore del perimetro della figura viola Sapete verbalizzare la dimostrazione?

49 Unaltra Esperienza Laboratoriale

50 Con otto mattonelle si possono costruire un gran numero di Pavimenti reticolari posizionandole luna affianco allaltra in modo da ottenere Poligoni Reticolari. Un esempio può essere la figura qui a destra. Se si considera il perimetro si possono contare dieci segmenti, 4 ipotenuse e 6 cateti. Laboratorio

51 I due poligoni a destra hanno lo stesso perimetro e fanno parte della stessa famiglia. Che chiameremo 4 I + 6 C i due poligoni a sinistra fanno, invece parte della famiglia 10 C perché hanno il perimetro formato da 10 cateti della mattonella unitaria.

52 Ecco altri rappresentanti della Famiglia 6C + 4I Tutti questi poligoni hanno la stessa area e lo stesso perimetro

53 Quante famiglie di superficie otto mattonelle si possono ottenere ? Fase 1 : Disegnate o riproducete almeno un rappresentante per ogni famiglia Fase 2 : Ordinate le famiglie da quella che ha il perimetro più corto a quella che ha il perimetro più lungo. Giustificate le vostre affermazioni Attraverso il laboratorio rispondete alle seguenti domande

54 Si trovano …….. famiglie Che si possono suddividere in tre gruppi 11

55 Non hanno punti interni Primo gruppo con perimetro di dieci segmenti

56 Secondo gruppo con perimetro di otto segmenti Hanno tutte un punto interno

57 Terzo gruppo con perimetro di sei segmenti Hanno due punti interni

58 Fase 1 Si devono ordinare le famiglie trovate Senza far calcoli….. Si consideri il primo dei tre gruppi

59 Questa famiglia ha il perimetro di 10 C Scambiando due C con due I si ha Che ha il perimetro più grande della precedente infatti 10 C < 8C +2I sottraendo 8C ai due membri della diseguaglianza si ha 2C < 2I oppure a C < I

60 Questa famiglia ha il perimetro di 8 C + 2I Scambiando due C con due I si ha Che ha il perimetro più grande della precedente infatti 8C +2I < 6C +4I Sottraendo 6C e 2I si ha 2C < 2 I In modo analogo

61 Il gruppo è ordinato Proseguendo

62 Anche per il secondo gruppo

63 Lultimo gruppo Hanno due punti interni

64 Con dieci segmenti 1.C C C C C C C C C C D1 2.C C C C C C C C I I D2 3.C C C C C C I I I I D3 4.C C C C I I I I I I D4 5.C C I I I I I I I I D5 Per ordinare le famiglie Si è cominciato con l ordinare quelle dello stesso gruppo Con sei segmenti 1.C C I I I I S1 2. I I I I I I S2 Con otto segmenti 1.C C C C C C C C O1 2.C C C C C C I I O2 3.C C C C I I I I O3 4.C C I I I I I I O4

65 Per ordinare ulteriormente le famiglie senza far calcoli Si è usato un processo manipolativo: contare le mattonelle Lidea è quella di confrontare quadrati e di concludere che tra due quadrati il quadrato maggiore ha il lato maggiore

66 4 C > 2 I 2 C > I C < I 2 C < 2I Il confronto tra i quadrati ( numero di mattonelle ) permette il confronto tra i lati anche se ….. (irrazionali)

67 se si smonta la figura per ottenere la seguente Occorrono due mattonelle verdi in più quindi 3 C > 2 I

68 3 I > 4 C

69 3 I < 5 C Le mattonelle verdi in più conducono a

70 4 I > 5 C Le mattonelle rosse in più conducono a

71 Oppure La scelta di un processo aritmetico calcolo basato su i punti interni e quelli sul perimetro Per ordinare le famiglie

72 C < 4 I C < I I < 2 C 2 I < 3 C 4 C < 3 I 3 I < 5 C 2 1

73 Per ordinare le famiglie Dalle procedure precedenti otteniamo come strumento la lista seguente: CI 2C<2I 3C>2I 3C<3I 4C<3I 5C>3I 5C<4I 6C>4I

74 Ordiniamo i più piccoli dei tre gruppi 4I +2C < 8C Infatti 4I < 6C Inoltre 8C < 10C S1O1 D1 D2D3 D4 D5 Costruiamo la retta dordine Si possono anche aggiungere D2, D3, D4, D5 S1 O1 D1

75 4 C < 3 I Confrontiamo O1 Con S2 8C < 6I Infatti dividendo per 2 entrambi i membri si arriva alla disequazione Il confronto tra S2 e D1 6I < 10 C discende da 3I < 5C S1O1 D1 D2D3 D4 D5 S2 S1O1 D1 D2D3 D4 D5 Quindi inseriamo S2 nella retta di ordinamento

76 4 C < 3 I 3 I < 5 C 2 I < 3 C Quindi C C I I I I C C C C I I I I I I C C C C C 4 I < 6 C 8 C < 6 I

77 Confronto tra S2 e O2 Da 6I < 6IC+ 2I Si ha 4I < 6C Visto che si sa già che O3 > O2 Allora il confronto si deve fare con D1 Per cui 4I + 4C < 10C Infatti 4I < 6C S1O1 D1 D2D3 D4 D5 S2 O2 O3 O2 O3 Inserendo O2 e O3 nella retta di orientamento

78 Manca da inserire solo O4 Che si deve confrontare con D1 Serve un ulteriore controllo tra O4 e D2 S1O1 D1 D2D3 D4 D5 S2 O2 O3 O4 D2 allora 10 C < 2C + 6I da cui 8C < 6I e 4C < 3I quindi D1 < O4 2C+6I < 6C+4I Conduce a 2I < 4C e così si può posizionare anche O4

79 Se i cateti delle mattonelle sono uguali ad 1, applicando il teorema di Pitagora lipotenusa è uguale a 2; con la calcolatrice si trova che 2 = 1,4142…… che arrotondato per eccesso è uguale a 1,415. Si trova così il perimetro delle figure illustrate e in seguito si costruisce anche qui una retta di orientamento.

80 7,668,498 S1O1S2 7,6688,49

81 9,668,8310 S1O1D1S2O2O3 7,6688,49109,668,83

82 10,83 11,6610,49 S1O1D1D2D3S2O2O3O4 7,6688,49109,668,8311,6610,8310,66

83 12,4913,31 S1O1D1D2D3D4D5S2O2O3O4 7,6688,49109,668,8311,6610,8310,6613,3112,49

84 S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S2 O2 O3 O4 7,66 8 8, ,66 8,83 11,66 10,83 10,66 13,31 12,49 In questa retta la posizione è legata in modo proporzionale alla lunghezza del perimetro

85 Conclusione Si trovano 11 famiglie (con 8 mattonelle) 6 famiglie (con 6 mattonelle) nel poster 5 più una qui sotto

86 Grazie Per osservazioni e chiarimenti contattatemi a

87 Bibliografia [Bagni, 1990] G.T. Bagni, Il piano di Pick e i numeri primi, in: Periodico di Matematiche, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma [DAmore, 1993] B. DAmore, Problemi, Franco Angeli, Milano [Duval, 1993] R. Duval, Registres de répresentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, in: Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, v. 5, IREM, Strasbourg [Gambarelli, 1989] G. Gambarelli, Su alcuni risultati di G. Stocco, in: Periodico di matematiche, serie VI, 65, Luciani, Roma [Kaldrimidou, 1995] M. Kaldrimidou, Lo status della visualizzazione presso gli studenti e gli insegnanti di matematica, in: La matematica e la sua didattica, 1995/2, pp , Bologna [Pick, 1899] G. Pick, Geometriches zur Zahlenlehre, Zeitschrift für Natur-Wissenschafen, hrsg. vom Naturhistorisch. Vereine Lotos in Prag, Prag 1899, pp La traduzione dei brani riportati è di Monica Mariotti. [Schoenfeld, 1986] A.H. Schoenfeld, On having and using Geometric knowledge, in: J. Hiebert (a cura di), Conceptual and procedural knowledge: the case of mathematics, pp , Erlbaum, Hillsdale [Stocco, 1986] G. Stocco, Proposta per una Geometria Reticolare, in: Periodico di Matematiche, serie VI, 62, Luciani, Roma 1986.


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