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I QUADRATI MAGICI Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga, di ogni colonna.

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Presentazione sul tema: "I QUADRATI MAGICI Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga, di ogni colonna."— Transcript della presentazione:

1 I QUADRATI MAGICI Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali sia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato. Con il linguaggio della matematica, se n è un intero maggiore di 2, si definisce quadrato magico ogni matrice quadrata di ordine n a valori interi e iniettiva tale che le somme delle entrate di ciascuna delle righe, di ciascuna delle colonne e di entrambe le diagonali hanno lo stesso valore intero. Un quadrato magico di ordine n le cui entrate sono gli interi da 1 a n2 viene detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale. La costante magica di questi quadrati è data dallamatematicainiettiva formula: I primi 15 componenti di questa successione sono : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1372, 1695

2 Dettaglio di Melancholia I, di Albrecht Dürer. I due numeri nelle caselle centrali dell'ultima riga formano 1514, anno in cui venne fatta l'incisione.Albrecht Dürer1514

3 LA STORIA I quadrati magici erano noti già in Cina nei primi secoli dopo Cristo, e forse addirittura nel IV secolo AC. Il quadrato 3 × 3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il bizantino Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316) fu tra i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi matematici ad approfondire l'argomento fu Cornelio Agrippa (1486 – 1535), il quale li definì:CinaIV secolo ACX secoloEuropa Cornelio Agrippa tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti. Molti quadrati magici si supponevano dotati di particolari virtù magiche e venivano utilizzati per costruire dei talismani: ad es. le loro incisioni su placche d'oro o d'argento venivano impiegate come rimedi, dalla peste al mal d'amore. Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Dürer intitolata Melancholia I. Albrecht Dürer Frenicle de Bessy ( ), matematico francese amico di Cartesio e di Pierre de Fermat, nel 1663 calcolò il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici di ordine 5 sono Non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella sua determinazione. Secondo alcune indagini, il loro numero è nell'ordine di × Resta comunque insoluto il problema più generale di trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati magici di ordine n.Frenicle de Bessy CartesioPierre de Fermat1663computer1973 Parente stretto del quadrato è il cubo magico, costruito in Europa per la prima volta solo nel Il primo cubo perfetto, di ordine 7 e quindi contenente i primi 73 = 343 interi positivi fu ottenuto da un missionario appassionato di matematica. In seguito si estese la ricerca a ipercubi di dimensione m ed ordine n, ognuno composto da nm numeri interi.cubo magico1866matematicaipercubi

4 ESEMPI DI COSTRUZIONE Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da 1 a n2, con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:

5 La costante di magia di questo quadrato è 15. La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula: 15

6 I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti: n dispari n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari n divisibile per 4, o numero doppiamente pari

7 Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore.

8 Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.

9 Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato. Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.65

10 Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n2. Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la costante di magia è 111:numeri primi

11 I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre: Ogni fila e colonna ha come somma 27. Purtroppo, le diagonali non hanno tale valore.27


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