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… logica matematica Progetto Eracle 2 Prof. Marialetizia Pedrinazzi Prof. Daniela Strangis.

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Presentazione sul tema: "… logica matematica Progetto Eracle 2 Prof. Marialetizia Pedrinazzi Prof. Daniela Strangis."— Transcript della presentazione:

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2 … logica matematica Progetto Eracle 2 Prof. Marialetizia Pedrinazzi Prof. Daniela Strangis

3 Logica matematica Branca della matematica che si occupa del valore di verità delle proposizioni. Una proposizione è unaffermazione a cui si può attribuire un valore di verità. Esempio: 2+3=4 è una proposizione falsa. esercizi

4 Tanti matematici si sono occupati di tale problema, es. Aristotele con i suoi sillogismi ha organizzato e analizzato le forme del corretto ragionamento, il ragionamento logico. Cosa succede se proviamo a combinare delle proposizioni fra loro? Cosa succede al loro valore di verità?

5 Le regole del calcolo fra proposizioni costituiscono lalgebra di Boole, matematico inglese dell800. Le operazioni fondamentali sono: Somma logica + Somma logica + Prodotto logico * Prodotto logico * Negazione logica Negazione logica Disgiunzione esclusiva Disgiunzione esclusiva

6 Lalgebra di Boole, segue le regole della logica binaria, cioè il risultato di una qualsiasi operazione può assumere solo due valori: Valore vero Valore falso 1010

7 Proprietà Essa si basa su alcuni assiomi da cui si ricavano le seguenti proprietà: Commutativa: a+b=b+a Commutativa: a+b=b+a Associativa: (a+b)+c=a+(b+c) Associativa: (a+b)+c=a+(b+c) Idempotenza a+a=a Idempotenza a+a=a Assorbimento a+(a*b)=a Assorbimento a+(a*b)=a Distributiva a*(b+c)=a*b+b*c Distributiva a*(b+c)=a*b+b*c Elemento neutro a+0=a Elemento neutro a+0=a Complemento a*(!a)=0 Complemento a*(!a)=0 Leggi di De Morgan Leggi di De Morgan

8 Leggi di De Morgan 1. (a+b) = a*b 2. (a*b) = a+b

9 Costituisce il fondamento teorico e pratico dei moderni elaboratori. Infatti, allinterno di questi il valore 1 corrisponde ad un valore di tensione alto Il valore 0 corrisponde ad un valore di tensione basso.

10 Tale algebra trova un parallelo fra: insiemistica, algebra delle proposizioni, informatica. Le operazioni fondamentali sono: Negazione logica Negazione logica Prodotto logico * Prodotto logico * Somma logica + Somma logica + Disgiunzione esclusiva Disgiunzione esclusiva

11 Negazione: tabella di verità A Non A vf fv A Not A Not A01 10

12 Negazione: not, non Insieme A

13 Negazione: esempi A: 3 è un numero primo Non A: non è vero che 3 è un numero primo oppure Non A: 3 non è un numero primo A: tutti gli italiani parlano litaliano Non A: non tutti gli italiani parlano litaliano oppure Non A: esiste almeno un italiano che non parla litaliano Es. 1 Es. 2 esercizi

14 Prodotto logico: *, and, et, ٨ Corrisponde allintersezione fra due insiemi. I insieme II insieme Insieme intersezione

15 Prodotto logico : tabella di verità Prop. A Prop. B A and B La proposizione risultante è vera se e solo se entrambi sono vere.

16 Prodotto logico : esempi Esempio 1 A: 2 è un numero pari vera B: 6 è un numero dispari falsa A ٨ B: 2 è un numero pari and 6 è un numero dispari falsa esercizi Adesso a voi altri …

17 Somma logica: +, U, or, o, vel Corrisponde a: unione di due insiemi: I insieme II insieme + Insieme unione I insieme II insieme

18 Somma logica : tabella di verità La proposizione risultante è vera se almeno una delle due è vera. Prop. A Prop. B A or B

19 Somma logica: esempi A: 2 è un numero pari vera B: 6 è un numero dispari falsa A V B: 2 è un numero pari o 6 è un num. dispari vera A: 3 è un numero pari falsa B: Roma è la capitale della Francia falsa A V B: 3 è un numero pari o Roma è la capitale della Francia falsa Es. 1 Es. 2 esercizi

20 Disgiunzione esclusiva: xor, aut, o… o… Disgiunzione esclusiva I insieme II insieme

21 Disgiunzione esclusiva Prop. A Prop. B A xor B La proposizione risultante è vera se e solo se una soltanto delle due proposizioni è vera

22 Disgiunzione esclusiva : esempi qui bisogna o vincere o morire! La proposizione: 2 o è pari o è dispari è vera. Infatti, 2 è pari è vera mentre 2 è dispari è falsa! La proposizione: 5 o è multiplo di 2 o è multiplo di 3 è falsa. Infatti, 5 è multiplo di 2 è falsa e 5 è multiplo di 3 è falsa. Poiché entrambi sono false la risultante è falsa! esercizi

23 Riepilogo delle operazioni OPERATORI LOGICI FONDAMENTALI SIMBOLISMO Latino Di Hilbert informatico Negazione logica P = non P P = P P = not P Prodotto logico P = P1 et P2 P= P1 ٨ P2 P = P1 and P2 Somma logica P = P1 vel P2 P = P1 V P2 P = P1 or P2 Disgiunzione esclusiva P = P1 aut P2 P=P1 V P2 P = P1 xor P2

24 Fine … adesso al lavoro! esercizi riassuntivi

25 Proposizioni: esercizi Esercizio 1) Stabilire quali delle seguenti frasi sono proposizioni: a) Un quadrato ha 4 lati; b) Oggi il tempo è bello; c) Sono circa le due di pomeriggio; d) 6 è un numero pari; e) Che bella città! f) Nessuno è immortale. Esercizio 2) attribuire un valore di verità alle seguenti proposizioni escludendo quelle che non lo sono: a) Un rettangolo ha le diagonali isometriche; b) 7 è divisore di 360; c) Il m.c.m. di 12 e 24 è 12; d) L Italia è bella; e) Il M.C.D. di 2 e 24 è 24; f) Oggi è una bella giornata; g) Mio figlio è bello;

26 Proposizioni: esercizi Esercizio 3: costruire le possibili combinazioni di verità di due proposizioni completando la tabella a fianco AB F 0 … 0 F … V 1 …. …. F 0 V … V …. Esercizio 4: costruire le possibili combinazioni di verità di tre proposizioni costruendo una tabella analogamente allesercizio precedente

27 Negazione: esercizi Esercizio 1) scrivere la negazione delle seguenti proposizioni a) 10 è multiplo di 5 b) Non uso la bicicletta c) Non ho avuto nessun regalo d) Faccio i compiti per non essere bocciato e) Le api non si posano su fiori che non profumano Esercizio 2) date le seguenti proposizioni, scrivere le coppie formate da una proposizione e dalla sua negazione a) Vedo nero b) Non vado al mare c) Non devi passare col semaforo rosso d) Devi fermarti col semaforo giallo e) Vedo bianco f) Non è vero che non vado al mare g) Devi passare col semaforo verde h) Non vedo nero i) Vado in montagna j) Devi passare col semaforo rosso k) Vado in vacanza l) Non devo passare a nessun semaforo

28 Negazione: esercizi Esercizio 3: assegnate le seguenti proposizioni: A: 3 è soluzione di x+3=0 B: il M.C.D. di 6 e 8 è 24 C: il M.C.D. di 6 e 8 è 2 D: la Luna è un satellite di Saturno E: la balena è un mammifero a) Determinare il valore di verità di ciascuna di esse; b) Scrivete le nuove proposizioni non A, non B, ecc., determinando anche i relativi valori di verità. Esercizio 4: costruire la tabella di verità della doppia negazione di una proposizione

29 Esercizi sul prodotto logico Esercizio 1) Scomporre le proposizioni composte date in proposizioni semplici: Esempio: Spillo è il mio cane ed ha otto anni; Proposizione A: Spillo è il mio cane Proposizione B: Spillo ha otto anni a) Mara canta e non balla; b) Marco suona e canta; c) Destate lavoro e mi compro il motorino d) 4 è pari ed è multiplo di 2 Esercizio 2) Date le proposizioni seguenti A: 5 è numero primo; B: 6 è multiplo di 4; C: 4 è numero dispari attribuire il loro valore di verità quindi stabilire il valore di verità delle proposizioni composte: A ٨ B; non A ٨ non B; A ٨ non C Esercizio 3) Date le proposizioni seguenti: A: 20 è minore di 10; B: 20 è maggiore di 10; C: 30 è multiplo di 5; D: 20 è multiplo di 4; E: 20 è un quadrato perfetto Scrivere in parole le seguenti proposizioni composte e assegna ad ognuna il valore di verità: A ٨ B; non E ٨ non B; A ٨ non C; A ٨ non E; D ٨ non B; non D ٨ non E Esercizio 4) Date le proposizioni seguenti: A: luomo è un mortale; B: luomo è un mammifero; C: luomo ha due occhi; Scrivere in parole le seguenti proposizioni composte e assegna ad ognuna il valore di verità: A ٨ B; non A ٨ non B; A ٨ non C; B ٨ non C; non C ٨ non B; C ٨ non A; non(A ٨ B)

30 Esercizi sulla somma logica Esercizio 1: date le seguenti proposizioni a) 27 è il cubo di 3 b) -2 è soluzione dellequazione 2x=0 c) In un triangolo la somma di due lati deve essere maggiore del terzo d) Il triplo di 2 sommato con 5 è uguale a Assegnare i valori di verità alle proposizioni 2. Scrivere le proposizioni composte: A=a vel b, B=a vel c, C=a vel d, A=a vel b, B=a vel c, C=a vel d, D=b vel c, E=b vel d, F=c vel d D=b vel c, E=b vel d, F=c vel d e determinare il valore di verità di ognuna di esse. Esercizio 2: date le seguenti proposizioni: A=oggi fa caldo, B=oggi vado al mare, traduci in simboli le seguenti proposizioni composte. a) Oggi fa caldo e vado al mare A and B b) Oggi non fa caldo e vado al mare …………… c) Oggi non fa caldo e non vado al mare …………… d) Oggi fa caldo o vado al mare …………… e) Oggi non fa caldo o vado al mare …………… f) Oggi non fa caldo o non vado al mare ……………

31 Esercizi sulla somma logica Esercizio 3: costruire la tabella di verità delle proposizioni indicate seguendo lesempio rappresentato in tabella: A vel (nonB). AB Non B A vel non B )Non A vel B, non A vel (nonB), A vel non (non B); 2)(A V nonA) V non B, A V(non A V B); A V( B ٨ nonB); (A ٨ B) V nonB (A ٨ B) V nonB 3) 3)

32 Esercizi sulla disgiunzione esclusiva Esercizio 1: date le proposizioni sotto assegnare loro un valore di verità P1=7 è pari; P2=7 è dispari; P3=5 è radice di 25; P4=5 è radice di 24 quindi costruire le seguenti proposizioni composte: P1 XOR P2; P1 XOR P3; P1 XOR P4; P2 XOR P3; P2 XOR P4; P3 XOR P4. Esercizio 2: date le proposizioni: P1=lavoro; P2=non guadagno; P3=mi diverto; scrivi a parole le proposizioni composte P1 aut P2; P1 aut P3; P2 autP3; non P2 aut non P3 Esercizio 3: date le proposizioni: A=3 è pari; B=3 è dispari; C=3 non è numero primo; Assegna un valore di verità alle seguenti proposizioni composte

33 Esercizi conclusivi Esercizio 1) completare la seguente tabella come nellesempio sviluppato nella prima riga pq p and q p or q 2 è un numero dispari F 5 è un numero dispari V 2 e 5 sono numeri dispari F 2 o 5 sono numeri dispari V Milano si trova in Lombardia v Milano si trova in Italia v 8+2=10……… 10 è dispari …… 5 è un numero primo …….. 6 è un multiplo di 3 …….


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