Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici

Presentazione sul tema: "Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici"— Transcript della presentazione:

1 Dalle pavimentazioni al teorema di PICK misura delle superfici
Cagliari Maggio 2012 Sassari Novembre 2012 si Un laboratorio per scoprire la matematica. Prof. Sandro Deplano Centro Ricerca e Sperimentazione dell’ Educazione Matematica

2 Insegnanti scuola primaria Insegnanti scuola media
Target docenti: Insegnanti scuola primaria Insegnanti scuola media Insegnanti primo biennio superiori Abstract Il seminario Presentazione di PicK, come uomo; della famiglia e degli amici; come scienziato e i suoi lavori; dei suoi collaboratori e dei “colleghi” con cui ha lavorato e che hanno condiviso i suoi stessi interessi; Riflessione sulla presentazione di alcuni brani dell’articolo di Pick, in cui sono esposte le considerazioni fondamentali di geometria reticolare Geometriches zur Zahlenlehre (La geometria per la teoria dei numeri), e sull’esperienza fatta in 4° liceo scientifico da G.T. Bagni. (tratta da Bagni, “Il piano di Pick e i numeri primi” e pubblicata in: “Periodico di Matematiche”, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990). Proposta di un laboratorio che permette una rivisitazione dei geopiani ed una estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore. Si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari; si lavora: su un gruppo di poligoni reticolari equivalenti; su poligoni equivalenti e contemporaneamente isoperimetrici, riuniti in famiglie ; sulla visualizzazione nel geopiano e la costruzione di pavimentazioni poligoni reticolari sulla classificazione delle famiglie e il loro ordinamento senza far uso dei calcoli si

3 Georg Alexander Pickso
Vita di Georg Alexander Pickso Georg Alexander Pick matematico austriaco (Vienna 10 agosto 1859 - 26 luglio 1942).

4 a soli diciassette anni,
Georg Pick nasce in una famiglia ebrea. Sua madre era Schleisinger Josefa e suo padre Adolf Josef Pick, capo di un istituto privato. Georg viene educato a casa da suo padre fino all'età di undici anni, entra poi nella quarta classe del Ginnasio Comunale Leopoldstaedter, e sostiene la “maturità” nel 1875 che lo qualifica per l'ammissione all'università. ok Si iscrive all'Università di Vienna nel 1875 e l'anno successivo, a soli diciassette anni, pubblica un articolo di matematica . Si laurea in matematica e fisica, nel 1879

5 Pick studia presso l’Università di Vienna e difende il suo Ph. D
Pick studia presso l’Università di Vienna e difende il suo Ph.D. nel 1880 sotto Leone Königsberger e Emil Weyr. Dopo aver ricevuto il dottorato è nominato assistente di Ernest Mach presso la Charles-Ferdinand dell’Università di Praga. Leone Königsberger (storico della M) Emil Weyr (metodi algebrici e sintetici in geometria)Ernest Mach (matematico, fisico, filosofo ) Ed è a capo del comitato della stessa università che nomina Albert Einstein alla cattedra di fisica matematica nel 1911. Pick introduce al calcolo differenziale assoluto i matematici italiani Gregorio Ricci-Curbasto e Tullio Levi-Civita e più tardi nel 1915 collabora con Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale . Fatta eccezione per l'anno accademico passati a studiare sotto Klein all'Università di Lipsia, rimane a Praga per il resto della sua carriera.

6 Nel marzo del 1939 i nazisti invadono la Cecoslovacchia e
Viene eletto membro dell'Accademia Ceca delle scienze e delle arti , ma quando i nazisti prendono Praga, ne viene escluso. Nel 1927, torna a Vienna, ma quando nel 1938 i nazisti marciano sull’ Austria rientra a Praga. ok Nel marzo del 1939 i nazisti invadono la Cecoslovacchia e Pick viene inviato al campo di concentramento di Theresienstadt 13 luglio 1942. Muore due settimane dopo.

7 Il suo lavoro matematico è estremamente ampio e le sue pubblicazioni (67) riguardano molti argomenti quali algebra lineare, teoria degli invarianti, calcolo integrale, teoria del potenziale, analisi funzionale, geometria ecc. Steinhaus (considerato come uno dei primi fondatori della moderna teoria dei giochi ) E’ ricordato, tuttavia, per il teorema di Pick, che appare nel suo articolo, del 1899. Tutto il lavoro di Pick passa sotto silenzio fino a quando nel Steinhaus non lo include nel suo libro Mathematical Snapshots (Istantanee di matematici). Da quel momento il teorema di Pick attira molta attenzione e ammirazione per la sua semplicità ed eleganza.

8 L’articolo di Pick in cui sono esposte
le considerazioni fondamentali di geometria reticolare si intitola Geometriches zur Zahlenlehre (La geometria per la teoria dei numeri); Articolo è il resoconto di una conferenza tenuta dall’Autore presso la Società Matematica Tedesca di Praga e venne pubblicato a Praga nel 1899.

9 Così esordisce Pick in tale articolo:
“A partire da Gauss ( ), i reticoli a forma di parallelogramma nel piano... sono stati più volte utilizzati... come metodo euristico nella teoria dei numeri. A confronto di tutte queste applicazioni, le prossime righe perseguono uno scopo molto più modesto: Articolo

10 su basi geometriche. [Pick, 1899, p. 311].
sarà fatto il tentativo di porre le basi della teoria dei numeri in modo nuovo e, fin dal principio, su basi geometriche. Per questo scopo è necessaria una formula per calcolare l’area dei poligoni tracciati in un reticolo, rimasta fino ad oggi inosservata a dispetto, come si potrà vedere, della sua semplicità” [Pick, 1899, p. 311].

11 le intersezioni di tali rette sono denominate punti reticolari
Pick introduce il reticolo come “due sistemi di rette parallele equidistanti nel piano”, dette rette reticolari principali; le intersezioni di tali rette sono denominate punti reticolari [Pick, 1899, p. 311]; Tutte le rette passanti per più di un punto reticolare sono dette rette reticolari.

12 “la metà di ogni singola maglia parallelogramma del reticolo”
Egli suggerisce inoltre di utilizzare come unità di misura di superficie “la metà di ogni singola maglia parallelogramma del reticolo” [Pick, 1899, p. 312]. Un poligono avente tutti i vertici coincidenti con punti reticolari si dice poligono reticolare. Per quanto sopra definito, tutti i lati di un poligono reticolare appartengono a rette reticolari [Pick, 1899, p. 312].

13 Sistema Completo

14 Pick suggerisce di scomporre un poligono reticolare in due poligoni mediante una retta reticolare passante per due punti reticolari appartenenti al perimetro.

15 Sistema Completo

16 Si indichi con i il numero dei punti reticolari all’interno del poligono inizialmente considerato, con u il numero dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro, e con i1, u1, i2, u2 i numeri dei punti reticolari corrispondenti dei due nuovi poligoni ottenuti; si indichi inoltre con d il numero dei punti reticolari appartenenti al segmento di retta reticolare che divide il poligono originale nelle due parti.

17 Sistema Completo

18 (2 i + u - 2) i = i1+i2+ d u = u1+u2-2d-2
Risulta allora: i = i1+i2+ d u = u1+u2-2d-2 Da ciò segue: 2i+u-2 = (2i1+u1-2) + (2i2+u2-2) Pick indica l’espressione (2 i + u - 2) come numero di punti del poligono Considerato ( Area del poligono ). [Pick, 1899, pp ]

19 Sistema Completo

20 Da quanto sopra esposto, emerge che “il numero di punti di un poligono costituito da due parti è uguale alla somma dei numeri di punti delle singole parti. Una ripetuta applicazione di questo risultato mostra che esso è accettabile anche per un numero qualsivoglia di parti” Proprietà di composizione [Pick, 1899, p. 313]. Il numero di punti di un poligono reticolare ha un’importante interpretazione geometrica: Pick afferma che “per ogni poligono reticolare l’area è uguale al suo numero di punti” [Pick, 1899, p. 314]

21 Per dimostrare ciò, Pick nota innanzitutto che il risultato in esame vale nel caso di un poligono costituito da una sola maglia: i = 0 e u = 4 da cui il numero di punti: 2i+u-2 = 2 Sistema Completo

22 Anche per un poligono limitato esclusivamente da segmenti appartenenti a rette reticolari principali
il risultato precedente vale “in base alla citata proprietà di composizione” [Pick, 1899, p. 313]. Sistema Completo

23 Inoltre, se suddividiamo un parallelogramma avente il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali in due triangoli congruenti aventi in comune una diagonale (e la congruenza di tali triangoli implica anche la congruenza dei rispettivi insiemi di punti reticolari ad essi appartenenti), il numero di punti di ciascuno di essi viene ad essere la metà di quello del parallelogramma; dunque, anche in questo caso il numero di punti ha il valore dell’area. Sistema Completo

24 Osserva infine Pick che un qualsiasi poligono reticolare può essere scomposto in parallelogrammi con il perimetro interamente appartenente a rette reticolari principali ed in triangoli ottenuti dimezzando un parallelogramma di questo genere mediante una diagonale. Da ciò segue che per ogni poligono reticolare l’area risulta uguale al numero di punti [Pick, 1899, p. 314]. Sistema Completo

25 Nelle diapositive seguenti si trovano tre esperienze basate tutte sulla ricerca della superficie relativa alla medesima figura

26 Con Pick si contano i = 27 e u = 8 Area = 2x = 60 Area = mezzi quadretti Oppure 30 quadretti

27 Formula dell'area di Gauss
La formula dell'area di Gauss, è un algoritmo matematico utilizzato per determinare l'area di un poligono i cui vertici siano descritti in coordinate cartesiane. Il risultato si ottiene moltiplicando in croce le coordinate corrispondenti e seguendo uno schema simile a quello dei lacci della scarpa. La formula può essere rappresentata dall'espressione: dove A è l'area del poligono, n il numero di lati (xi, yi), i = 1, ,..., n sono i vertici del poligono. Oppure, servendosi delle sommatorie:

28 → A = [ 4x5 + 11x12 +8x9 + 5x5 + + 6x3 - 11x3 – 8x5 – 5x12 +
L'area del poligono vale: 4 11 8 5 6 → A = [ 4x5 + 11x12 +8x9 + 5x5 + + 6x x3 – 8x5 – 5x12 + – 6x9 – 4x5 ] / 2 = = 60/2 = 30

29 Disegnare e calcolare superfici
Con il computer

30 Disegnare e calcolare superfici
Con il computer

31 L’esperienza in una classe di IV liceo
dall’ articolo di G.T. Bagni 1990 METODOLOGIA DELLA RICERCA Determinare una formula per calcolare l’area di un poligono reticolare non intrecciato non degenere (calcolata rispetto all’area di una maglia del reticolo) sulla base della valutazione del numero i dei punti reticolari all’interno del poligono e del numero u dei punti reticolari appartenenti al suo perimetro. Il tempo per la risoluzione 30 minuti

32 Sintesi dei risultati Solo 4 allievi su 24 (Andrea, Guido, Martino e Nicoletta) hanno ricavato la formula corretta per determinare l’area di un poligono reticolare non intrecciato e non degenere. Gli altri hanno consegnato il foglio con alcuni tentativi, ovvero con la rappresentazione di casi particolari l’approccio al problema è stato quasi sempre basato sull’esame di singoli casi, dai quali, mediante osservazioni e supposizioni, è stata ricavata la formula.

33 giustificare le loro affermazioni
Gli allievi che hanno determinato la formula richiesta sono stati invitati a giustificare le loro affermazioni e ad indicare i procedimenti seguiti. La netta maggioranza degli altri allievi, ovvero di quelli che non hanno ottenuto la soluzione, ha ammesso di avere esaminato molti casi particolari senza tuttavia giungere ad intuire la formula generale cercata.

34 Il colloquio con Andrea
è stato certamente interessante; riteniamo opportuno riportarne ampi brani: Andrea: “Ho pensato che la formula da trovare fosse di primo grado”. Intervistatore: “Perché proprio di primo grado?”

35 Andrea: “Mi è sembrato logico cominciare dal caso più semplice. e poi se associamo ad ogni punto un quadratino, ad esempio quello che si trova in alto a sinistra, si vede che più crescono i punti più cresce l’area. Naturalmente con le opportune correzioni, perché si vede subito che la formula A = u + i non va bene”. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando le maglie ed i punti reticolari sul perimetro).

36 Andrea: “Quando ho capito che la formula
A = u + i non era quella giusta, ho pensato di cercare una formula un po’ più complicata, ma sempre di primo grado. Ho pensato ad una formula del tipo: A = a x U + b·x I + c con a, b, c numeri opportuni. Ho pensato di ricavare a, b, c con un sistema. Ho preso tre figure semplici”. (Andrea disegna i rettangoli evidenziando i punti reticolari sul perimetro ed i punti reticolari interni).

37 { Intervistatore: Andrea: 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2
“ Perché hai scelto proprio quelle tre figure?” Andrea: “Ho cercato di considerare figure abbastanza semplici che abbiano però anche dei punti interni. Il quadratino [costituito da una sola maglia del reticolo] per esempio non ha punti interni e non so se vada bene. Sostituendo i numeri dei punti sul perimetro, dei punti interni e le aree nell’equazione, ho trovato: { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4 Ho risolto il sistema ed ho trovato: a = 1/2 ; b = 1; c = –1 Dunque la formula è: Area = 1/2u + i - 1

38 { Noi concludiamo che “Andrea passa da uno strumento grafico”
ad uno “strumento algebrico” { 8a + b + c = 4 4a + b + c = 2 6a + 2b + c = 4

39 Proposta di laboratorio
rivisitazione dei geopiani ed estensione del loro uso dalla scuola primaria alla scuola media e superiore si parte dal teorema di Pick come occasione per riflettere sui punti reticolari

40 Un procedimento empirico
Scegliamo un reticolo a maglia rombica e tale che la sua metà, da usare come unità di misura, sia un triangolo equilatero. Griglie Unite Area = 1, come dice Pick, tre punti sul perimetro quindi in questo caso A = 3 – 2 Area = 2, Area =

41 Se si prosegue aggiungendo triangoli
Ora A = 5 – 2 Se si prosegue aggiungendo triangoli Griglie Unite la formula funziona ancora ……….

42 Nella figura a sinistra A = 7 – 2 = ed aggiungendo un triangolo come nella figura a destra A = 8 – 2 = 6 Mentre nella figura in basso Griglie Unite non solo il numero dei punti sul perimetro non aumenta ma addirittura diminuisce da 7 a 6, quindi poiché compare un punto interno questo deve valere il doppio e l’area diventa A = ( 2 ) – 2 = 6 A = u + 2i - 2

43 Verificate che l’area in questi poligoni degeneri non corrisponde a quella calcolabile con Pick
Griglie Unite Poligoni Non Validi

44 Esperienza Laboratoriale
Cercare l’area di figure in un reticolo

45 Ordinate i poligoni dalla superficie minore alla maggiore
Griglie Unite

46 u = 9 i = 3; u = 4; A = 8 A = 7 i = 2; u = 6; i = 1; u = 6 A = 8 A = 6
Griglie Unite i = 1; u = 6 A = 8 A = 6 i=2; u=6 A = 7 A = 8 i=1; u=7

47 Poligoni con Area = 8 e il Perimetro ? i=1; u=8 i=2 ; u=6 u=10
Griglie Unite e il Perimetro ? i=2 ; u=6 u=10

48 Griglie Unite Dimostrazione grafica che il perimetro della figura gialla è maggiore del perimetro della figura viola Sapete verbalizzare la dimostrazione?

49 Un’altra Esperienza Laboratoriale

50 Laboratorio Con otto mattonelle si possono costruire un gran numero di
Pavimenti reticolari posizionandole l’una affianco all’altra in modo da ottenere Poligoni Reticolari. Un esempio può essere la figura qui a destra. Se si considera il perimetro si possono contare dieci segmenti , 4 ipotenuse e 6 cateti.

51 I due poligoni a destra hanno lo stesso perimetro e fanno parte della stessa famiglia.
Che chiameremo 4 I + 6 C i due poligoni a sinistra fanno, invece parte della famiglia 10 C perché hanno il perimetro formato da 10 cateti della mattonella unitaria.

52 Tutti questi poligoni hanno la stessa area e lo stesso perimetro
Ecco altri rappresentanti della Famiglia 6C + 4I

53 Attraverso il laboratorio rispondete alle seguenti domande
Quante famiglie di superficie otto mattonelle si possono ottenere ? Fase 1 : Disegnate o riproducete almeno un rappresentante per ogni famiglia Fase 2 : Ordinate le famiglie da quella che ha il perimetro più corto a quella che ha il perimetro più lungo. Giustificate le vostre affermazioni

54 Che si possono suddividere in tre gruppi
Si trovano …….. famiglie Che si possono suddividere in tre gruppi 11

55 Non hanno punti interni
Primo gruppo con perimetro di dieci segmenti Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie Non hanno punti interni

56 Hanno tutte un punto interno
Secondo gruppo con perimetro di otto segmenti Hanno tutti 8 lati si ha un punto interno costituiscono le altre 3 famiglie Hanno tutte un punto interno

57 Hanno due punti interni
Terzo gruppo con perimetro di sei segmenti Hanno tutti 8 lati si ha un punto interno costituiscono le altre 3 famiglie Hanno due punti interni

58 Fase 1 Si devono ordinare le famiglie trovate Senza far calcoli….. Si consideri il primo dei tre gruppi

59 Questa famiglia ha il perimetro di 10 C
Scambiando due C con due I si ha Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie Che ha il perimetro più grande della precedente infatti 10 C < 8C +2I sottraendo 8C ai due membri della diseguaglianza si ha 2C < 2I oppure a C < I

60 Questa famiglia ha il perimetro di 8 C + 2I
In modo analogo Questa famiglia ha il perimetro di 8 C + 2I Scambiando due C con due I si ha Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie Che ha il perimetro più grande della precedente infatti 8C +2I < 6C +4I Sottraendo 6C e 2I si ha 2C < 2 I

61 Proseguendo Il gruppo è ordinato
Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie Proseguendo Il gruppo è ordinato

62 Anche per il secondo gruppo
Hanno tutti 8 lati si ha un punto interno costituiscono le altre 3 famiglie

63 Hanno due punti interni
L’ultimo gruppo Hanno tutti 8 lati si ha un punto interno costituiscono le altre 3 famiglie Hanno due punti interni

64 Per ordinare le famiglie
Si è cominciato con l’ ordinare quelle dello stesso gruppo Con dieci segmenti C C C C C C C C C C D1 C C C C C C C C I I D2 C C C C C C I I I I D3 C C C C I I I I I I D4 C C I I I I I I I I D5 Con otto segmenti C C C C C C C C O1 C C C C C C I I O2 C C C C I I I I O3 C C I I I I I I O4 Con sei segmenti C C I I I I S1 I I I I I I S2

65 le famiglie senza far calcoli
Per ordinare ulteriormente le famiglie senza far calcoli Si è usato un processo manipolativo: contare le mattonelle Griglie Unite L’idea è quella di confrontare quadrati e di concludere che tra due quadrati il quadrato maggiore ha il lato maggiore

66 C < I 2 C > I Il confronto tra i quadrati ( numero di mattonelle ) permette il confronto tra i lati anche se ….. (irrazionali) 2 C < 2I 4 C > 2 I

67 se si smonta la figura per ottenere la seguente
Occorrono due mattonelle verdi in più quindi 3 C > 2 I

68 3 I > 4 C

69 Le mattonelle verdi in più conducono a

70 Le mattonelle rosse in più conducono a

71 Per ordinare le famiglie
Oppure La scelta di un processo aritmetico calcolo basato su i punti interni e quelli sul perimetro Per ordinare le famiglie Griglie Unite

72 2 1 C < I 8 4 I < 2 C 18 16 2 I < 3 C 4 C < 3 I 32 36 64
Col teorema di Carnot individuiamo il tipo di triangolo acutangolo (2,5,5), rettangolo (5,5,10), ottusangolo ( 5, 13,26) 4 C < 3 I 32 36 64 3 I < 5 C 50 5 C < 4 I

73 Per ordinare le famiglie
Dalle procedure precedenti otteniamo come strumento la lista seguente: C<I 2C>I 2C<2I 3C>2I 3C<3I 4C<3I 5C>3I 5C<4I 6C>4I Griglie Unite

74 i più piccoli dei tre gruppi
S1 Ordiniamo i più piccoli dei tre gruppi 4I +2C < 8C Infatti 4I < 6C Inoltre 8C < 10C O1 Hanno tutti 6 lati si hanno due punti interni costituiscono le altre 2 famiglie D1 Costruiamo la retta d’ordine S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 Si possono anche aggiungere D2, D3, D4, D5

75 entrambi i membri si arriva alla disequazione
Confrontiamo O1 Con S2 8C < 6I Infatti dividendo per 2 entrambi i membri si arriva alla disequazione S2 Hanno tutti 6 lati si hanno due punti interni costituiscono le altre 2 famiglie 4 C < 3 I Il confronto tra S2 e D1 6I < 10 C discende da 3I < 5C Quindi inseriamo S2 nella retta di ordinamento S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S2

76 2 I < 3 C 4 I < 6 C 4 C < 3 I Quindi C C I I I I 8 C < 6 I
Hanno tutti 6 lati si hanno due punti interni costituiscono le altre 2 famiglie 4 C < 3 I Quindi C C I I I I C C C C C C C C I I I I I I C C C C C C C C C C 8 C < 6 I 3 I < 5 C

77 Allora il confronto si deve fare con D1
Confronto tra S2 e O2 Da 6I < 6IC+ 2I Si ha 4I < 6C O2 O3 Visto che si sa già che O3 > O2 Allora il confronto si deve fare con D1 Per cui 4I + 4C < 10C Infatti 4I < 6C Inserendo O2 e O3 nella retta di orientamento S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S2 O2 O3

78 Manca da inserire solo O4 Che si deve confrontare con D1
allora 10 C < 2C + 6I da cui 8C < 6I e C < 3I quindi D1 < O4 D2 Griglie Unite Serve un ulteriore controllo tra O4 e D2 2C+6I < 6C+4I Conduce a 2I < 4C e così si può posizionare anche O4 S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S2 O2 O3 O4

79 che arrotondato per eccesso è uguale a 1,415.
Se i cateti delle mattonelle sono uguali ad 1, applicando il teorema di Pitagora l’ipotenusa è uguale a √2; con la calcolatrice si trova che √2 = 1,4142…… che arrotondato per eccesso è uguale a 1,415. Si trova così il perimetro delle figure illustrate e in seguito si costruisce anche qui una retta di orientamento. Griglie Unite

80 7,66 8 Hanno tutti 6 lati si hanno due punti interni costituiscono le altre 2 famiglie 8,49 S1 O1 S2 7,66 8 8,49

81 8,83 9,66 Hanno tutti 8 lati si ha un punto interno costituiscono le altre 3 famiglie 10 S1 O1 S2 O2 O3 D1 7,66 8 8,49 8,83 9,66 10

82 10,49 11,66 10,83 Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie S1 O1 S2 O2 O3 D1 O4 D2 D3 7,66 8 8,49 8,83 9,66 10 10,66 10,83 11,66

83 12,49 Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie 13,31 S1 O1 D1 D2 D3 D4 D5 S2 O2 O3 O4 7,66 8 8,49 10 9,66 8,83 11,66 10,83 10,66 13,31 12,49

84 S1 7,66 In questa retta la posizione è legata in modo proporzionale alla lunghezza del perimetro O1 8 S2 8,49 O2 8,83 O3 9,66 D1 10 Hanno tutti 10 lati non si hanno punti interni costituiscono le prime 5 famiglie O4 10,66 D2 10,83 D3 11,66 D4 12,49 D5 13,31

85 Conclusione Si trovano 11 famiglie (con 8 mattonelle) 6 famiglie (con 6 mattonelle) nel poster 5 più una qui sotto

86 Grazie Per osservazioni e chiarimenti contattatemi a
Griglie Unite Per osservazioni e chiarimenti contattatemi a

87 Bibliografia [Bagni, 1990] G.T. Bagni, Il piano di Pick e i numeri primi, in: “Periodico di Matematiche”, serie VI, 65, n. 3, Luciani, Roma 1990. [D’Amore, 1993] B. D’Amore, Problemi, Franco Angeli, Milano 1993. [Duval, 1993] R. Duval, Registres de répresentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, in: “Annales de Didactique et de Sciences Cognitives”, v. 5, IREM, Strasbourg 1993. [Gambarelli, 1989] G. Gambarelli, Su alcuni risultati di G. Stocco, in: “Periodico di matematiche”, serie VI, 65, Luciani, Roma 1989. [Kaldrimidou, 1995] M. Kaldrimidou, Lo status della visualizzazione presso gli studenti e gli insegnanti di matematica, in: “La matematica e la sua didattica”, 1995/2, pp , Bologna 1995. [Pick, 1899] G. Pick, Geometriches zur Zahlenlehre, Zeitschrift für Natur-Wissenschafen, hrsg. vom Naturhistorisch. Vereine “Lotos” in Prag, Prag 1899, pp La traduzione dei brani riportati è di Monica Mariotti. [Schoenfeld, 1986] A.H. Schoenfeld, On having and using Geometric knowledge, in: J. Hiebert (a cura di), “Conceptual and procedural knowledge: the case of mathematics”, pp , Erlbaum, Hillsdale 1986. [Stocco, 1986] G. Stocco, Proposta per una Geometria Reticolare, in: “Periodico di Matematiche”, serie VI, 62, Luciani, Roma 1986.