28 ottobre 2011 A cura di: Luigi Piva www-intermarketstrategies.eu

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Trading systems basati sul trend: proprietà statistiche delle medie mobili 28 ottobre 2011 A cura di: Luigi Piva www-intermarketstrategies.eu

Profilo Laurea in Scienze Economiche presso l’univarsità di Bologna CQF (Certificate Quantitative Finance) London - Math Premiere Attività Dal 2004 Socio Ordinario SIAT Campionati di Trading: +61% TopTraderCup 2011, +42 TopTraderCup 2010, +38% TopTraderCup 2009 Dal 2007 Shareholder Equity Line Solutions Ltd London - United Kingdom. Analista e Investment Manager per Seven Mills Investment Ltd, 7, Chalcot Road – Primrose Hill- London - United Kingdom Trader privato dal 2004 autore di : “Analisi Tecnica Efficace Applicata ai Tradng Systems” Experta, 2004 “Top Trader Readers Digest ” Experta 2006

COS’E’ LA FINANZA QUANTITATIVA?
Una tecnica di analisi finanziaria che cerca di capire il comportamento dei mercati utilizzando modelli matematici e statistici complessi . Assegnando un valore numerico alle variabili, gli analisti quantitativi cercare di replicare matematicamente la realtà . L'analisi quantitativa può essere implementata per una serie di motivi, quali la misurazione, valutazione delle performance di attività, fondi, ecc.. o la valutazione di uno strumento finanziario. Può anche essere usato per prevedere gli eventi nel mondo reale come le modifiche in un prezzo delle azioni, valute, obbligazioni, ecc…

Introduzione Presento oggi i risultati di studi quantitativi svolti tra fine degli anni ‘90 e il 2005 da ricercatori universitari (Billingsley, Chance, Kritzman, Silber, Arnott , Pham) e in particolare Taylor,, Lequeux e Acar . Lo scopo è illustrare come analizzare i mercati con un approccio quantitativo. Le medie mobili vengono utilizzate da molti anni sia dagli accademici e che dai partecipanti al mercato. Mentre i primi,in genere, hanno utilizzato le regole di negoziazione basate su medie mobili come mezzo di prova per l'efficienza del mercato, i traders invece hanno decisamente in mente obiettivi di profitto. E 'quindi sorprendente che una sezione di letteratura sia stata dedicata all’argomento relativamente ristretto delle specifiche regole di negoziazione dei metodi trend-following .

Introduzione Le proprietà statistiche delle regole di negoziazione possono dare una più chiara comprensione della diversificazione, del rischio e anche del rendimento che ci possiamo aspettare sotto varie ipotesi di modelli di trading Trend-following . Nella prima parte andiamo a presentare alcuni dei principali risultati che sono stati pubblicati da Acar e Lequeux (1995, 1996), Acar. (1994) e Taylor (1996;2003;2005). Successivamente passeremo a evidenziare come questi risultati teorici possano essere utilizzato all'interno di un modello media-varianza che assegna vere e proprie regole di trading. Andremo a validare statisticamente, secondo un approccio quantitativo corretto, le regole di trading trend-following

Serie Storiche Per illustrare i punti fondamentali delle proprietà statistiche delle medie mobili e le regole di trading relative al modello media-varianza che andremo a sviluppare, usiamo un campione di cinque coppie valutarie USD-JPY, EUR-USD, GBP-USD, USD-CAD e AUD-USD. I dati coprono un totale di osservazioni giornaliere. per ogni tasso di cambio abbiamo il valore di chiusura giornaliera spot, rilevato alle 16:00 , ora di New York. Come si fa spesso nella ricerca empirica sulle serie storiche finanziarie, viene usiamo il logaritmo della variazione quotidiana, definita come ln (St/St-1) in quanto si assimila ad una distribuzione normale. Usiamo un costo di transazione ipotetico -0,03%, che rappresenta in genere il costo di funzionamento del mercato interbancario.

Serie Storiche a(n) rappresenta il coefficiente di autocorrelazione di ordine n.

Serie Storiche L’andamento dei prezzi di tutte le serie storiche in esame ha distribuzione non-normale. Questo, in realtà accade per la maggioranza delle serie storiche finanziarie (Taylor, 1986). Ci è poco d’aiuto , come informazione, notare che le serie storiche hanno avuto una media significativa nel periodo e che tutti mostrano positivi dipendenze seriali di primo ordine. Nel complesso i tassi di cambio spot studiati qui hanno mostrato un trend nel periodo. questo è particolarmente vero per USD-JPY, EUR-USD e EUR-USD, come si vede nella figura sottostante.

Serie Storiche Solamente i pairs GBP-USD e USD-CAD hanno un andamento vagamente stazionario.

Le Medie Mobili e le loro Proprietà Statistiche
L'efficienza del mercato dipende dall’ipotesi di investitori razionali, motivati dal profitto(Arnott e Pham,1993). Dipendenze seriali o in termini più semplici, trends, sono state comunemente osservate nei mercati valutari (Kritzman, 1989; Silber, 1994) e sono collegati alle attività dei partecipanti al mercato e la loro motivazione. Le banche centrali tentano di controllare la volatilità della loro moneta perché la stabilità dei flussi commerciali facilita il controllo del livello di inflazione. Una banca centrale potrebbe intervenire direttamente sul mercato valutario in tempi di alta volatilità, come la crisi valutaria del 1992, o recentemente BOJ, oppure agire in maniera più discreta sui tassi di cambio regolando i tassi di interesse .

Gli altri partecipanti al mercato dei cambi,come le multinazionali, cercano di coprire il loro rischio di cambio e quindi non hanno una motivazione diretta al profitto . Nel medio periodo, possono avere lo stesso effetto di una banca centrale sui livelli dei tassi di cambio, cioè entrata di liquidità “random”. Il successo di strategie di trading basate sul momentum, o trend, sui mercati forex mercati è certamente legato all’eterogeneità degli agenti sul mercato e alle loro diverse logiche. E’ questo che rende il mercato dei cambi inefficiente! I modelli autoregressivi, come le medie mobili, sono particolarmente adatti al trading sui mercati valutari, dove si stima che circa il 70% delle strategie agiscono sullo schema di qualche strategia di momentum (Billingsley e Chance, 1996).

Lequeux e Acar (1998) hanno dimostrato il valore aggiunto dell'utilizzo di metodi trend-following proponendo un benchmark sintetico per ogni valuta di riferimento. Tale benchmark si basa su un paniere di strategie di medie mobili semplici per misurare l’andamento delle valute. Il benchmark che hanno proposto ha avuto un ritorno, rapportato al rischio, superiore a 1,641, e questo regge bene il confronto con i rendimenti medi degli altri asset class tradizionali . Le regole di trading basate su medie mobili sono quindi utili ed economiche come metodo decisionale, per tutti i partecipanti al mercato, grazie alla loro semplicità d'uso e implementazione.

Le regole di trading, utilizzando una media mobile semplice su dati giornalieri funzionano come segue: quando il tasso di cambio penetra dal basso (alto) una media mobile di un periodo determinato m, viene generato un segnale d’acquisto (vendita) . Se il prezzo corrente è superiore alla media mobile, allora la posizione rimane long per le prossime 24 ore, altrimenti si apre un’operazione short. La figura nella slide successiva illustra il funzionamento di una tale regola di trading.

Grafico realizzato con Tradestation 9

Il tasso di rendimento generato dal trading basato su una media mobile semplice di ordine m è calcolato semplicemente come: Rt = Bt-1 XT dove Xt = ln (Pt/Pt-1) è il rendimento,su base logaritmica, dell’attività al prezzo P al tempo t, e Bt-1 il segnale attivato dalla regola di trading al tempo t - 1. Bt-1 è definito come:

Proviamo ora a considerare una versione leggermente modificata delle medie mobili: invece di utilizzare i prezzi, i segnali generati dalla media mobile si basano sulla trasformazione logaritmica (ln) degli stessi prezzi. Le medie mobili semplici ,per definizione, sono modelli autoregressivi . Quindi la differenza principale tra gli stimatori lineari come medie mobili semplici o pesate risiede nel sistema di ponderazione utilizzato. Medie mobili semplici danno, di fatto, un peso uguale ai dati lontani e recenti, mentre le medie mobili pesate, per esempio, danno un peso crescente ai dati recenti. La tabella sotto mostra l'equivalenza dei segnali di trading generati dalla media mobile semplice ordine 10 con quelli derivanti dall’uso di una media mobile semplice della trasformazione logaritmica.

Acar (1994) dimostra con l'uso di simulazioni Monte Carlo che tali segnali sono identici in almeno il 97% dei casi. La figura precedente lo evidenzia chiaramente, mostrando gli utili generati dalle regole di trading ottenuti con medie mobili semplici di ordine Quando i segnali non sono del tutto identici, i segnali generati dalle regole di negoziazione sulla prezzi base logaritmico dei sono estremamente simili a quelli generati da regole basate sui prezzi semplici. .

Un altro argomento forte per l'utilizzo di regole di trading basato su un modello autoregressivo è che è possibile calcolare ex ante il livello di correlazione tra i segnali generati da tali regole di trading. E 'quindi possibile stimare ex-ante il livello di diversificazione che può essere fornito da un insieme di regole di trading lineare. Questo è non è possibile quando si tratta di un processo esogeno. Sarà infatti molto difficile determinare ex ante la correlazione dei rendimenti generati da una strategia di trading basata, per esempio, sui movimenti dei tassi di interesse. Acar e Lequeux (1996) hanno dimostrato che, sotto l'ipotesi di random walk , è possibile derivare la correlazione dei rendimenti derivanti dal trading basato su regole lineari.

Supponendo che la serie storica di base , Xt, segua una distribuzione normale indipendentemente distribuita, i rendimenti R1,t, R 2, t generati da medie mobili semplici di ordine m1 e m2 mostrano una correlazione lineare La tabella che segue mostra il coefficiente di correlazione tra il utili generati dalle diverse medie mobili quando applicate allo stesso tasso di cambio. I sistemi trend-following sono positivamente correlati. Correlazioni pari a zero o negative richiedono la combinazione di regole di trading di diversa natura rispetto a quelle trend-following . I segnali di acquisto e vendita da regole di negoziazione trend-following e i relativi rendimenti non sono indipendenti nel corso del tempo . Questo metterà quindi un limite alla riduzione del rischio massimo che si può ottenere dalla combinazione di strategie trend-following.

Volatilità attesa La volatilità dei rendimenti è una misura importante del rischio quando si confrontano strategie di trading. Acar (1994) ha dimostrato che la volatilità dei rendimenti generati da regole di negoziazione trend-following è circa pari alla volatilità della serie storica sottostante ed è quindi indipendente dell'ordine media mobile. Da un punto di vista di rischio, circolano molte affermazioni errate a proposito del confronto tra strategie di trading breve termine e strategie a lungo termine. Per illustrare questo rapporto, la figura seguente mostra la volatilità dei rendimenti generati dalla strategia sulle medie mobili di ordine da 2 a 177

Come si deduce dalla figura, la varianza su base annuale (asse Y) dei rendimenti di questa regola di trading cambia a seconda dell'ordine della media mobile usata (asse X), ma in un range ristretto e non proporzionale al periodo della media , il livello generale rimane piuttosto indifferente all'orizzonte temporale. La differenza in termini di rischio non sarebbe assolutamente rilevante per un trader che opera sul mercato dei cambi. Inoltre, Il livello di rischiosità sarà lo stesso della strategia buy-and-hold riferita allo stesso sottostante. Quindi la gestione attiva non aggiunge alcun rischio relativo rispetto a detenere l’attività in portafoglio staticamente.

Per descrivere la relazione tra gli utili generati dalle regole di trading basati su medie mobili osserviamo una simulazione Monte Carlo. Vengono generate serie simulata di 400 dati. Le variabili casuali, che producono le serie, sono stati generate utilizzando una metodologia sviluppata da Zangari (1996) dove ogni variabile casuale rt è il risultato della miscela di due distribuzioni normali indipendenti di media zero: uno con una probabilità di realizzazione p = 1 e una deviazione standard pari a 1 e l'altro con una probabilità di successo di 0,1 e uno standard deviazione di 3. Per ognuna delle serie estratte viene calcolato il rendimento che sarebbe stato generato dal trading usando le medie mobili di ordine da 2 a 117.

Vengono presi in considerazione il drift normalizzato e i primi tre coefficienti di autocorrelazione della serie costruita. Viene poi calcolata la regressione del drift normalizzato e dei primi tre coefficienti di autocorrelazione delle serie storiche sottostanti rapportato ai rendimenti annualizzati del sistema della media mobile I risultati sono rappresentati nelle figure sottostanti. Nelle figure si nota come il rendimento atteso delle medie mobili è una funzione dipendente sia dal drift che dalle dipendenze seriali . I rendimenti della media mobile a breve termine saranno molto più sensibili alle dipendenze seriali piuttosto che al drift, mentre il rendimento delle medie mobili di medio periodo sarà più sensibile al drift del tasso di cambio rispetto alle dipendenze seriali

Drift normalizzato e rendimenti del trading con media mobile

Autocorrelazione e rendimenti del trading con media mobile

Da un lato notiamo che il coefficiente regressione tra il drift delle serie storiche alla base e il ritorno delle regola di trading mobile media aumenta con la lunghezza della media mobile. D'altra parte i coefficienti di regressione fra i rendimenti delle negoziazioni media mobile e i primi tre coefficienti di autocorrelazione della serie storica sottostante diminuiscono con la lunghezza della media mobile. Acar (1994) ha pubblicato una ricerca sul rendimento atteso di strategie trend-following che propone un sistema per formare una stima ex ante del Rendimento di sistemi di trading trend-following.

Applicazioni Supponendo che il tasso di rendimento xt segua un processo gaussiano, Acar ha stimato una funzione che approssima la media del trading trend-following Il risultato è interessante perché offre un contesto per comprendere meglio cosa può influenzare i rendimenti generati da regole di trading lineari. Assumendo cheil tasso di rendimento, xt, segua un processo gaussiano, la media di queste strategie sarà ρ = Σi wiCorr(xt+1, ft ) con wi che rappresentano i pesi attibuiti in funzione della sensibilità del previsore f al coefficiente di autocorrelazione. Il previsore f sarà calcolaro in base ai coefficienti di regressione relativi al drift e autocorrelazione

Applicazioni In precedenza abbiamo evidenziato che è possibile determinare ex ante la volatilità e i rendimenti stimati così come la correlazione tra gli stimatori lineari, che nel caso specifico erano medie mobili. Questo ci fornisce gli strumenti statistici necessari per stabilire un modello di allocazione basato su media-varianza, usando un sistema trend-following. Anche se potremmo usare un campione più ampio di regole di trading quali medie mobili ponderate, esponenziali o adattive , ci focalizziamo solo su un sottoinsieme, le medie semplici, per semplicità di esposizione. E’ in teoria però possibile traslare questo contesto ad altre tecniche, (per es. variazione pendenza della retta di regressione)

Applicazioni Di seguito cerchiamo di determinare, ex-ante, quale sarebbe il peso ottimale tra medie mobili di ordine 2, 3, 5, 9, 32, 61 e 117 per massimizzare l’apporto di informazioni fornite dai prezzi. Le tabelle seguenti mostrano i risultati che sono stati ottenuti con questo modello allocando un capitale in parti uguali tra le medie mobili di ordine 2, 3, 5, 9, 32, 61 e 117. I rendimenti generati dal modello di allocazione di trading hanno ottenuto risultati migliori dell’opzione che alloca in parti uguali il paniere di medie mobili, in termini di ritorno diviso per rischio (IR), in quattro valute su cinque. Fornisce inoltre ritorni flusso di cassa che sono più vicini alla normalità, come indicato dalla curtosi (un allontanamento dalla normalità distributiva, rispetto alla quale si verifica un maggiore appiattimento o un maggiore allungamento ) più bassa dei rendimenti giornalieri

Applicazioni Risultati per il paniere equamente distribuito di medie mobili

Applicazioni Risultati per il modello di allocazione media-varianza

Conclusioni Sono state quindi messe in evidenza alcune delle proprietà statistiche delle regole di negoziazione basate su medie mobili, cercando soprattutto di evidenziare come queste proprietà siano oggetto di interesse per chi opera sui mercati finanziari ed in particolare sul forex. Successivamente si è formato un quadro imparziale di regole di trading sotto il vincolo di massimizzazione del tasso di informazioni che otteniamo dai mercati. I risultati hanno dimostrato che in quattro coppie di valute su cinque il modello avrebbe fornito meglio risultati complessivamente migliori rispetto all'utilizzo di un paniere egualmente ponderato

Conclusioni Questi sono risultati significativi per gli investment manager attivi che operano sul mercato dei cambi e che cercano di fornire ai propri investitori un profilo rischio/rendimento equilibrato utilizzando modelli trend- following. I risultati sono incoraggianti, ma i metodi di stima del drift e della dipendenza seriale rimane l'essenza in ogni contesto previsione e rimangono i fattori chiave per migliorare questo modello. Può anche darsi che la strada migliore per migliorare la stima di questi parametri sia quella di integrare un approccio macro-fondamentale, piuttosto che usare in modo univoco il prezzo come un processo di attualizzazione delle informazioni.

Bibliografia essenziale :
Dunis, Naim “Applied quantitative methods for trading and investments” Wiley Finance (2003) Acar, E. (1994), “Expected Return of Technical Forecasters with an Application to Exchange Rates”,Presentation at the International Conference on Forecasting Financial Markets: New Advances for Exchange Rates and Stock Prices, 2–4 February 1994, London. Published in Advanced TradingRules, Acar & Satchell (eds), Butterworth-Heinemann, 1998. Acar, E. and P. Lequeux (1995), “Trading Rules Profits and the Underlying Time Series Properties”,Presentation at the First International Conference on High Frequency Data in Finance, Olsen and Associates, Zurich, Switzerland, 29–31 March Forthcoming in P. Lequeux (ed.), Financial Markets Tick by Tick, Wiley, London. Acar, E. and P. Lequeux (1996), “Dynamic Strategies: A Correlation Study”, in C. Dunis (ed.),Forecasting Financial Markets, Wiley, London, Arnott, R. D. and T. K. Pham (1993), “Tactical Currency Allocation”, Financial Analysts Journal,

Bibliografia essenziale :
Taylor, S. J. (1980), “Conjectured Models for Trends in Financial Prices, Tests and Forecasts”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, Taylor, S. J. (1986), Modelling Financial Time Series, Wiley, Chichester, UK. Taylor, S. J. (1990a), “Reward Available to Currency Futures Speculators: Compensation for Risk or Evidence of Inefficient Pricing?”, Economic Record (Suppl.) Taylor, S. J. (1990b), “Profitable Currency Futures Trading: A Comparison of Technical and Time-Series Trading Rules”, in L. R. Thomas (ed), The Currency Hedging Debate, IFR Publishing,London, pp. 203–239. Taylor, S. J. (1992), “Efficiency of the Yen Futures Market at the Chicago Mercantile Exchange”,in B. A. Goss (ed.), Rational Expectations and Efficient Future Markets, Routledge, London, Taylor, S. J. (1994), “Trading Futures Using the Channel Rule: A Study of the Predictive Power of Technical Analysis with Currency Examples”, Journal of Futures Markets, Zangari, P. (1996), “An Improved Methodology for Measuring VAR”, RiskMetrics Monitor,Reuters/J.P. Morgan

note: Processi stazionari e non stazionari
Le serie storiche finanziarie spesso sono non stazionarie avendo medie, varianze e covarianze che cambiano nel tempo. I comportamenti non stazionari possono essere le tendenze, i cicli, random walk o combinazioni dei tre. Dati non stazionari, di regola, sono imprevedibili e non possono essere modellati o previsti. I risultati ottenuti utilizzando serie storiche non stazionarie possono indicare una relazione scorretta tra due variabili. Per avere risultati affidabili, i dati non-stazionari devono essere trasformati in forma stazionaria. In contrasto con il processo non-stazionario , il processo stazionario si muove attorno ad una media costante nel lungo termine, e ha una varianza costante indipendente dal tempo.

note: Tipi di processi non stazionari
Distinguiamo brevemente i diversi tipi di processi non stazionari per avere una migliore comprensione dei processi e ci permette di applicare la trasformazione corretta.

note: Esempi di processi non stazionari sono il random walk con o senza “drifte i trend deterministiche (tendenze che sono costanti, positivo o negativo, indipendente dal tempo

note: Random Walk puro (Yt = Yt-1 + εt)
Random walk prevede che il valore al tempo "t" sarà pari al valore dell’ultimo periodo, più una componente stocastica (non sistematica), che è un rumore bianco, cioè εt è indipendente e identicamente distribuito con media zero e varianza "σ ². Inoltre, nel random walk puro la varianza si evolve nel tempo e va all'infinito col passare del tempo , quindi, il random walk non può essere previsto. Random Walk con Drift (Yt = α + Yt-1 + εt) Se il modello random walk prevede che il valore al tempo "t" sarà uguale valore l'ultimo periodo più una costante, o drift (α), e un termine di rumore bianco (εt), allora il processo è definito random walk con drift. Inoltre non ritornare verso una media di lungo periodo e ha varianza dipendente dal tempo.

note: drift Variabili di serie storiche in economia e finanza - per esempio, i prezzi delle azioni, il prodotto interno lordo, ecc - in genere si evolvono stocasticamente e spesso sono non stazionari. In teoria della probabilità, drift stocastico è la variazione del valore medio di processo uno stocastico (casuale) non stazionario.

note: Nel contesto della politica monetaria, una domanda politica è se una banca centrale deve tentare di raggiungere un tasso fisso di crescita del livello dei prezzi rispetto al livello attuale in ogni periodo di tempo, o se indirizzare un ritorno del livello dei prezzi ad una crescita predeterminata percorso. In quest'ultimo caso nessun livello di drift dei prezzi è consentito lontano dal percorso prestabilito, mentre nel primo caso ogni modifica stocastica al livello dei prezzi influenza in modo permanente i valori attesi del livello dei prezzi In entrambi i casi il livello dei prezzi è ha un drift , nel senso di un valore atteso in aumento, ma i casi variano a seconda del tipo di non stazionarietà: stazionarietà differenza nel primo caso, ma stazionarietà tendenza in quest'ultimo caso.

note: Autocorrelazione
In Econometria, nell'ambito delle regressioni lineari effettuate su serie storiche , si può avere un fenomeno di autocorrelazione temporale, a causa dell'inerzia o stabilità dei valori osservati, per cui ogni valore è influenzato da quello precedente e determina in parte rilevante quello successivo. Esistono diversi test statistici per saggiare la presenza di una correlazione seriale dei residui di una serie storica , quali ad esempio il test di Box-Pierce, il test di Ljiung-Box e il test di Durbin-Watson . Un modo abbastanza semplice per vedere se una serie presenta autocorrelazione è quella di tracciarne il correlogramma.

note: Autocorrelazione
Un correlogramma, o autocorrelogramma, è un grafico che rappresenta la autocorrelazione di una serie storica in funzione del ritardo con cui la autocorrelazione è calcolata. Non ci soffermiamo, qui, sulle formule e vediamo i grafici :

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