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I primi elementi della geometria Istituto Comprensivo F. Jovine - Scuola Secondaria di I grado A.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Geometria Realizzato.

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1 I primi elementi della geometria Istituto Comprensivo F. Jovine - Scuola Secondaria di I grado A.S Classi Prime Disciplina: Geometria Realizzato dal prof. Aurelio Nardelli

2 La geometria (dal greco antico γεωμετρία (geometria), composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra. È quella parte della matematica che si occupa della forma e dellestensione delle figure e delle relazioni e trasformazioni che le caratterizzano. Gli enti geometrici fondamentali

3 La geometria che si studia nelle scuole medie è opera degli studi dei geometri e filosofi greci, alessandrini (egiziani) e della Magna Grecia. Si chiama euclidea perché Euclide scrisse gli Elementi in 13 libri che riassumevano le conoscenze geometriche del tempo.

4 Gli enti geometrici fondamentali Gli enti geometrici fondamentali della geometria euclidea sono punto, linea, piano e spazio

5 Gli enti geometrici fondamentali Il punto è il primo degli enti geometrici fondamentali ed è privo di dimensioni. Il modo migliore per rappresentare il punto (modello) e quello di poggiare leggermente una matita appuntita su un foglio. Per convenzione i punti vengono indicati con una lettera in stampatello maiuscolo.

6 Gli enti geometrici fondamentali La linea è il secondo ente geometrico fondamentale ed ha una sola dimensione: la lunghezza. Le linee si possono classificare in: aperta, chiusa, semplice, intrecciata Linea aperta sempliceLinea chiusa sempliceLinea aperta intrecciataLinea chiusa intrecciata Per convenzione la linea viene indicata con una lettera minuscola: a, b, c..... Se tutti i punti appartenenti ad una stessa linea sono disposti secondo una stessa direzione otteniamo una linea retta o retta.

7 Gli enti geometrici fondamentali Il piano è il terzo ente geometrico fondamentale ed è dotato di due dimensioni: larghezza e lunghezza. In generale il piano si indica con una lettera minuscola dell'alfabeto greco: α, β, δ.... e si rappresenta graficamente come segue: β

8 Gli enti geometrici fondamentali Lo spazio è il quarto ente geometrico fondamentale ed è dotato di tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza.

9 Gli enti geometrici fondamentali Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali Un punto può: - appartenere ad una retta o ad un piano (A) - non appartenere ad una retta o ad un piano (B) r.A.A. B Rispetto ad un piano una retta può: - giaciere - intersecare - essere parallela Due rette complanari (che appartengono ad uno stesso piano) possono essere: coincidenti; incidenti e parallele.

10 Gli assiomi della geometria 1 - Per un punto passano infinite rette 2 – Per due punti distinti passa una sola retta 3 – Se una retta ha in comune con un piano due punti allora giace tutta sul piano allora giace tutta sul piano

11 Gli assiomi della geometria 4 – Per una retta passano infiniti piani 5 – Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta passa uno e un solo piano passa uno e un solo piano ε. A.B.C 5a – Per una retta ed un punto fuori di essa passa un solo piano 5b – Per due rette incidenti passa un solo piano ε. A r ε t r

12 La semiretta e il segmento La semiretta è ciascuna delle due parti, infinite, in cui una retta è divisa da un suo punto. Tale punto è detto origine delle due semirette. Il segmento è la parte di retta compresa tra due suoi punti. I punti A e B si dicono estremi del segmento.

13 Gli angoli Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi unorigine in comune B. Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette.

14 Elementi di un angolo Consideriamo langolo mostrato in figura Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette a e b sono i lati dellangolo α è lampiezza dellangolo ed è lunica dimensione che lo caratterizza

15 Angoli concavi e convessi Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due part i Definiamo convesso langolo che non contiene il prolungamento dei sui lati Definiamo concavo langolo che contiene il prolungamento dei sui lati

16 Angoli consecutivi Litaliano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi Cosa significa consecutivo? Una cosa è consecutiva ad unaltra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro. Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo? Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

17 Angoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

18 Angoli opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dellaltro. Due angoli opposti al vertice sono congruenti

19 Bisettrice Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice B divide langolo in due parti uguali Bisettrice

20 Tipi di angoli Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare). 1 - Angolo giro 2 - Angolo piatto 3 - Angolo retto 4 - Angolo acuto 5 - Angolo ottuso

21 ANGOLO GIRO Cosa succede se i due lati dellangolo coincidono? Langolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima. Chiamiamo questo angolo angolo giro.

22 ANGOLO PIATTO Definiamo piatto langolo formato da due semirette che sono una il prolungamento dellaltra, cioè che giacciono sulla stessa retta. La sua ampiezza è la metà dellangolo giro.

23 ANGOLO RETTO Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice, tale bisettrice divide langolo in due parti uguali. Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dellangolo piatto.

24 ANGOLO ACUTO Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto.

25 ANGOLO OTTUSO Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto.

26 Differenza di angoli AOD è la somma fra langolo AOB e langolo CKD AOB + CKD = AOD γ = α + β A O B C K D A O B C K D Dati due angoli AOB e CKD Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici. Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso).

27 Sottomultipli di un angolo Prendiamo langolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali. Comè langolo AOC rispetto allangolo AOB? Sapendo che per definizione langolo AOC è contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo? Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo sottomultiplo. Quando un angolo è sottomultiplo di un altro? Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte.

28 Multipli di un angolo Quante volte AOB contiene AOC? Tre volte per definizione (perché ho fatto loperazione di dividere langolo in tre parti uguali e quindi lho definito in partenza) Come sarà AOB rispetto ad AOC? Sarà un suo multiplo. Quando un angolo è multiplo di un altro? Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte.

29 Angoli complementari Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo retto Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto.

30 Angoli supplementari Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo piatto Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

31 Angoli esplementari Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli Dalla somma è uscito un angolo giro Due Angoli si dicono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

32 Fine


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