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Classe 3 A inf (a.s 2006-2007). MATRICE Si chiama matrice una tabella che ordina m x n numeri in m righe ed n colonne. Si chiamano elementi di una matrice.

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1 classe 3 A inf (a.s )

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3 MATRICE Si chiama matrice una tabella che ordina m x n numeri in m righe ed n colonne. Si chiamano elementi di una matrice gli m x n numeri presenti in essa. 1 i k 1 j l

4 Ad esempio dati 5 X 4 numeri, la tabella che li ordina in 5 righe ed in 4 colonne,chiamata matrice, è sotto rappresentata Prima riga Seconda colonna

5 TIPI DI MATRICI Rettangolare Quadrata Vettore riga Vettore colonna Matrice rettangolare: il numero delle righe è diverso da quello delle colonne. Matrice quadrata: il numero delle righe è uguale da quello delle colonne. Matrice riga: è formata da una sola riga. Matrice colonna: è formata da una sola colonna.

6 Matrice unità e matrice nulla La matrice unità è quella matrice in cui la diagonale principale è formata da tutti 1 e gli altri sono tutti 0. La matrice nulla è quella formata da tutti 0.

7 Nelle matrici quadrate esistono due diagonali quella principale e quella secondaria. La diagonale principale è linsieme degli elementi aii in cui gli indici sono uguali. La diagonale secondaria è Linsieme egli elementi aij in cui i+j=n+1 (n ordine matrice). DIAGONALI DI UNA MATRICE

8 MATRICE INIZIALE: MATRICE TRASPOSTA : La matrice trasposta è la matrice che scambia i termini della riga con quelli della colonna. MATRICE TRASPOSTA:

9 MATRICE INIZIALE: MATRICE INVERSA : La matrice inversa di una matrice quadrata esiste solo se il determinante è diverso da zero. Essa si ottiene sostituendo al generico elemento aij il quoziente tra il suo complemento algebrico Aij ed il determinante di A e considerando poi la trasposta di questa nuova matrice..Essa si indica con A -1 tale per cui A*A -1 = A -1 *A=I n dove I è la matrice identità MATRICE INVERSA: Det(A)=5A= 1/5 -3/5 2/5 -1/5 A -1 =

10 Mij =minore complementare di aij,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice A Aij=(-1) i+j * (Mij)= Complemento algebrico di aij Det(A)=Determinante di A Aji= trasposta di Aij

11 Operazione tra matrici: addizione e sottrazione Queste due operazioni possono essere svolte sulle matrici solo se esse sono dello stesso tipo.

12 ADDIZIONE : = SOTTRAZIONE : =

13 MOLTIPLICAZIONE uno scalare per una matrice 5 scalare X =

14 è possibile attuare loperazione di moltiplicazione tra matrici solo ed esclusivamente se le 2 matrici sono del tipo: a m,n b n,t c m,t il risultato della moltiplicazione tra la matrici A e la matrice B, dove la matrice A è del tipo m x n e la matrice B è del tipo n x t, è rappresentato da una terza matrice C del tipo m x t. x Operazione tra matrici:moltiplicazione

15 a m,n =c m,t X b n,t Il generico elemento c hk è dato dalla somma dei singoli elementi della h-esima riga della prima matrice moltiplicati ciascuno per il corrispondente elemento della k-esima colonna della seconda matrice

16 Il determinante di una matrice quadrata,al contrario della matrice che è un insieme di numeri, è un numero. Il determinante di una matrice si definisce per induzione Il simbolo con cui viene identificato non è uguale alla matrice DETERMINANTE DI UNA MATRICE:

17 Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice. m=1 5det =5= 5 m= =5*3 - 7*2 = = 1 Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria. 5 =

18 = * * * = m=3 = = 2 * * * = Il determinante di una matrice di terzo ordine è uguale alla somma dei prodotti di una qualunque riga (o colonna) per i rispettivi il det della matrice di ordine 2 ottenuta da A togliendo la riga e la colonna cui lelemento appartiene, preceduto dal segno + o – a seconda che aij sia di classe pari (i+j=pari) o dispari.

19 m= = -1 * * = = =1 * * * = gli elementi dellultima riga gli elementi della prima colonna

20 Mij minore complementare di aij,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna Determinante A somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o di una qualsiasi colonna per i rispettivi complementi algebrici Aij=(-1) i+j * (Mij) a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 detA= a 11 * (1) 1+1 * A 11 + a 12 * (1) 1+2 * A 12 + a 13 * (1) 1+3 * A 13 + a 14 * (1) 1+4 * A 14 generalizzando Complemento algebrico di aij è

21 Regola di Sarrus: La regola di Sarrus permette di calcolare il determinante di una matrice solo se essa è di ordine 3. Esempio: = = [(2*1*2)+(1*(-1)*(-1))+(3*3*2)] -[(3*1*(-1))+(2*(-1)*2)+(1*3*2)]= = (4+1+18)-(-3-4+6) = =

22 Si sottrae dalla somma ottenuta il valore ottenuto sommando i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali Tale valore è il determinante. IN PRATICA Si aggiungono alla matrice le prime due colonne; Si individuano così 3 diagonali principali, e 3 diagonali secondarie Si sommano i prodotti degli elementi che si trovano su ciascuna di queste diagonali

23 PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI È ininfluente la scelta della linea nella ricerca del determinante; Se in una matrice una linea viene moltiplicata per un numero reale K allora anche il determinante della matrice risulta moltiplicato per k; Se in una matrice due linee sono in proporzione, il determinante è nullo; Se in una matrice ad ogni elemento di una riga (o colonna) si somma il corrispondente elemento di unaltra riga(o colonna), moltiplicato per un numero K,allora il determinante non cambia.

24 CARATTERISTICA (O RANGO): data una matrice qualsiasi, chiamo rango o caratteristica, lordine massimo del minore #0. Data una di matrice di ordine(m,n) MINORE di ordine h è il determinante di una sottomatrice di ordine h ottenuta dalla principale eliminando da essa la m-h righe ed n-h colonne Consideriamo la seguente matrice 3 x 4,da essa togliamo 3-3=0 righe e 4-3=1 colonne, otteniamo una sottomatrice di ordine

25 Dalla matrice principale è possibile estrarre 3 sottomatrici. la seguente è quella ottenuta eliminando la seconda colonna Questa sottomatrice è del 3° ordine. Il suo determinante si chiama minore di ordine 3e poiché esso NON E NULLO, si dirà che la matrice ha Rango=3 È possibile anche estrarre delle sottomatrici del 2° ordine; quella sotto ne è un esempio Il suo determinante si chiamaminore di ordine 2


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