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STAGE OLIMPICO 2009-2010 CALCOLO COMBIANTORIO CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori.

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Presentazione sul tema: "STAGE OLIMPICO 2009-2010 CALCOLO COMBIANTORIO CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori."— Transcript della presentazione:

1 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori

2 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Qualche problema introduttivo 1.In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? 2.Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? 3.Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? 4.Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? 5.In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse?

3 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Il calcolo combinatorio il Calcolo combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( n k ) secondo le modalità seguenti: se k = n otterremo dei gruppi ordinati permutazioni. k oggetti possono formare gruppi ordinati: disposizioni; k oggetti possono formare gruppi non ordinati: combinazioni;

4 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Problema 1 Raggruppare gli elementi a,b,c a gruppi di 2 con elementi che non possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA LORDINE: ab ac bc DISPOSIZIONI semplici (D 3,2 ) COMBINAZIONI semplici (C 3,2 )

5 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Problema 2 Raggruppare gli elementi a, b, c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb DISPOSIZIONI con ripetizione (D 3,2 ) COMBINAZIONI con ripetizione (C 3,2 ) 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA LORDINE: aa ab ac bb bc cc

6 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Quindi… I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte E riassumendo: Permutazioni semplici o con ripetizione Disposizioni semplici o con ripetizione Combinazioni semplici o con ripetizione

7 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Fattoriale Il FATTORIALE di un numero intero positivo n è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali ad n In simboli: n! = n(n -1)(n -2)(n -3)…1 Si può quindi scrivere in modo ricorsivo n! = n(n -1)! Da cui nasce lesigenza di definire 0!=1 infatti 1!=1(1-1)!=1 0!=1 Esempi: 5!= = 120 6!=6 5!= 6 120=720 10!= !=

8 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Gli anagrammi (PERMUTAZIONI) Quanti sono gli anagrammi anche privi di senso della parola MARE? 4321 Corrisponde ai modi diversi di ordinare tutte e quattro le lettere che in questo caso sono diverse: permutazione semplice di n oggetti Quanti sono gli anagrammi della parola MAMMA? Ad esempio MAMAM MAMAM MAMAM MAMAM rappresentano sempre la stessa parola Faccio finta che siano tutti diversi e poi li divido per tutti i possibili scambi che mi producono la stessa parola

9 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO DISPOSIZIONI Le disposizioni semplici di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono D n,k = n(n-1)…(n-(k-1))= n(n-1)…(n-k+1)= n(n-1)…(n.-k+1)(n-k)(n-k-1)…1/(n-k)! D n,k = n!/(n-k)! Le disposizioni con ripetizione di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono D n,k =n k

10 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Quanti sono numeri di 4 cifre tutte distinte e non nulle nel sistema decimale? Disposizione semplice D 9,4 = 9!/(9-4)! = 9!/5!=3024 Quante sono le combinazioni possibile per un lucchetto a 5 cifre? Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme con n elementi? Esempi 9876 ABCDEFGH … = 2 n = D 2,n

11 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO COMBINAZIONI Combinazioni semplici Facciamo finta che sia una disposizione e poi dividiamo per il numero di scambi che danno origine allo stesso gruppo di k oggetti ABCDEF: ABCD ACBD ADBC… sono le permutazioni di 4 elementi C n,k =D n,k / k! = Combinazioni con ripetizione COEFFICIENTE BINOMIALE

12 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Esercizi In quanti modi diversi si possono sedere 4 amici in un scompartimento da sei posti di un treno? In quanti modi diversi possono venire occupati 6 posti di uno scompartimento di un treno da quattro persone? Quante sono le diagonali di un poligono di n lati? Quanti sono i punti che vengono individuati da 20 rette complanari a due a due non parallele? Quanti sono i punti di intersezione che vengono individuati da 20 rette se 7 di esse sono parallele e le restanti no?

13 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Il binomio di Newton

14 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Ancora sui coefficienti binomiali

15 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Ancora sui coefficienti binomiali

16 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Ancora sui coefficienti binomiali

17 STAGE OLIMPICO CALCOLO COMBIANTORIO Un problema già visto… Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi? Siano k 0 tutti gli insiemi con nessun elemento k 1 numero degli insiemi con un elemento k 2 numero degli insiemi con due elementi … k n numero degli insiemi con n elementi Allora | P(A) | = k 0 +k 1 +k 2 +…+k n =


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